13.5 13.5 线段的垂直平分线线段的垂直平分线问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址. ABC直线直线MN AB，垂足是，垂足是C，且且AC=CB.点点P在在MN上上.已知：已知：PA=PB求证：求证：ABCNMP证明证明:MNMN ABAB（已知）已知） PCA=PCA= PCB(PCB(垂直的定义垂直的定义) )在在 PCAPCA和和 PCBPCB中中, ,AC=CB(AC=CB(已知已知),), PCA=PCA= PCB(PCB(已证已证) )PC=PC=PCPC( (公共边公共边) ) PCA PCA PCB(SAS)PCB(SAS)PA=PB(PA=PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )ABCMNPABCMNP当点当点P与点与点C重合时重合时,上述证上述证明有什么缺陷明有什么缺陷? PCAPCA与与 PCBPCB将不存在将不存在. .PA与与PB还相等吗还相等吗?相等相等! !此时此时,PA=CA,PB=CB已知已知AC=CB PA=PBPA=PBABC MN 线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点到这条线段到这条线段两个端点两个端点的的距离相等距离相等.定理定理已知线段已知线段AB,有一有一点点P,并且并且PA=PB.那么那么,点点P是否一定是否一定在在AB的垂直平分的垂直平分线上线上?PABMN C P /这样的点这样的点P /不存在不存在ABPC已知已知:线段线段AB,且且PA=PB求证求证:点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线平分线MN上上. 过点过点P作作PC AB垂足为垂足为C. PA=PB(已知已知) PABPAB是等腰三角形是等腰三角形( (等腰三角等腰三角 形的定义形的定义) )AC=BC(AC=BC(等腰三角形底边上等腰三角形底边上的高是底边上的中线的高是底边上的中线) )PCPC是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .即即点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线平分线MN上上.证明证明: 和一条线段两个端和一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的点,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上.逆定理逆定理小结小结:1.线段的垂直平分线上的点线段的垂直平分线上的点,和这条和这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等.2.和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的 点点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.互互逆逆命命题题例例 已知已知:如图如图 ABC中中,边边AB、BC的的垂直平分线相交于点垂直平分线相交于点P.求证求证:PA=PB=PC. PA=PB(线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等点和这条线段两个端点距离相等)证明证明: 点点A在线段在线段AB的的垂直平分线垂直平分线(已知已知)同理同理 PB=PC PA=PB=PC.ACBMPNM/N/问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址. ABCP 点点P为校址为校址作图题作图题:如图如图,在直线在直线 l 上求一点上求一点P,使使PA=PB l BAP点点P为所求作的点为所求作的点填空：填空：1.已知已知:如图如图,AD是是 ABC的高的高,E为为AD上一点上一点,且且BE=CE,则则 ABC为为 三角形三角形.ABCED1题图题图等腰等腰填空：填空：1.已知已知:如图如图,AD是是 ABC的高的高,E为为AD上一点上一点,且且BE=CE,则则 ABC为为 三角形三角形.2.已知已知: 等腰等腰 ABC,AB=AC,AD为为BC边上的高边上的高,E为为AD上一点上一点,则则BE EC.(填填、或或=号号)ABCEDABCED1题图题图2题图题图等腰等腰=3.已知已知:如图如图,AB=AC, A=30o,AB的垂的垂直平分线直平分线MN交交AC于于D,则则 1= , 2= .ABCDMN30o1275o30o60o45o填空：填空：4.已知已知:如图如图,在在 ABC中中,DE是是AC的垂直平分线的垂直平分线,AE=3cm, ABD的周长为的周长为13cm,则则 ABC 的周长的周长为为 cmABDCE3cm3cm1913cm5.如图如图,CD、EF分别是分别是AB、BC的垂直的垂直平分线平分线.请你指出图中相等的线段有哪些请你指出图中相等的线段有哪些?AD =BDCF = BFAC = BCCE = BE123CF =DF即即:BF=CF=DFACEBFD证明题证明题:1.已知已知: ABC中中, C=90 , A=30o,BD平分平分 ABC交交AC于于D.求证求证:D点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.ABCD证明证明:30o C=90o, A=30o(已知已知) ABC=60o(三角形内角和定理三角形内角和定理) A= ABD (等量代换等量代换) D点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.(和一和一条线段两个端点距离相等的点条线段两个端点距离相等的点,在这在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上.)BD平分平分 A BC(已知已知) ABD=30o(角平分线的定义角平分线的定义)30o AD=BD(等角对等边等角对等边)证明题证明题:2.已知已知:如图如图,线段线段CD垂直平分垂直平分AB,AB平分平分 CAD. 求证求证:ADBC.ABCDO123证明证明: 线段线段CD垂直平分垂直平分AB(已知已知) CA=CB(线段垂直平分线的线段垂直平分线的性质定理性质定理) 1= 3(等边对等角等边对等角)又又 AB平分平分 CAD(已知已知) 1= 2(角平分线的定义角平分线的定义) 2= 3(等量代换等量代换) AD BC(内错角相等内错角相等, ,两直线平行两直线平行)证明题证明题:3.已知已知:如图如图,在在 ABC中中, AB=AC, A=120o,AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于于E,交交BC于于F.求证求证:CF=2BF.ABCEF30060O30030OCF=2AFAF=BFCF=2BFv线段垂直平分线上的点和这条线段线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等两个端点的距离相等.和一条线段两个端点距离相等的点和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.k互逆命题互逆命题.证明题证明题:4.已知已知:如图如图,AD平分平分 BAC,EF垂直平分垂直平分AD交交BC的延长线于的延长线于F,连结连结AF.求证求证: CAF= B.ABCDEF1234ABCDEF1234 1+ 2= 4(等边对等角等边对等角)又又 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和) 1+ 2= B+ 3 AD平分平分 BAC(已知已知) 2= 3(角平分线的定义角平分线的定义) 1= B 即即 CAF= B.证明证明: EF垂直平分垂直平分AD(已知已知) AF=DF(线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理) 如图如图,已知已知: AOB,点点M、N.求作求作:一点一点P,使点使点P到到 AOB两边的两边的距离相等距离相等,并且满足并且满足PM=PN.MNAOB.P点点P为所求为所求作的点作的点