第第 五五 章章机机 器器 人人 运运 动动 学学1 一、一、2 二、二、3 齐次变换形式：齐次变换形式： 4X1的列矢量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍的列矢量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然记为：然记为：4 描述描述B系相对于系相对于A系的方位，系的方位， 为为B系相对于系相对于A系的平系的平移矢量。移矢量。 坐标原点的矢量，即零矢量表示为坐标原点的矢量，即零矢量表示为0,0,0,1T。矢量。矢量0,0,0,0T没有定义。具有形如没有定义。具有形如a,b,c,0T的矢量表示无限远的矢量表示无限远矢量，用来表示方向，即矢量，用来表示方向，即1,0,0,0T，0,1,0,0T，0,0,1,0T分别表示分别表示x，y，z轴的方向。轴的方向。5 例：已知点例：已知点u=7i+3j+2k，对它进行绕，对它进行绕z轴旋转轴旋转90的齐次变的齐次变换为：换为：6 三、机器人运动学方程的表示三、机器人运动学方程的表示 同理，若同理，若A3表示第三个连杆相对于第二个连杆的位置和姿表示第三个连杆相对于第二个连杆的位置和姿态，则有：态，则有：1、 可以把任何机器人的机械手看做是一系列由关节连接起来的可以把任何机器人的机械手看做是一系列由关节连接起来的连杆构成。机械手每一个连杆建立一个坐标系，并用齐次变换连杆构成。机械手每一个连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标间的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与来描述这些坐标间的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的齐次变换叫做下一个连杆间相对关系的齐次变换叫做A矩阵。一个矩阵。一个A矩阵就是矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。如果一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。如果A1表表示第一个连杆对于基系的位置和姿态，示第一个连杆对于基系的位置和姿态，A2表示第二个连杆相对表示第二个连杆相对于第一个连杆的位置和姿态，那么第二个连杆在基系中的位置于第一个连杆的位置和姿态，那么第二个连杆在基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出：和姿态可由下列矩阵的乘积给出： 六连杆机械手有下列矩阵：六连杆机械手有下列矩阵： T2=A1A2 T3=A1A2A3 T6=A1A2A3A4A5A67 2、机械手的运动方向、机械手的运动方向六连杆机械手的六连杆机械手的T矩阵（矩阵（T6）可由其）可由其16个元素的数值来确个元素的数值来确定，其中只有定，其中只有12个元素具有实际含义。个元素具有实际含义。8 机器人的运动方程，又称位姿方程，都是用位姿矩阵表示机机器人的运动方程，又称位姿方程，都是用位姿矩阵表示机器人的运动方程，即以各杆之间的关节变量为变量的方程式，器人的运动方程，即以各杆之间的关节变量为变量的方程式，这可分成两类问题求解。这可分成两类问题求解。Si93、机械手运动方程的求解、机械手运动方程的求解 1）求解运动方程时，从）求解运动方程时，从T6开始求解关节位置。使开始求解关节位置。使T6的符号表达式的符号表达式的各元素等于其一般形式，并据此确定的各元素等于其一般形式，并据此确定1，其他五个关节参数不可能，其他五个关节参数不可能从从T6求的，因此可从其他求的，因此可从其他T矩阵来求解它们。一旦求的矩阵来求解它们。一旦求的1之后，可由之后，可由A1-1 左乘左乘T6的一般形式，得：的一般形式，得： 式中左边为式中左边为1和和T6各元的函数，此式可用来求解其他各关节变量，各元的函数，此式可用来求解其他各关节变量，如如2。不断的用不断的用A的逆矩阵左乘，可得另外四个矩阵方程式：的逆矩阵左乘，可得另外四个矩阵方程式： 求解运动学方程，即求的机械手各关节坐标，这对机械手的控制至求解运动学方程，即求的机械手各关节坐标，这对机械手的控制至关重要。根据关重要。根据T6知道机械手要移动到什么地方，知道各关节坐标，一知道机械手要移动到什么地方，知道各关节坐标，一边进一步确定如何移动。边进一步确定如何移动。10 2）绕三轴转动的变换解）绕三轴转动的变换解 令：令：11 其中，其中，f11=cx+sy，f12=-sx+cy，f13=z, 而而x,y和和z为为f11, f12和和f13的各的各相应分量，例如：相应分量，例如： f11(p)=cpx+spy f12(a)=-sax+cay 令令f12(n)与右式对应元素相等，可得：与右式对应元素相等，可得： 12四、四、131415经验算：经验算：16（3-66）（3-67）（3-68）17（3-70）18（3-72）19（3-74）（3-75）2021（3-80）22（3-83）（3-84）23 在在对机器人机器人进行操作与控制行操作与控制时，常常涉及到机械手位置和姿，常常涉及到机械手位置和姿态的微小的微小变化。化。这些些变化可由描述机械手位置的化可由描述机械手位置的齐次次变换矩矩阵的微小的微小变化来表示。在数学上，化来表示。在数学上，这种微小种微小变化可用微分化可用微分变化来化来表达。机械手运表达。机械手运动过程中的微分关系是很重要的。程中的微分关系是很重要的。 例如，当用例如，当用摄像机来像机来观察机械手的末端察机械手的末端执行装置行装置时，我，我们需需要把要把对于一个坐于一个坐标系的微分系的微分变化化变换为对于另一坐于另一坐标系的微分系的微分变化。比如化。比如说，把，把摄像机的坐像机的坐标系建立在系建立在T6上。上。应用微分关系用微分关系对于研究机械手的于研究机械手的动力学力学问题，也是十分重要的。，也是十分重要的。机器人的雅可比公式机器人的雅可比公式24机器人的微分运动机器人的微分运动 已知一个变换，其元素为某个变量的函数，那么对已知一个变换，其元素为某个变量的函数，那么对这个变量的微分变换就是这样的变换，其元素为原变换元素这个变量的微分变换就是这样的变换，其元素为原变换元素的导数。研究出一种方法，使得对坐标系的导数。研究出一种方法，使得对坐标系T的微分变换等的微分变换等价于对基系的变换。价于对基系的变换。 既可以用给定的坐标系也可以用基坐标系来表示既可以用给定的坐标系也可以用基坐标系来表示微分平移和旋转微分平移和旋转.（3-85）25（3-86）2627（3-87）28（3-88）（3-89）29（3-90）30（3-91）313233（3-92）34（3-93）35（3-94）36（3-95）（3-96）37（3-97）（3-98）38（3-99）（3-100）（3-101）39（3-102）404142 设有两坐标系设有两坐标系A和和B，B相对于相对于A而定义，微分运而定义，微分运动变换图为：动变换图为：435CAM5A644因此：因此：45n o a p 微分坐标变换矩阵微分坐标变换矩阵T T可以从图中直接求出：可以从图中直接求出：即从已知的微分变化变即从已知的微分变化变换的箭头起，回溯到待换的箭头起，回溯到待求的等价微分变化止所求的等价微分变化止所经过的路径。经过的路径。46（3-106）（3-107）47（3-108）（3-109）48（3-110）（3-111）（3-112）49（3-113）50（3-114）（3-115）51（3-116）（3-117）52（3-118）（3-119）53（3-120）（3-121）54（3-122）5556机器人雅可比矩阵计算实例机器人雅可比矩阵计算实例 下面举例说明计算具体机器人微分运动和雅可比矩阵的方下面举例说明计算具体机器人微分运动和雅可比矩阵的方法。先建立西博特奇（法。先建立西博特奇（Cybotech）V-80 机器人的雅可比矩机器人的雅可比矩阵，再计算阵，再计算PUMA560机器人的雅可比矩阵。机器人的雅可比矩阵。1、V-80机器人的雅可比矩阵机器人的雅可比矩阵 如图表示法国西博特奇公司生产的如图表示法国西博特奇公司生产的V-80工业机器人的工业机器人的外形略图及其停止位置。图（外形略图及其停止位置。图（b）中，停止位置是这样选择的，）中，停止位置是这样选择的，使得悬臂与基系坐标使得悬臂与基系坐标x轴平行，而机械手的夹手垂直向上。轴平行，而机械手的夹手垂直向上。V-80的连杆和关节参数表示于表，其的连杆和关节参数表示于表，其6个关节的运动都是转动的。个关节的运动都是转动的。5758V-80 机械手连杆与关节参数机械手连杆与关节参数59 在建立在建立V-80操作机器人的雅可比矩阵时，应用了如此图所示操作机器人的雅可比矩阵时，应用了如此图所示的变换图。的变换图。6061626364652、PUMA 560机器人的雅可比矩阵机器人的雅可比矩阵 PUMA 560的的6个关节也都是转动的，其雅可比矩阵含有个关节也都是转动的，其雅可比矩阵含有6列。列。根据式根据式（3.121）可计算各列元素。现分别用两种方法计算。可计算各列元素。现分别用两种方法计算。66676869707172谢谢观赏！谢谢观赏！