第5课时 数列的综合应用1解答数列应用题的步骤解答数列应用题的步骤(1)审题审题仔细阅读材料，认真理仔细阅读材料，认真理解题意解题意(2) 将已知条件翻译成数学将已知条件翻译成数学(数列数列)语言，将实际问题转化成数学问题，语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解(4) 将所求结果还原到原实将所求结果还原到原实际问题中际问题中基础知识梳理还原还原建模建模2数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比基础知识梳理银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？【思考提示】单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1rn)，属于等差模型复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1r)n，属于等比模型基础知识梳理(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系基础知识梳理1一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14028，则出齐这套书的年份是()A2004B2006C2008 D2010三基能力强化解析：选D.设出齐这套书的年份数是x，则有三基能力强化2有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟 B7秒钟C8秒钟 D9秒钟答案：B三基能力强化A10 B11C12 D13答案：B三基能力强化4已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)ax2bxc的图象与x轴公共点的个数为_答案：0三基能力强化5某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为_答案：25%三基能力强化解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力课堂互动讲练考点一考点一等差数列模型的应用等差数列模型的应用课堂互动讲练例例例例1 1【思路点拨】课堂互动讲练元元(nN*)，可以得出观测仪的整个耗资费，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应相应n的值的值设一共使用了设一共使用了n天，则使用天，则使用n天的平均天的平均耗资为耗资为课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：课堂互动讲练有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用课堂互动讲练考点二考点二等比数列模型的应用等比数列模型的应用课堂互动讲练例例例例2 2用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批房实际支付多少万元？【思路点拨】应根据题意，计算出前几次还款的数额，探寻规律，判断每次还款数额构成的是等差数列还是等比数列，用相应数列知识解决问题课堂互动讲练【解】购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列an，故a110020000.01120(万元)，a2100(2000100)0.01119(万元)，a3100(20001002)0.01118(万元)，a4100(20001003)0.01117(万元)，an1002000100(n1)0.01120(n1)121n(万元)(1n20，nN*)课堂互动讲练因此an是首项为120，公差为1的等差数列，故a1012110111(万元)a2012120101(万元).20次分期付款的总课堂互动讲练【规律总结】处理分期付款问题(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系课堂互动讲练1等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点2利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解课堂互动讲练考点三考点三等差、等比数列的综合问题等差、等比数列的综合问题课堂互动讲练例例例例3 3设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和，已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnlna3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.【思路点拨】(1)利用条件联立方程求a2，然后再求q即可得an；(2)可知bn是等差数列，利用求和公式可解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(2)由于bnlna3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln23n3nln2.又bn1bn3ln2，bn是等差数列课堂互动讲练【思维总结】根据题目信息推断出bn为等差数列课堂互动讲练例3中若条件改为若数列an的前n项和Sn满足Sn2an1，nN*.(1)求数列an的通项；(2)令bnlog2a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.课堂互动讲练互动探究互动探究解：(1)当n1时，a1S12a11，a11，当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)，an2an1，数列an是首项为a11，公比为2的等比数列，数列an的通项公式是an2n1.课堂互动讲练(2)由于bnlog2a3n1，n1,2，由(1)可得a3n123n，bnlog223n3n，bn是等差数列，Tnb1b2bn课堂互动讲练数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度所以，解决此类题目仅靠掌握一点单科知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用，常用的数学思想方法主要有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等课堂互动讲练考点四考点四数列与其他知识的综合问题数列与其他知识的综合问题课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范)(本题满分12分)已知曲线C：yx2(x0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，依次作下去，记点An的横坐标为an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，求证：anSn1；【思路点拨】(1)利用An点处的切线方程及Bn点的横坐标与An1的横坐标相同均为an1即可得an与an1的关系式，从而求得an；(2)构建函数关系求最值即可证明课堂互动讲练【解】(1)曲线C在点An(an，an2)处的切线ln的斜率是2an，切线ln的方程是yan22an(xan)，2分由于点Bn的横坐标等于点An1的横坐标an1，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命制大型综合题是历年高考的热点和重点数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅课堂互动讲练课堂互动讲练bnn2n， 9分Sn2222n2n2Sn22223(n1)2nn2n1两式相减得Sn2222nn2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12. 12分课堂互动讲练数列的综合应用通常有三种类型1数列知识范围内的综合应用(1)等差、等比数列以及递推公式之间的综合问题(2)解此类题型时，要紧扣等差、等比数列的定义和性质，做出合理的分析，灵巧地选择公式或性质，找出解题的切入点和思路规律方法总结2数列的实际应用问题(1)现实生活中涉及到的利率(复利)、产品利润、平均增长率、信贷、保险、环保、人口增长等问题，常常利用数列知识建立数学模型加以解决(2)用数列建模的思路和步骤审题：明确哪些量能组成等差数列、等比数列或哪些量给出的是递推关系式规律方法总结抓住数量关系，精心联想，将文字语言转译成数学(符号)语言若是等差(比)数列则应明确a1，an，n，d(q)，Sn中，已知哪几个，需求哪几个；若是递推公式，则应明确已知的是Sn还是an的递推关系式，求哪些量，以及落实初始条件将实际问题转化成数学问题，列出符合题意的数学关系式规律方法总结3数列与其他分支的知识的综合应用(1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、极限等知识的综合(2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分解成若干个小题或“步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论规律方法总结随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入