第4讲简单的线性规划考纲要求考点分布考情风向标1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决2011年新课标卷考查简单线性规划求截距的最小值；2012年大纲卷考查简单线性规划求截距的取值范围；2013年新课标卷考查简单线性规划求截距的最大值；2014年新课标卷考查已知线性规划截距的最小值，求参数；2015年新课标卷考查简单线性规划求截距的最大值1.线性规划是高考的重点和热点，本节复习过程中，解题时要注重目标函数的几何意义的应用.2.准确作图是正确解题的基础，解题时一定要认真仔细作图，这是解答正确的前提1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线 l：AxByC0 把直角坐标平面分成三个部分：AxByC0直线 l 上的点(x，y)的坐标满足_；直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 AxByC0；直线 l 另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 AxByC0.所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，计算Ax0By0C的值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.(2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxByC 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的符号即可判断不等式表示的平面区域.名称意义目标函数欲求最大值或_的函数 zAxBy约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足线性约束条件的解可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或_问题2.线性规划相关概念最小值最小值1.写出能表示如图 6-4-1 所示的阴影部分的二元一次不等式组(含边界)：_.图 6-4-1)则z2x3y 的最小值是(A.7C.5B.6D.3解析：作出不等式组表示的可行域，如图D24(阴影部分).图 D24易知直线 z2x3y 过点 C 时，z 取得最小值.zmin23346.故选B.答案：B实数 m 的取值范围是_.15m104.若点(1,3)和点(4，2)在直线 2xym0 的两侧，则考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域例 1：(1)设集合 A(x，y)|x，y,1xy 是三角形的三边长 ，则集合 A 所表示的平面区域( 不含边界的阴影部分) 是()ABCD思维点拨：由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确定二元一次不等式组，然后求可行域.解析：由于 x，y,1xy 是三角形的三边长，答案：A故选 A.图 D25答案：4A.a5B.a7C.5a7D.a5 或 a7答案：C【规律方法】本题以三角形、集合为载体来考查线性规划问题，由于是选择题，只要找出正确的不等式组并作出相应的直线即可看出答案，这就是做选择题的特点.考点 2 线性规划中求目标函数的最值问题解析：如图 D26，先画出可行域，图 D26答案：C答案：4图 D27【规律方法】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：在平面直角坐标系内作出可行域；考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.【互动探究】则zx2y的最大值为( )A.8B.7C.2D.1图 D28答案：B解析：(1)约束条件表示的平面区域如图D28中阴影部分所1考点 3 非线性目标函数的最值问题图 6-4-2答案：3图6-4-3【规律方法】用线性规划求最值时，要充分理解目标函数的几何意义，只有把握好这一点，才能准确求解，常见的非线性目标函数的几何意义如下：【互动探究】解析：不等式组表示的区域如图D29，则|OM|的最小值就是坐标原点O 到直线xy20 的距离，即图D29思想与方法利用数形结合的思想求线性规划问题中的参数解析：(1) 在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及 所表示的平面区域，如图6-4-4 阴影部分.由图可知，当 m1 时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约图 6-4-4束条件，故 m 的最大值为 1.答案：B图6-4-5再注意到直线 AB：xy20 与直线 BC：xy2m0互相垂直，所以ABC 是直角三角形，化简得：(m1)24，解得m3或m1，检验知当m3 时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以 m1；故选 B.答案：B1.利用线性规划研究实际问题的基本步骤是：(1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.(2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.2.求目标函数的最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是首先确定区域内点的横坐标范围，确定 x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出 y 的一元一次不等式组，再确定 y 的所有相应整数值，即先固定 x，再用 x 制约 y.3.非线性规划问题，是指目标函数和约束函数中至少有一个是非线性函数.对于这类问题的考查往往以求非线性目标函数最值的方式出现.4.线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得.特别地，当表示目标函数的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数个.对于实际问题(如整点问题)，还要特别对待.