1.1.能画出简单空间图形能画出简单空间图形( (长方体、球、圆柱、圆锥、长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合棱柱等的简易组合) )的三视图的三视图, ,能识别上述三视图所能识别上述三视图所 表示的立体模型表示的立体模型, ,会用斜二测画法画出它们的直观图会用斜二测画法画出它们的直观图. .2.2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单图形的会用平行投影与中心投影两种方法画出简单图形的 三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. .3.3.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公 式（不要求记忆公式）式（不要求记忆公式）. . 学案学案15 15 空间几何体空间几何体 1.(20091.(2009陕西陕西) )若正方体的棱长为若正方体的棱长为 则以该正方体则以该正方体 各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 由题意可知由题意可知, ,此几何体是由同底面的两个正四此几何体是由同底面的两个正四 棱锥组成的棱锥组成的, ,底面正方形的边长为底面正方形的边长为1,1,每一个正四棱锥每一个正四棱锥 的高为的高为 所以所以V V= = B B2.(20092.(2009山东山东) )一空间几何体的三视图如图所示一空间几何体的三视图如图所示, ,则则 该几何体的体积为该几何体的体积为 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 该空间几何体为一圆柱体和一四棱锥组成该空间几何体为一圆柱体和一四棱锥组成, ,圆圆柱的底面半径为柱的底面半径为1,1,高为高为2,2,体积为体积为 四棱锥的底面边四棱锥的底面边长为长为 , ,高为高为 , ,所以体积为所以体积为 所以该所以该几何体的体积为几何体的体积为答案答案 C C3.(20093.(2009海南海南) )一个棱锥的三视图如下图一个棱锥的三视图如下图, ,则该棱锥则该棱锥 的全面积的全面积( (单位单位:cm:cm2 2) )为为 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 该三棱锥底面是以该三棱锥底面是以6 cm6 cm为直角边的等腰直角为直角边的等腰直角 三角形三角形, ,且顶点在底面上的射影是等腰直角三角形斜且顶点在底面上的射影是等腰直角三角形斜 边的中点边的中点, ,棱锥的高为棱锥的高为4 cm,4 cm,易算出斜高为易算出斜高为5 cm,5 cm,所以所以 全面积为全面积为S S全全= = 答案答案 A A4.(20094.(2009天津天津) )如图是一个几何体的三视图如图是一个几何体的三视图, ,若它的若它的 体积是体积是 则则a a=_.=_. 解析解析 由已知正视图可以知道这个几何体是竖着的由已知正视图可以知道这个几何体是竖着的 直三棱柱直三棱柱, ,两个底面是等腰三角形两个底面是等腰三角形, ,且底边为且底边为2,2,等腰等腰 三角形的高为三角形的高为a a, ,侧棱长为侧棱长为3,3,结合体积公式可以得到结合体积公式可以得到 V V= =ShSh= = 解得解得a a= . = . 题型一题型一 三视图三视图【例【例1 1】(2009(2009广东广东) )某高速公路收费站入口处的安某高速公路收费站入口处的安 全标识墩如图全标识墩如图(1)(1)所示所示. .墩的上半部分是正四棱锥墩的上半部分是正四棱锥P P- - EFGHEFGH, ,下半部分是长方体下半部分是长方体ABCDABCDEFGHEFGH. .图图(2)(2)、图、图 (3)(3)分别是该标识墩的正分别是该标识墩的正( (主主) )视图和俯视图视图和俯视图. . (1) (1)请画出该安全标识墩的侧请画出该安全标识墩的侧( (左左) )视图；视图； (2)(2)求该安全标识墩的体积；求该安全标识墩的体积； (3)(3)证明证明: :直线直线BDBD平面平面PEGPEG. . (1)(1)解解 侧视图如下图所示侧视图如下图所示. .(2)(2)解解 该安全标识墩的体积为该安全标识墩的体积为V V= =V VP PEFGHEFGH+ +V VABCDABCDEFGHEFGH = = 40402 260+4060+402 220=32 000+32 000=64 000(cm20=32 000+32 000=64 000(cm3 3). ). (3)(3)证明证明 如图如图, ,连结连结EGEG、HFHF及及BDBD, , 设设EGEG与与HFHF相交于相交于O O点点, ,连结连结POPO, ,由由 正棱锥的性质可知正棱锥的性质可知, ,POPO 平面平面EFGHEFGH, , POPOHFHF, , 又又EGEGHFHF, , EGEGPOPO= =O O, ,HFHF平面平面PEGPEG. . 又又BDBDHFHF,BDBD平面平面PEGPEG. .【探究拓展探究拓展】通过三视图间接给出几何体的形状】通过三视图间接给出几何体的形状, ,并并 给出相关数据通过计算解决相关问题给出相关数据通过计算解决相关问题, ,体现了新课程体现了新课程 的理念的理念. . 变式训练变式训练1 1 如下的三个图中如下的三个图中, ,上面的是一个长方体截上面的是一个长方体截 去一个角所得多面体的直观图去一个角所得多面体的直观图, ,它的正视图和侧视图它的正视图和侧视图 在下面画出在下面画出( (单位单位:cm).:cm). (1)(1)在正视图下面在正视图下面, ,按照画三视图的要求画出该多面按照画三视图的要求画出该多面 体的俯视图；体的俯视图； (2)(2)按照给出的尺寸按照给出的尺寸, ,求该多面体的体积求该多面体的体积; ; (3)(3)在所给直观图中连接在所给直观图中连接BCBC,证明证明: :BCBC平面平面EFGEFG. . (1)(1)解解 如图所示如图所示 (2)(2)解解 所求多面体体积所求多面体体积V V= =V V长方体长方体- -V V正三棱锥正三棱锥 (3)(3)证明证明 在长方体在长方体ABCDABCDA AB BC CD D中中, , 连接连接ADAD,则则ADADBCBC. 因为因为E E, ,G G分别为分别为AAAA,A AD D 的中点的中点, , 所以所以ADADEGEG, ,从而从而EGEGBCBC. 又又BCBC平面平面EFGEFG, ,所以所以BCBC平面平面EFGEFG. . 题型二题型二 几何体的表面积和体积几何体的表面积和体积【例【例2 2】(2009(2009安徽安徽) )如图如图, , ABCDABCD是边长为是边长为2 2的正方形的正方形, , 直线直线l l与平面与平面ABCDABCD平行平行, ,E E 和和F F是是l l上的两个不同点上的两个不同点, , 且且EAEA= =EDED, ,FBFB= =FCFC. .E E和和F F是平面是平面ABCDABCD内的两点内的两点, , EEEE和和FFFF都与平面都与平面ABCDABCD垂直垂直. . (1) (1)证明证明: :直线直线E EF F垂直且平分线段垂直且平分线段ADAD； (2)(2)若若EADEAD=EABEAB=60=60, ,EFEF=2,=2,求多面体求多面体ABCDEFABCDEF 的体积的体积. . (1)(1)证明证明 连结连结E EA A、E ED D, , 由由EAEA= =EDED, ,知知RtRtEEEEA ARtRtEEEED D， 故在平面故在平面ABCDABCD中中, ,E EA A= = E ED D, , 因此因此E E在线段在线段ADAD的垂线的垂线 上上, ,同理同理, ,F F在线段在线段BCBC的的 中垂线上中垂线上. .由于由于ABCDABCD是正方形是正方形, ,BCBC的中垂线就是的中垂线就是ADAD 的中垂线的中垂线, ,所以所以F F也在也在ADAD的中垂线的中垂线, ,由于由于E E、F F 都在都在ADAD的中垂线上的中垂线上, ,所以所以E EF F就是就是ADAD的中垂线的中垂线, ,因因 此此E EF F垂直且平分线段垂直且平分线段ADAD. . (2)(2)解解 因为因为EEEEFFFF,所以所以E E、F F、E E、F F四点四点共面共面. .因为因为EFEF平面平面ABCDABCD，所以，所以EFEFE EF F.又又E EF FABAB, ,所以所以EFEFABAB. .又又EFEF= =ABAB=2,=2,故四边形故四边形ABFEABFE是平行四边形是平行四边形. .同理同理, ,四边形四边形CDEFCDEF是平行四边形是平行四边形. .DAEDAE=60=60, ,知知ADFADF是等边三角形是等边三角形. .连结连结BEBE, ,又由又由ABAB= =AEAE,EABEAB=60=60, ,知知ABEABE是等边三角形是等边三角形. .由由EAEA= =EBEB= =EDED, ,知点知点E E在面在面ABCDABCD上的射影上的射影E E为正方形为正方形ABCDABCD的的中心中心. .连结连结ECEC, ,故故EAEA= =ECEC. . 因此因此,CDECDE、BEFBEF、CEFCEF、BCEBCE、BCFBCF都是都是等边三角形等边三角形, ,四面体四面体BCEFBCEF是棱长为是棱长为2 2的正四面体的正四面体. .因为因为ADADBCBC, ,AEAEBFBF, ,所以平面所以平面ADEADE与平面与平面BCFBCF平行平行. .又因为又因为ABABCDCDEFEF, ,所以多面体所以多面体ABCDEFABCDEF是三棱柱是三棱柱ADEADEBCFBCF, ,其底面积为其底面积为 且与正四面体且与正四面体E EBCFBCF同同高高, ,因为正四面体因为正四面体E EBCFBCF的边长为的边长为2,2,得高为得高为 所以所以V V多面体多面体ABCDEFABCDEF= = 【探究拓展探究拓展】求几何体的体积问题】求几何体的体积问题, ,可以多角度、全可以多角度、全 方位地考虑问题方位地考虑问题, ,常采用的方法有常采用的方法有“换底法换底法”、“分分 割法割法”、“补体法补体法”等等, ,尤其是尤其是“等积转化等积转化”的数学的数学 思想方法应高度重视思想方法应高度重视. . 变式训练变式训练2 2 如图所示如图所示, ,四棱锥四棱锥P P ABCDABCD的底面的底面ABCDABCD是半径为是半径为R R的的 圆的内接四边形圆的内接四边形, ,其中其中BDBD是圆的是圆的 直径直径,ABDABD=60=60,BDCBDC=45=45, , ADPADPBADBAD. . (1) (1)求线段求线段PDPD的长；的长； (2)(2)若若PCPC= = 求三棱锥求三棱锥P PABCABC 的体积的体积. .解解 (1)(1)BDBD是圆的直径，是圆的直径，BADBAD=90=90，又又ADPADPBADBAD，DPDP的长为的长为3 3R R. . (2)(2)在在RtRtBCDBCD中中, ,CDCD= =BDBDcos 45cos 45= = PDPD2 2+ +CDCD2 2=9=9R R2 2+2+2R R2 2=11=11R R2 2= =PCPC2 2，PDPDCDCD, ,又又PDAPDA=90=90, ,ADADCDCD= =D D, ,PDPD底面底面ABCDABCD，则则S SABCABC= = ABABBCBCsin(60sin(60+45+45) )所以三棱锥所以三棱锥P PABCABC的体积为的体积为V VP PABCABC= = S SABCABCPDPD题型三题型三 球球【例【例3 3】(2009(2009全国全国)设设OAOA是球是球O O的半径的半径, ,MM是是OAOA的的 中点中点, ,过过MM且与且与OAOA成成4545角的平面截球角的平面截球O O的表面得到的表面得到 圆圆C C, ,若圆若圆C C的面积等于的面积等于 则球则球O O的表面积等于的表面积等于_._. 解析解析 如图如图, ,设设O O为截面圆的为截面圆的 圆心圆心, ,设球的半径为设球的半径为R R, ,则则OMOM= = 又又O OMOMO=45=45,OOOO= = Rt RtO OOBOB中中, ,OBOB2 2= =O OO O2 2+ +O OB B2 2，【探究拓展探究拓展】涉及到球与棱柱涉及到球与棱柱、棱锥的切棱锥的切、接问题时接问题时, , 一般过球心及多面体的特殊点或线作截面一般过球心及多面体的特殊点或线作截面, ,把空间问把空间问 题转化为平面问题题转化为平面问题, ,再利用平面几何知识寻找几何中再利用平面几何知识寻找几何中 元素间的关系元素间的关系. .变式训练变式训练3 3 (2009 (2009全国全国)已知已知OAOA为球为球O O的半径的半径, ,过过 OAOA的中点的中点MM且垂直于且垂直于OAOA的平面截球面得到圆的平面截球面得到圆MM, ,若圆若圆 MM的面积为的面积为 则球则球O O的表面积等于的表面积等于_._. 解析解析 设球半径为设球半径为R R, ,圆圆MM的半径为的半径为r r, , 则则r r2 2=3,=3,又又OMOM= = 【考题再现】【考题再现】(2009(2009海南海南) )如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P PABCABC中中,PABPAB是等边三是等边三 角形角形,PACPAC=PBCPBC=90=90. . (1) (1)证明证明: :ABABPCPC; ; (2) (2)若若PCPC=4,=4,且平面且平面PACPAC平面平面PBCPBC, ,求三棱锥求三棱锥P P ABCABC的体积的体积. . 【解题示范解题示范】 解解 (1)(1)因为因为PABPAB是等边三角形是等边三角形, ,所以所以PBPB= =PAPA. .因为因为PACPAC=PBCPBC=90=90, ,PCPC= =PCPC，所以所以RtRtPBCPBCRtRtPACPAC, ,所以所以ACAC= =BCBC. .如图如图, ,取取ABAB中点中点D D, ,连结连结PDPD、CDCD, ,则则PDPDABAB, ,CDCDABAB, ,又又PDPDCDCD= =D D, ,所以所以ABAB平面平面PDCPDC, ,所以所以ABABPCPC. . 6 6分分(2)(2)作作BEBEPCPC, ,垂足为垂足为E E, ,连结连结AEAE. . 因为因为RtRtPBCPBCRtRtPACPAC，所以所以AEAEPCPC, ,AEAE= =BEBE. .由已知由已知, ,平面平面PACPAC平面平面PBCPBC，故故AEBAEB=90=90. . 8 8分分因为因为AEBAEB=90=90,PEBPEB=90=90, ,AEAE= =BEBE, ,ABAB= =PBPB, ,所以所以RtRtAEBAEBRtRtBEPBEP, ,所以所以AEBAEB、PEBPEB、CEBCEB都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形. .由已知由已知PCPC=4,=4,得得AEAE= =BEBE=2,=2,AEBAEB的面积的面积S S=2.=2.因为因为PCPC平面平面AEBAEB. .所以三棱锥所以三棱锥P PABCABC的体积的体积V V= 12= 12分分1.1.几何体中计算问题的方法与技巧几何体中计算问题的方法与技巧:在正棱锥中在正棱锥中, ,正正 棱锥的高、侧面、等腰三角形的斜高与侧棱构成两棱锥的高、侧面、等腰三角形的斜高与侧棱构成两 个直角三角形，有关计算往往与两者相关个直角三角形，有关计算往往与两者相关. .正四棱正四棱 台台中中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底于上底、 下底及梯形高的计算下底及梯形高的计算, ,另外另外, ,要能将正三棱台、正四要能将正三棱台、正四 棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系 起来起来.研究圆柱、圆锥、圆台等问题研究圆柱、圆锥、圆台等问题, ,主要方法是主要方法是 研究其轴截面研究其轴截面, ,各元素之间的关系各元素之间的关系, ,数量都可以在轴数量都可以在轴 截面中得到截面中得到.多面体及旋转体的侧面展开图是将立多面体及旋转体的侧面展开图是将立 体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段. . 2.2.三视图及应用：三视图及应用：画立体几何的三视图首先要明确画立体几何的三视图首先要明确 各自的投影方向各自的投影方向, ,画法要求是画法要求是“长对正长对正, ,宽相等宽相等, ,高平高平 齐齐”.由几何体的三视图画几何体的直观图，需要由几何体的三视图画几何体的直观图，需要 发挥空间想象能力发挥空间想象能力, ,仍是从正视图出发，然后是侧视仍是从正视图出发，然后是侧视 图、俯视图图、俯视图, ,画出后检验画出后检验, ,依然仍是依然仍是“高平齐，长对高平齐，长对 正正, ,宽相等宽相等”, ,做到检查修补做到检查修补. .特别提醒：无论几何体特别提醒：无论几何体 ( (或直观图或直观图) )作三视图，还是由三视图还原几何体作三视图，还是由三视图还原几何体( (或或 画出相应的直观图画出相应的直观图),),都要注意线要虚实分明都要注意线要虚实分明. . 3.3.空间立体几何体积的求法空间立体几何体积的求法:公式法公式法: :即根据题意直即根据题意直 接套用相关几何体的体积公式计算接套用相关几何体的体积公式计算.作差法作差法: :将原将原 几何体转化为两个易求体积的几何体的差几何体转化为两个易求体积的几何体的差, ,通过体积通过体积差来计算原几何体的体积差来计算原几何体的体积.割补法割补法: :通过对原几何体通过对原几何体分割或补形分割或补形, ,将原几何体分割或补成较易计算的几何将原几何体分割或补成较易计算的几何体体, ,从而求出原几何体的体积从而求出原几何体的体积.等体积变换法等体积变换法: :即从即从不同角度看待几何体不同角度看待几何体, ,通过改变顶点和底面通过改变顶点和底面, ,利用体积利用体积不变的原理，来求原几何体的体积不变的原理，来求原几何体的体积. . 一、选择题一、选择题1.1.将正三棱柱截去三个角将正三棱柱截去三个角( (如图如图1 1所示所示),),A A, ,B B, ,C C分别是分别是 GHIGHI三边的中点得到几何体如图三边的中点得到几何体如图2,2,则该几何体按则该几何体按 图图2 2所示方向的侧视图所示方向的侧视图( (或称左视图或称左视图) )为为 ( )( ) 解析解析 由题意可知由题意可知, ,侧视图应为侧视图应为A.A. 答案答案 A A2.2.如图是一个几何体的三视图如图是一个几何体的三视图, ,根据图中数据根据图中数据, ,可得该可得该 几何体的表面积是几何体的表面积是 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 几何体为一个球与一个圆柱的组合体几何体为一个球与一个圆柱的组合体, ,D D3.(20093.(2009辽宁辽宁) )正六棱锥正六棱锥P PABCDEFABCDEF中中, ,G G为为PBPB的中的中 点点, ,则三棱锥则三棱锥D DGACGAC与三棱锥与三棱锥P PGACGAC体积之比为体积之比为 ( )( ) A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.3:2 A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.3:2 解析解析 由题意可知由题意可知, ,平面平面GACGAC平面平面ABCDEFABCDEF, ,所以所以 点点D D到平面到平面GACGAC的距离等于正六边形的边长的距离等于正六边形的边长, ,而点而点P P 到平面到平面GACGAC的距离等于正六边形边长的一半的距离等于正六边形边长的一半. . C C4.(20094.(2009湖北湖北) )如图所示如图所示, ,在三棱柱在三棱柱 ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中,ACBACB=90=90, , ACCACC1 1=60=60,BCCBCC1 1=45=45, ,侧棱侧棱 CCCC1 1=1,=1,则该三棱柱的高等于则该三棱柱的高等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如图过点如图过点C C1 1作底面作底面ABCABC的垂的垂 线C C1 1H H, ,作作HFHFBCBC, ,HEHEACAC, ,连接连接 C C1 1E E、C C1 1F F, ,则则C C1 1E EACAC, ,C C1 1F FBCBC, , 又又ACBACB=90=90,ACCACC1 1=60=60, , BCCBCC1 1=45=45, ,CCCC1 1=1,=1,所以四边形所以四边形ECFHECFH是矩形是矩形, ,则则 ECEC= =FHFH= = C C1 1F F= = 所以所以 A A5.(20085.(2008重庆重庆) )如图如图, ,模块模块-均由均由4 4个棱长为个棱长为1 1的小的小 正方体构成正方体构成, ,模块模块由由1515个棱长为个棱长为1 1的小正方体构成的小正方体构成. . 现从模块现从模块-中选出三个放到模块中选出三个放到模块上，使得模块上，使得模块 成为一个棱长为成为一个棱长为3 3的大正方体的大正方体, ,则下列选择方案中则下列选择方案中, , 能够完成任务的为能够完成任务的为 ( )( )A.A.模块模块, B., B.模块模块,C.C.模块模块, D., D.模块模块,解析解析 观察得先将观察得先将放入放入中的空缺中的空缺, ,然后上面可放然后上面可放入入，其余可以验证不合题意，其余可以验证不合题意. .答案答案 A A6.6.已知球的半径为已知球的半径为2,2,相互垂直的两个平面分别截球面相互垂直的两个平面分别截球面 得两个圆得两个圆. .若两圆的公共弦长为若两圆的公共弦长为2,2,则两圆的圆心距等则两圆的圆心距等 于于 ( )( ) A.1 B. C. D.2 A.1 B. C. D.2解析解析 如图所示如图所示, ,设球的球心为设球的球心为O O, ,两截面圆的圆心分两截面圆的圆心分别为别为A A、B B, ,相交弦为相交弦为CDCD, ,取取CDCD的中点的中点E E, ,则则BEBECDCD, ,AEAECDCD, ,CDCD平面平面ABEABE. .又又OAOAA A, ,OBOBB B, ,OAOACDCD, ,OBOBCDCD，CDCD平面平面OABOAB. .O O、A A、E E、B B四点共面四点共面, ,且四边形且四边形OAEBOAEB是矩形是矩形. .ABAB= =OEOE. .连结连结OCOC, ,ODOD, ,则则OCOC= =ODOD, ,OEOECDCD. .OCOC= =CDCD=2,=2,OEOE= . = . 答案答案 C C二、填空题二、填空题7.(20097.(2009浙江浙江) )若某几何体的三视图若某几何体的三视图( (单位单位:cm):cm)如图如图 所示所示, ,则此几何体的体积是则此几何体的体积是_cm_cm3 3. . 解析解析 该几何体是由二个长方体组成该几何体是由二个长方体组成, ,下面体积为下面体积为1 1 3 33=9,3=9,上面的长方体体积为上面的长方体体积为3 33 31=9,1=9,因此其几因此其几 何体的体积为何体的体积为18. 18. 18188.(20098.(2009全国全国)直三棱柱直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的各顶点都的各顶点都 在同一球面上在同一球面上. .若若ABAB= =ACAC= =AAAA1 1=2,=2,BACBAC=120=120, ,则此则此 球的表面积等于球的表面积等于_._. 解析解析 在在ABCABC中中, ,由余弦定理知由余弦定理知BCBC2 2= =ABAB2 2+ +ACAC2 2-2-2ABAB ACACcos 120cos 120=4+4-2=4+4-22 22 2 =12, =12, BCBC= .= . 由正弦定理知由正弦定理知ABCABC的外接圆半径的外接圆半径r r满足满足 r r=2,=2,由题意知球心到平面由题意知球心到平面ABCABC的距离为的距离为1 1，设球的，设球的 半径为半径为R R= = S S球球= = 9.9.连结球面上两点的线段称为球的一条弦连结球面上两点的线段称为球的一条弦, ,半径为半径为4 4的的 球的两条弦球的两条弦ABAB、CDCD的长度分别等于的长度分别等于 每条弦每条弦 的两端都在球面上运动的两端都在球面上运动, ,则两弦中点之间距离的最大则两弦中点之间距离的最大 值为值为_._. 解析解析 设球心为设球心为O O, ,由球的弦长知由球的弦长知 令令Q Q在线段在线段CDCD上上, ,则则2|2|OQOQ|4;|4;令令P P在线段在线段ABAB上上, , 则则3|3|OPOP|4. |4. MM可能在线段可能在线段CDCD上上, ,但但N N不能在线段不能在线段ABAB上，上，又由三角形性质又由三角形性质, ,若若MM、O O、N N三点不共线，三点不共线，则则| |MNMN| | |OMOM|+|+|ONON|=5,|=5,|MNMN| | |OMOM|-|-|ONON|=1,|=1,若若O O在线段在线段MNMN上上, ,则则| |MNMN|=|=|OMOM|+|+|ONON|=5,|=5,若若O O在线段在线段MNMN的延长线上，的延长线上，则则| |MNMN|=|=|OMOM|-|-|ONON|=1|=1，11MNMN5.5.答案答案 5 5 10.10.等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三 条侧棱上条侧棱上, ,已知正三棱柱的底面边长为已知正三棱柱的底面边长为2,2,则该三角形则该三角形 的斜边长为的斜边长为_._. 解析解析 一个等腰直角三角形一个等腰直角三角形DEFDEF的的 三个顶点分别在正三棱柱的三条侧三个顶点分别在正三棱柱的三条侧 棱上棱上,EDFEDF=90=90, ,已知正三棱柱已知正三棱柱 的底面边长为的底面边长为ABAB=2=2, ,则该三角形的则该三角形的 斜边斜边EFEF上的中线上的中线DGDG= = 斜边斜边EFEF的长为的长为 三、解答题三、解答题11.(200911.(2009福建福建) )如图所示如图所示, ,平行四平行四 边形边形ABCDABCD中中,DABDAB=60=60, ,ABAB=2,=2, ADAD=4.=4.将将CBDCBD沿沿BDBD折起到折起到 EBDEBD的位置，使平面的位置，使平面EDBEDB平平 面面ABDABD. . (1) (1)求证求证: :ABABDEDE； (2)(2)求三棱锥求三棱锥E EABDABD的侧面积的侧面积. . (1)(1)证明证明 因为因为DABDAB=60=60, ,ABAB=2,=2,ADAD=4.=4.在在ABDABD中中, ,BDBD2 2= =ABAB2 2+ +ADAD2 2-2-2ABABADADcoscosDABDAB=2=22 2+4+42 2-2-22 24 4 =12, =12,即即BDBD= = 所以有所以有BDBD2 2+ +ABAB2 2= =ADAD2 2成立，则成立，则BDBDABAB, ,所以所以BDBDCDCD, ,则则BDBDEDED，又因为平面又因为平面EDBEDB平面平面ABDABD，所以所以EDED平面平面ABDABD, ,则则ABABEDED. . (2)(2)解解 由由(1)(1)知知, ,BDBDABAB且且ABAB= =CDCD= =DEDE=2,=2,BDBD= = ADAD=4,=4,又又EDED平面平面ABDABD, ,所以所以EDEDADAD, ,EDEDBDBD, ,则则EBEB2 2= =EDED2 2+ +BDBD2 2=16,=16,即即EBEB=4=4，又因为平面又因为平面EDBEDB平面平面ABDABD且且ADADBDBD, ,所以所以ABABBEBE. .所以三棱锥所以三棱锥E EABDABD的侧面积等于的侧面积等于S SABEABE+ +S SADEADE+ +S SDBEDBE12.12.如图在四棱锥如图在四棱锥P PABCDABCD中中, ,平平 面面PADPAD平面平面ABCDABCD, ,ABABDCDC, , PADPAD是等边三角形是等边三角形, ,已知已知BDBD= = 2 2ADAD=8,=8,ABAB=2=2DCDC= = (1) (1)设设MM是是PCPC上的一点上的一点, ,证明证明: :平平 面面MBDMBD平面平面PADPAD; ; (2) (2)求四棱锥求四棱锥P PABCDABCD的体积的体积. . (1)(1)证明证明 在在ABDABD中中, ,由于由于ADAD=4,=4,BDBD=8,=8,ABAB= = 所以所以ADAD2 2+ +BDBD2 2= =ABAB2 2. .故故ADADBDBD. .又平面又平面PADPAD平面平面ABCDABCD，平面平面PADPAD平面平面ABCDABCD= =ADAD，BDBD平面平面ABCDABCD, ,所以所以BDBD平面平面PADPAD，又又BDBD平面平面MBDMBD, ,故平面故平面MBDMBD平面平面PADPAD. . (2)(2)解解 过过P P作作POPOADAD交交ADAD于于O O, ,由于平面由于平面PADPAD平面平面ABCDABCD, ,所以所以POPO平面平面ABCDABCD. .因此因此POPO为四棱锥为四棱锥P PABCDABCD的高，的高，又又PADPAD是边长为是边长为4 4的等边三角形的等边三角形. .因此因此在在RtRtADBADB中中, ,斜边斜边ABAB边上的高为边上的高为 此即为梯形此即为梯形ABCDABCD的高，的高，所以四边形所以四边形ABCDABCD的面积为的面积为 故故V VP PABCDABCD= = 返回