数值分析数值分析数值分析数值分析 第四节第四节 误差分析和解的精度改进误差分析和解的精度改进一、向量与矩阵的范数一、向量与矩阵的范数二、解的误差分析基本问题二、解的误差分析基本问题解的稳定性解的稳定性1数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义一、向量范数公理一、向量范数公理2数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二二. . 几种常用线性空间的范数几种常用线性空间的范数3数值分析数值分析数值分析数值分析4数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析5数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析6数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析例：例：证明证明注意：注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混 用不同的范数。用不同的范数。2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。 7数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析8数值分析数值分析数值分析数值分析9数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析10数值分析数值分析数值分析数值分析11数值分析数值分析数值分析数值分析（2）算子范数算子范数定义定义:设设 |x|是是Rn上的向量范数上的向量范数,ARnn,则则A的非负函数的非负函数称为矩阵称为矩阵A的算子范数的算子范数注注1:矩阵的算子范数由向量范数所导出矩阵的算子范数由向量范数所导出, 如如注注2:算子范数满足相容性算子范数满足相容性其中其中, A Rnn ,x Rn10/1812数值分析数值分析数值分析数值分析二、解的误差分析基本问题二、解的误差分析基本问题解的稳定性解的稳定性13数值分析数值分析数值分析数值分析 数学稳定性数学稳定性: :对数学问题而言，如果输入数据有对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是大扰动，则称数学问题是病态问题病态问题，否则称为，否则称为良态良态问题问题。 数值方法的稳定性数值方法的稳定性: :一个算法如果输入数据有扰一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。的。14数值分析数值分析数值分析数值分析15数值分析数值分析数值分析数值分析16数值分析数值分析数值分析数值分析引例引例. Hilbert矩阵的病态性矩阵的病态性方程组方程组 Ax=b1 的解为的解为x1 A(x+x)=b+b方程组方程组 Ax = b 的解为的解为 xx x1= -2.4 27.0 -64.8 42.0 T2/18数据计算结果数据计算结果17数值分析数值分析数值分析数值分析18数值分析数值分析数值分析数值分析19数值分析数值分析数值分析数值分析20数值分析数值分析数值分析数值分析21数值分析数值分析数值分析数值分析22数值分析数值分析数值分析数值分析23数值分析数值分析数值分析数值分析证闭证闭24数值分析数值分析数值分析数值分析25数值分析数值分析数值分析数值分析26数值分析数值分析数值分析数值分析27数值分析数值分析数值分析数值分析28数值分析数值分析数值分析数值分析29数值分析数值分析数值分析数值分析30数值分析数值分析数值分析数值分析31数值分析数值分析数值分析数值分析 前面介绍的列主元法解决了前面介绍的列主元法解决了GaussGauss消元法由于小主元的出消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为力了。力了。列主元法求解列主元法求解x1 1= =x2 2=1=1 按行比例按行比例消元法消元法 : :将每个方程乘上一个适当的比例因子，使将每个方程乘上一个适当的比例因子，使方程组的最大系数的绝对值不超过方程组的最大系数的绝对值不超过1 1，然后再做列主元消元。，然后再做列主元消元。（2）（行）比例增减改善）（行）比例增减改善32数值分析数值分析数值分析数值分析例例4 4 应用按比例消元法求解应用按比例消元法求解 方程组方程组 2 2、在第、在第k k步消元前，选最小的步消元前，选最小的r r，使，使3 3、对换、对换 E Ek k E Er r , s, sk k s sr r 4 4、消元、消元 具体步骤如下：具体步骤如下：1 1、在第一步消元前，计算、在第一步消元前，计算33数值分析数值分析数值分析数值分析算法算法 按行比例列主元高斯消元法解线性方程组按行比例列主元高斯消元法解线性方程组 Ax = bAx = b34数值分析数值分析数值分析数值分析35数值分析数值分析数值分析数值分析 判断判断方程组方程组病态的经验病态的经验:a)用主元消去法求解时出现小主元(A非奇).b)某些行(或列)近似线性相关.c)A的元素间数量级相差很大,且无规律.求解求解“病态病态”方程组的方法和措施方程组的方法和措施:求解“病态”方程组轻度病态：轻度病态：1:双精度改善2:比例增减改善3:迭代改善。病态严重：病态严重：1:正交分解2:A的奇异值分解。36