2.6对数与对数函数对数的概念及运算对数的概念及运算1.对数的概念对数的概念一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.x=logaN2.对数的性质与运算法则对数的性质与运算法则(1)对数的基本性质(a0且a1,N0)a.loga1=0;logaa=1;b.=;logaaN=.(2)对数的运算法则如果a0且a1,M0,N0,则a.loga(MN)=logaM+logaN;b.loga=logaM-logaN;c.logaMn=nlogaM(nR).NNa.logaN=(a,b0,a,b1,N0);b.lobn=logab(a,b0且a1,m,nR且m0);c.logablogba=1(a,b0且a,b1);d.logablogbclogcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的换底公式及推论c3.对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质a10a1时,y0;当0x1时,y1时,y0;当0x0是(0,+)上的增函数是(0,+)上的减函数4.对数函数与指数函数的性质比较对数函数与指数函数的性质比较快速判断logax符号的结论:给定区间(0,1)和(1,+),当a与x位于这两个区间中的同一个时,则logax0,否则logax0且a1)y=logax(a0且a1)定义域(-,+)(0,+)值域(0,+)(-,+)单调性当a1时为增函数,当0a1时:若x0,则y1;若x=0,则y=1;若x0,则0y1时:若x1,则y0;若x=1,则y=0;若0x1,则y0当0a0,则0y1;若x=0,则y=1;若x1当0a1,则y0;若x=1,则y=0;若0x0图象y=ax(a0且a1)的图象与y=logax(a0且a1)的图象关于直线对称y=x1.已知2a=3b=m,且+=2,则实数m的值为()A.B.C.6D.答案A由2a=3b=m得a=log2m,b=log3m,+=logm2+logm3=logm6=2.又m0,m=,故选A.c2.已知1mn,令a=(lognm)2,b=lognm2,c=logn(lognm),则()A.abcB.acbC.bacD.cam1,所以0lognm(lognm)2=a,c=logn(lognm)0,所以cab.故选D.c3.“0ab1”是“0logab1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A当0ab1时,有0logablogaa=1,即充分性成立.若0logab1时,有1ba;当0a1时,有0ab0且a1)满足f(1)1,则函数y=loga(x2- 1 ) 的 单 调 减 区 间 为()A.(1,+)B.(-,0)C.(-,-1)D.(0,+)答案Cf(1)=a1,y=loga(x2-1)的定义域为(-,-1)(1,+),令g(x)=x2-1,则g(x)在(-,-1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.所以y=loga(x2-1)的单调减区间为(-,-1).故选C.c5.设f(x)=+,则f(x)+f=()A.1B.2C.3D.4答案Cf(x)+f=+=+=3.c6.(2015浙江丽水模拟)函数f(x)=|log3x|在区间a,b上的值域为0,1,则b-a的最小值为.答案解析函数f(x)=|log3x|的图象如图:而f=f(3)=1,f(1)=0,由图可知当a=,b=1时,b-a取得最小值.c对数式的求值与化简对数式的求值与化简典例1(1)(2013浙江,3,5分)已知x,y为正实数,则()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx2lgyC.2lgxlgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx2lgy(2)(2015嘉兴二模,3,5分)(log43+log83)(log32+log92)=()A. B.C.5D.15=log32=.故选A.答案(1)D(2)A解析(1)2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx2lgy,故选D.(2)原式=对数式求值化简的思想方法(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底数对数的积、商、幂再进行运算.1-1(2015浙江,12,4分)若a=log43,则2a+2-a=.答案解析a=log43=log2,2a+2-a=+=+=.1-2(2015天津文,12,5分)已知a0,b0,ab=8,则当a的值为时,log2alog2(2b)取得最大值.答案4解析由已知条件得b=,令f(a)=log2alog2(2b),则f(a)=log2alog2=log2a(log216-log2a)=log2a(4-log2a)=-(log2a)2+4log2a=-(log2a-2)2+4,当log2a=2,即a=4时,f(a)取得最大值.对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用典例2(2014福建,4,5分)若函数y=logax(a0,且a1 ) 的 图 象 如 图 所 示 , 则下列函数图象正确的是()答案B解析由题图可知y=logax的图象过点(3,1),loga3=1,即a=3.A项,y=在R上为减函数,错误;B项,y=x3符合;C项,y=(-x)3=-x3在R上为减函数,错误;D项,y=log3(-x)在(-,0)上为减函数,错误.(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解.(2)对一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题,利用数形结合法求解.2-1(2014山东,6,5分)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,a1 ) 的图象如图,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,0c1C.0a1D.0a1,0c1答案D解析由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0a0,即logac0,所以0c1.c2-2若不等式x2-logax0对任意x恒成立,则实数a的取值范围是()A.a|0a1D.答案B解析由x2-logax0得x2logax,设f1(x)=x2,f2(x)=logax,x时,要使不等式x21时,显然不成立;当0a1时,如图所示,需f1f2,所以有loga,解得a,a1.对数值大小的比较对数值大小的比较典例3(2015浙江镇海中学阶段检测,8)已知0ayzB.zyxC.yxzD.zxy答案C解析x=loga+loga=loga,y=loga5=loga,z=loga-loga=loga,0a1,logaloga,即yxz,故选C.c对数值比较大小的方法(1)比较对数值大小时,常化为同底(或找中间量).(2)当a1时,logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0;当0alogag(x)0f(x)3b3”是“loga33b3”等价于“ab1”,“loga3b1或0a1b或0ba3b3”是“loga30,b0,则ln+(ab)=bln+a;若a0,b0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;若a0,b0,则ln+ln+a-ln+b;若a0,b0,则ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)解析对于:当0ab1时,有此时ln+(ab)=lnab=blna,而bln+a=blna=ln+(ab),综上,ln+(ab)=bln+a,故正确;对于:令a=2,b=,则ln+(ab)=ln+=0;而ln+a+ln+b=ln20,故ln+(ab)=ln+a+ln+b不成立,故错误;答案对于:当01时,有或或经验证,ln+ln+a-ln+b成立;当=1时,ln+ln+a-ln+b成立,故正确;对于,分四种情况进行讨论:当a1,b1时,不妨令ab,有2ab2aa+b,此时ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2成立;同理,当a1,0b1或0a1,b1或0a1,0b0在1,+)上恒成立,即所以即-a2,故选D.c4-2(2015绍兴期末)已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(kR)是偶函数.(1)求k的值;(2)若f(2t2+1)0,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.解析(1)f(-x)=log2(4-x+1)-kx=log2(4x+1)-2x-kx,c因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以(2k+2)x=0,所以k=-1.(2)因为k=-1,所以f(x)=log2,设0x10,所以log2log2,即f(x2)f(x1),所以f(x)在0,+)上是单调递增函数,因为f(2t2+1)f(t2-2t+1),2t2+11,t2-2t+10,所以2t2+1t2-2t+1,t2+2t0,所以-2t0,所以g(x)=log2的定义域为,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,方程log2(4x+1)-x=log2在上只有一解,即方程=a2x-a在上只有一解,令t=2x,则t,原条件等价于(a-1)t2-at-1=0(*)在上只有一解,当a=1时,解得t=-,不合题意.记h(t)=(a-1)t2-at-1,则h(t)图象的对称轴为t=.当0a1时,t=1时,t=0,所以当h0,即(a-1)-a-11.综上所述,所求a的取值范围为a1.