4.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值矩阵的特征值特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质第四章第四章 矩阵的特征值矩阵的特征值说明说明一、矩阵的特征值一、矩阵的特征值说明说明说明说明求求矩阵矩阵A A的特征值及特征向量的特征值及特征向量问题就转化为求解问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题问题. .解解例例 例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解得基础解系为得基础解系为例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明 例例例例 设矩阵设矩阵 A 为为对合矩阵对合矩阵(即即 A2 = I), 且且 A 的特征值都是的特征值都是 1 , 证明证明 : A = I .由于由于 A 的特征值都是的特征值都是 1 , 这说明这说明 -1 不是不是 A 的特征值的特征值,即即|A + I| 0.因而因而 I + A 可逆可逆. (I + A) - 1 即可得即可得 A =I. 在在 (I + A)(I - A) = 0 两端左乘两端左乘由由 A2 = I可得可得 (I + A)( I - A) = 0,证明证明例例试证试证证：证：必要性必要性如果如果 A 是奇异矩阵，则是奇异矩阵，则 |A| 0。于是于是即即0是是 A 的一个特征值的一个特征值充分性：充分性：设设 A 有一个特征值为有一个特征值为0，对应的特征向量为，对应的特征向量为 x.由由特征值的定义有：特征值的定义有： 齐次线性方程组有非零解，由此可知齐次线性方程组有非零解，由此可知 |A| 0，即，即A为奇为奇异矩阵异矩阵.亦可叙述为亦可叙述为：证明证明即即A与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此必有相同的特征值必有相同的特征值.二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质证明证明:则则类推之，有类推之，有定理定理3：把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得注意注意. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的 .属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值说明说明.在复数范围内，在复数范围内，n阶方阵阶方阵A一定有一定有n个特征根，个特征根，其中可能有重根和复根其中可能有重根和复根.定理定理4表明，全部特征根的和与表明，全部特征根的和与A的主对角的主对角线元素的和相等；全部特征根的乘积等于线元素的和相等；全部特征根的乘积等于|A|.当当det A=0时时, A至少有一个零特征值至少有一个零特征值.3. 当当det A 0时时, A的特征值全为非零数的特征值全为非零数