一元函数积分学一元函数积分学张艳霞1简易辅导二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法第一讲反常积分反常积分无穷限的反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法 函数 2简易辅导定义定义1. 设设若若存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限广义积分广义积分, 记作记作这时称广义积分这时称广义积分收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称广义积分就称广义积分发散发散 .一、无穷限广义积分一、无穷限广义积分注：注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积3简易辅导引入记号引入记号则有类似则有类似N L公式的计算表达式公式的计算表达式 :2. 无穷限广义积分的计算无穷限广义积分的计算4简易辅导一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法定理定理1.若函数若函数证证:根据极限收敛准则知根据极限收敛准则知 存在存在 ,5简易辅导定理定理2 . (比较审敛原理比较审敛原理)且对充且对充, 则则证证: 不失一般性不失一般性 ,因此因此 单调递增有上界函数单调递增有上界函数 , 6简易辅导说明说明: 已知已知得下列比较审敛法得下列比较审敛法.极限存在极限存在 ,7简易辅导定理定理3. (比较审敛法比较审敛法 1)8简易辅导例例1. 判别反常积分判别反常积分解解:的敛散性的敛散性 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由比较审敛法由比较审敛法 1 可知原积分收敛可知原积分收敛 .思考题思考题: 讨论反常积分讨论反常积分的敛散性的敛散性 .提示提示: 当当 x1 时时, 利用利用 可知原积分发散可知原积分发散 .9简易辅导定理定理4. (极限审敛法极限审敛法1)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有则有: 1) 当当2) 当当证证:根据极限定义根据极限定义 , 对取定的对取定的当当 x 充充分大时分大时, 必有必有, 即即满足满足10简易辅导当机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可取可取必有必有即即注意注意: 此极限的大小刻画了此极限的大小刻画了11简易辅导例例2. 判别反常积分判别反常积分的敛散性的敛散性 . 解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分收敛该积分收敛 . 例例3. 判别反常积分判别反常积分的敛散性的敛散性 . 解解:根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分发散该积分发散 . 12简易辅导定理定理5.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证：证：则则而而13简易辅导定义. 设反常积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则称则称绝对收敛绝对收敛 ; 则称则称条件收敛条件收敛 . 例例4. 判断反常积分判断反常积分的敛散性的敛散性 .解解:根据比根据比较审敛原理知较审敛原理知故由定理故由定理5知所知所给积分收敛给积分收敛 (绝对收敛绝对收敛) .14简易辅导(2013)15简易辅导无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由定义由定义 例如例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来的反常积分中来 .16简易辅导定理定理6. (比较审敛法比较审敛法 2)定理定理3 3 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 瑕点瑕点 ,有有有有利用利用有类似定理有类似定理 3 与定理与定理 4 的如下审敛法的如下审敛法. 使对一切充分接近使对一切充分接近 a 的的 x ( x a) .17简易辅导定理定理7. (极限审敛法极限审敛法2)定理定理4 4 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有则有: 1) 当当2) 当当例例5. 判别反常积分判别反常积分解解:利用洛必达法则得利用洛必达法则得根据极限审敛法根据极限审敛法2 , 所给积分发散所给积分发散 .18简易辅导例例6. 判定椭圆积分判定椭圆积分定理定理4 4 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 散性散性 . 解解:由于由于 的敛的敛根据极限审敛法根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛椭圆积分收敛 . 19简易辅导类似定理类似定理5, 有下列结论有下列结论:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 称为绝对收敛称为绝对收敛 . 则反常积分则反常积分 20简易辅导三、三、 函数函数1. 定义定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下面证明这个特殊函数在下面证明这个特殊函数在内收敛内收敛 . 令令21简易辅导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 综上所述综上所述 , 22简易辅导2. 性质(1) 递推公式递推公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证: (分部积分分部积分)注意到注意到:23简易辅导(2)得应用中常见的积分得应用中常见的积分这表明左端的积分可用这表明左端的积分可用 函数来计算函数来计算.例如例如,24简易辅导例例.(2014)25简易辅导(2010)26简易辅导(2012)27简易辅导