第二节 平面向量的基本定 理及坐标运算基础知识梳理1平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e1和和e2是一平面内的两个不平行的是一平面内的两个不平行的向量那么该平面内任一向量向量那么该平面内任一向量a，存在惟一，存在惟一的一对实数的一对实数a1，a2使使 ，把不，把不共线向量共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向叫做表示这一平面内所有向量的一组量的一组 ，记为，记为 ， 叫做向量叫做向量a关于基底关于基底e1，e2的分解式的分解式注意：注意：e1、e2是同一平面内的一组基底，是同一平面内的一组基底，如果有且只有一对实数如果有且只有一对实数(1，2)，使，使a1e12e2，则，则a、e1、e2共面共面aa1e1a2e2基底基底e1，e2a1e1a2e2基础知识梳理任意两个向量可否作为一组基底任意两个向量可否作为一组基底？ 【思考思考提示提示】零向量不能作零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是惟基底，则定向量沿基底的分解是惟一的一的基础知识梳理 2正交分解如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为 ，在正交基底下分解向量，叫做 . 3向量的坐标表示 设e1，e2为平面直角坐标系内的单位正交基底，由平面向量基本定理：对于平面上的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得axe1ye2，我们把有序数对(x，y)叫做向量 ， 记： ， 叫a在x轴上的坐标， 叫a在y轴上的坐标把a(x，y)叫做向量的坐标表示正交基底正交基底正交分解正交分解a(x，y)a在基底在基底e1，e2下的坐标下的坐标y x基础知识梳理4向量的直角坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab ，ab ，a.5用平面向量坐标表示向量共线条件设a(a1，a2)，b(b1，b2)，向量aba1b2a2b10 (b10且b20)(a1b1，a2b2)(a1b1，a2b2)(a1，a2)三基能力强化1(2009年高考湖北卷改编)若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c_.(用a、b表示)答案：答案：3ab三基能力强化2(2009年高考重庆卷改编)已知向量a(1,1)，b(2，x)若ab与4b2a平行，则实数x的值是_解析：由题意知ab(1,1)(2，x)(3，x1)，而4b2a4(2，x)2(1,1)(6,4x2)(ab)(4b2a)，3(4x2)6(x1)0，得x2.答案：2三基能力强化3下列各组向量中e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(，)，有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是_解析：中，e22e1，中，e14e2，故、 中e1、e2共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底答案：三基能力强化三基能力强化5设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b_.解析：a2b(3,5)2(2,1)(7,3)答案：(7,3)课堂互动讲练选择一组基底，运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来求解或证明运用基底表示向量运用基底表示向量考点一考点一课堂互动讲练例例例例1 1课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【点评】法一应用平行向量的基本定理及向量的多边形加法法则；法二添加辅助线构造平行四边形及三角形的中位线，利用平面几何知识，共线向量知识及向量加法的几何意义解得；法三充分利用线段中点的向量表达式的内容上述三种方法是向量分解常用的三种方法，应注意掌握，并能够灵活运用课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练首先区分清楚向量的坐标与点的坐标之间的区别及联系，其次要熟练掌握向量加法、减法与数乘的坐标运算规则向量的坐标表示及运算向量的坐标表示及运算考点二考点二课堂互动讲练例例例例2 2课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【点评】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则利用向量相等或待定系数法是常用的方法课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练运用坐标运算证明向量共线(平行)或点共线，关键利用向量平行的充要条件，即a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，abx1y2x2y10，这种方法简捷明确向量的平行向量的平行考点三考点三课堂互动讲练【思路点拨】求出2ab，akb的坐标，再利用公式abx1y2x2y10，求得k.例例例例3 3 (2010年广东韶关模拟年广东韶关模拟)已知已知a(3,1)，b(1，2)，若，若(2ab)(akb)，则，则实数实数k的值是的值是_课堂互动讲练课堂互动讲练【点评】向量共线的坐标运算关键在于计算准确，x1y2x2y10与数量积的计算公式不要混淆，其次，运算中注意有无特殊向量，如与x轴，y轴平行的向量，运算中可简化计算课堂互动讲练 互动探究互动探究 3在例在例3中中b(1，2)换为换为b(1,2)，其它条件不变，求实数，其它条件不变，求实数k的值的值课堂互动讲练向量的综合运用向量的综合运用考点四考点四课堂互动讲练【思路点拨】利用向量平行的条件设出系数或坐标进行计算 (解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)如图所示，已知点如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求，求AC和和OB交点交点P的坐标的坐标例例例例4 4课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【点评】坐标运算往往含有待定的未知参数，转化为方程求解即可本题还可用求直线方程的方法求坐标课堂互动讲练 4(本题满分本题满分8分分)设向量设向量a(1,2)，b(2,3)若向量若向量ab与向量与向量c(4，7)共线，求共线，求的值的值 解：解：ab(2,23)，(ab)c，7(2)4(23)02.8分分 自我挑战自我挑战规律方法总结1向量的坐标表示(1)对向量a(x，y)的理解ax e1y e2(e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的单位向量)；若向量a的起点是原点，则(x，y)就是其终点的坐标(2)向量 的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标即：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 (x2x1，y2y1)规律方法总结2向量的线性运算平面内每一向量a都有唯一对应坐标(x，y)，反之(x，y)唯一对应着 (由向量相等，可看成与a唯一对应)因而向量的线性运算(向量的加法、减法及实数与向量的积)可转化为坐标运算，借助坐标运算可讨论向量平行(共线)等，可使问题变得简单，目标明确规律方法总结3平面向量共线的坐标表示(1)需注意的几点若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件也不能错记为：x1x2y1y20，x1y1x2y20等若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同规律方法总结(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则 (x2x1，y2y1)， (x3x1，y3y1)，若(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0，则A、B、C三点共线随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入