课本基础知识的延伸：课本基础知识的延伸：线段中点的向量表达式：若线段中点的向量表达式：若P为线段为线段AB的中点，则的中点，则2.2.若点若点P，A，B共线，则共线，则4.4.若若不共线，不共线，则，则3.3.若若G为为ABC的重心，则的重心，则反之亦然反之亦然.1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一点及一点满满足关系式足关系式，则则A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（ ）解：由解：由即：即：化化简简有：有：同理有：同理有：为为的垂心的垂心. .的外接的外接圆圆的的圆圆心心为为O，两条，两条边边上的高的交点上的高的交点为为H，则实则实数数 解法一：解法一：特例法特例法为为一个直角三角形，一个直角三角形，则则O点斜点斜边边的中点，的中点，设设顶点，这时有顶点，这时有H点为直角点为直角， 高考真题再现解法二：解法二：连连BO延延长长交交 O于于D，连连AD、CD.CHDA同理，同理，AHDC，又又OHABDC 四边形四边形AHCD为平行四边形为平行四边形CAHBOABCOGH三角形的欧拉线：三角形的欧拉线： 外心外心O、重心、重心G、垂心、垂心H三点共线且三点共线且OG = = GHACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理例例2. 设设P为为ABC内一点，且内一点，且满满足足，则则典型例题典型例题法二：法二：构造三角形的重心构造三角形的重心 取点取点D使得使得则则点点P为为ABD的重心的重心，连接，连接BD,PDABC例例2.设设P为为ABC内一点，且内一点，且满满足足，则则2.1 已知已知P为为ABC内一点，且内一点，且满满足足，则则面面积积之比之比为为2.2 设设O为为ABC内一点，内一点，记记，则则变式训练：变式训练：2.1 已知已知P为为ABC内一点，且内一点，且满满足足，则则面面积积之比之比为为解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理得得 由由2.1 已知已知P为为ABC内一点，且内一点，且满满足足，则则面面积积之比之比为为法二：构造三角形及重心法二：构造三角形及重心则则P为为的重心的重心.令令解法一：特例法取解法一：特例法取O为为ABC的重心，的重心，则则2.2 设设O为为ABC内一点，内一点，记记，则则变式训练：变式训练： BODE2.2设设O为为ABC内一点，内一点，记记，则则由题知由题知法二：法二：过过O分分别别作作、的平行的平行线线OD、OE，交交于于D，交，交于于E，则则引申：引申： 设设O为为ABC内一点，内一点，记记= =m, , 则则分别为分别为 2、已知、已知A、B、C是平面上不共是平面上不共线线的三点，的三点，O为为平面平面ABC内内A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心任一点，动点任一点，动点P满足等式满足等式则动点则动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（ ）3、已知、已知G为为ABC的重心，令的重心，令点点G分分别别交交AB，AC于于P，Q两点，且两点，且，则则，若，若PQ过过4、ABC外接外接圆圆的的圆圆心心为为O，且，且，则则角角1、ABC中三边长分别为O为ABC所在平面内一点，若A 外心 B内心C重心D垂心，则O为ABC的（ ）课后作业