向量数量积的运算律向量数量积的运算律复习回顾复习回顾1.1.两个向量的夹角两个向量的夹角2.2.向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影 正射影的数量正射影的数量3.3.向量的数量积（内积）向量的数量积（内积） ab=4.4.两个向量的数量积的性质：两个向量的数量积的性质：(1). a b a b = 0(2). a a = |a|2或或(3). cos =范围范围0a ，b；平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律 已知向量已知向量 和实数和实数 ,则向量的数量积满足：则向量的数量积满足：（1）（交换律）（交换律）（2）（数乘结合律）（数乘结合律）（3）（分配律）（分配律）注意：注意：数量积运算数量积运算不满足结合律消去律不满足结合律消去律（1）交换律：）交换律：证明：证明： 设设 夹角为夹角为 ， 则则所以所以（2）若若证明：证明：若若数乘结合律数乘结合律（3）分析：分析： 12A1B1AOBC分配律分配律平面向量数量积的常用公式平面向量数量积的常用公式例例1 已知已知与与 的夹角为的夹角为60，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （3） =2=3解解：（：（3）的夹角为的夹角为120,120,例例2.2.a=2, b=3,求求已已知知与与ab垂直垂直与与aba- -oo1800， q q例例3.3.已知已知a a=1, =1, b b=2,a=2,a与与a-ba-b垂直垂直. .求求a a与与b b的夹角的夹角（）（babak2+ + - -变形： 已已知知: :a与与bo的的 夹夹 角角 为为60b=4,a=5，问问当当k为为 何何值值时时 向向量量ka-b与与a+2b垂垂直直？所以所以=424(0.5)=8.例例4. 已知已知|a|=2，|b|=4，=120 ，求，求 a与与ab的夹角。的夹角。解：解：(ab) a=|a|2ab |ab|=2(ab)2=|a|22ab+|b|2=28,