三角形中的有关公式三角形中的有关公式 1.内角和定理内角和定理: 三角形三内角之和为三角形三内角之和为 , 即即 A+B+C= .注注 任意两角和与第三个角总互补任意两角和与第三个角总互补;任意两半角和与第三个角的半角总互余任意两半角和与第三个角的半角总互余; 锐角三角形锐角三角形三内角都是锐角三内角都是锐角任两角和都是钝角任两角和都是钝角设设 ABC 中中, 角角 A、B、C 的对边为的对边为 a、b、c, 任意两边的平方和大于第三边的平方任意两边的平方和大于第三边的平方.三内角的余弦值为正值三内角的余弦值为正值 2.正弦定理正弦定理: = = =2R( (R 为三角形外接圆的半为三角形外接圆的半径径) ). sinC csinA asinB b注注 正弦定理的一些变式正弦定理的一些变式:(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC; (3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. 已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时, 务必注意可务必注意可能有两解能有两解. 3.余弦定理余弦定理: a2=b2+c2- -2bccosA, cosA= 等等, 常选用余常选用余弦定理鉴定三角形的形状弦定理鉴定三角形的形状. b2+c2- -a2 2bc4.射影定理射影定理: a=bcosC+ccosB. 5.面积公式面积公式: S= aha= absinC= r(a+b+c)( (其中其中 r 为三角形内为三角形内切圆半径切圆半径) ). 121212 特别提醒特别提醒: (1)求解三角形中的问题时求解三角形中的问题时, 一定要注意一定要注意 A+B+C= 这一特性这一特性: A+B= - -C, sin(A+B)=sinC, sin =cos ; (2)求求解三角形中含有边角混合关系的问题时解三角形中含有边角混合关系的问题时, 常运用正弦定理、余常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化弦定理实现边角互化.A+B2 C2(2)sinA= , sinB= , sinC= ;c2Ra2Rb2R应用一应用一: 解三角形解三角形 例例1 设设ABC 的三内角的三内角 A, B, C 成等差数列成等差数列, 三边长三边长 a, b, c 的的倒数也成等差数列倒数也成等差数列, 求三内角求三内角.例例3 在在ABC 中中, 若面积为若面积为 S, 且且 2S=(a+b)2- -c2, 求求 tanC 的值的值.A=B=C=60 提示提示: 令令 A- -C=2 , 可得可得: 4cos2 - -3cos - -1=0 得得: cos =1 得得: A=C. A=60 , B=30 , C=90 43- -应用举例应用举例 例例2 在在ABC 中中, 已知已知 b= 3 , c=2 3 , 角角 A 的平分线的平分线 AD=2, 求三角形的三内角的度数求三角形的三内角的度数.应用二应用二: 判断三角形的形状判断三角形的形状 例例1 ABC 中中, 若若 sin2Acos2B- -cos2Asin2B=sin2C, 判断判断 ABC 的形状的形状. 直角三角形直角三角形 例例2 在在 ABC 中中, 已知已知 = , 试判试判断三角形的形状断三角形的形状.sin2A- -sin2B+sin2C sin2A+sin2B- -sin2C 1+cos2B 1+cos2C 例例4 在在 ABC 中中, 已知已知 (a2+b2)sin(A- -B)=(a2- -b2)sinC, 试判断试判断三角形的形状三角形的形状. 例例5 在在ABC中中, 若若 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, (1)试判试判断三角形的形状断三角形的形状; (2)若若 cosB=4(1- -cosA), 求求 ABC 三边三边 a, b, c的比的比.直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形正三角形正三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形直角三角形; 8: :15: :17 例例3 在在 ABC 中中, 已知已知 (a+b+c)(a+b- -c)=3ab, sinA+sinB= 3 , 试判断三角形的形状试判断三角形的形状.应用三应用三: 三角形的证明三角形的证明CBADabbbc提示提示: (1)法一法一: 边换角边换角法二法二: 角换边角换边(2)法一法一: 边换角边换角法二法二: 角换边角换边法三法三: 构造图形构造图形(3)作差换作差换 c2 即可即可.差为差为: 2(a2+b2)- -4absin(C+30 ) 2(a2+b2)- -4ab=2(a- -b)20.( (正三角形时取等号正三角形时取等号) ).例例1 在在 ABC 中中, 求证求证: (1) = ; a- -ccosB b- -ccosA sinB sinA (2)a2- -2abcos(60 +C)=c2- -2bccos(60 +A); (3)a2+b2+c24 3 S( (S 为为 ABC 的面积的面积) ). 证证: 由余弦定理知由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数为有理数,cos5 即即 - -cosC 为有理数为有理数, 而而cos =cos(A- -B)=cosAcosB+sinAsinB, 证明证明 sinAsinB 为有理数即可为有理数即可( (由正弦定理可证由正弦定理可证) ).或由或由 cos cos5 =cos(3 - -2 )cos(3 +2 ) =cos23 cos22 - -sin23 sin22 =cos23 cos22 - -(1- -cos23 )(1- -cos22 ) =cos2Acos2B- -(1- -cos2A)(1- -cos2B) 为有理数为有理数, 且且 cos 0, cos5 为有理数为有理数知知:cos 为有理数为有理数. 例例2 已知已知 ABC 的三边均为有理数的三边均为有理数, A=3 , B=2 , 试证试证 cos5 与与 cos 均为有理数均为有理数. 1. ABC 中中, A, B 的对边分别为的对边分别为a, b, 且且 A=60 , a= 6, b=4, 那么满足条件的那么满足条件的 ABC ( ) A.有一个解有一个解 B.有两个解有两个解 C.无无解解 D.不能确定不能确定 C2.在在 ABC 中中, AB 是是sinAsinB 成立的成立的_条件条件. 充要充要 课后练习课后练习3.在在 ABC 中中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则则 log2sinC= . 12- - 4. ABC 中中, a, b, c 分别是角分别是角 A, B, C 所对的边所对的边, 若若 (a+b+c) (sinA+sinB- -sinC)=3asinB, 则则 C= .a2+b2- -c2 4 35.在在 ABC 中中, 若其面积若其面积 S= , 则则 C=_. 60 30 6.在在 ABC 中中, a=60 , b=1, 其面积为其面积为 3 , 则则 ABC 外接圆外接圆的直径是的直径是_.2 393 7.在在 ABC 中中, a, b, c 是角是角 A, B, C 的对边的对边, a= 3 , cosA= , 则则 cos2 = , b2+c2 的最大值为的最大值为 .13B+C 2 9.设设 O 是锐角三角形是锐角三角形 ABC 的外心的外心, 若若 C=75 , 且且 AOB, BOC, COA 的面积满足关系式的面积满足关系式 SAOB+SBOC= 3 SCOA, 求求 A.(0, 6 8.在在 ABC 中中, AB=1, BC=2, 则则角角 C 的取值范围是的取值范围是_. 13 92 45 10.在在 ABC 中中, 已知已知 sinA= , cosB= , 求求 cosC 的值的值. 1353560B90, 且且sinB= 1- -cos2B = . 131235又又sinA= , 220A45 或或 135A180. A+B180, 0A45. cosA= 1- -sin2A 45= .cosC=- -cos(A+B)=sinAsinB- -cosAcosB 13545= - - 351312= . 6516解解: 在在 ABC 中中, cosB= , 13512解解: (1)(a+c)(a- -c)=b(b- -c), b2+c2- -a2=bc. 11.锐角锐角 ABC 中中, a、b、c 分别是角分别是角 A、B、C 的对边的对边. (1)若若(a+c)(a- -c)=b(b- -c), 求求 A 的大小的大小; (2)y=2sin2B+sin(2B+ ) 取最取最大值时大值时, 求求 B 的大小的大小. 6 故由余弦定理得故由余弦定理得 cosA= b2+c2- -a2 2bc 12= . (2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1- -cos2B+sin2Bcos +cos2Bsin 6 6 6 =1- - cos2B+ sin2B 1232=1+sin(2B- - )2. 6 A 是锐角三角形的内角是锐角三角形的内角, 0A . 2 A= . 3 当且仅当当且仅当 B= 时取等号时取等号. 3 B= . 3 12.已知已知 ABC 的三个内角的三个内角 A, B, C 成等差数列成等差数列, 求求 cosAcosC 的取值范围的取值范围. 解解: ABC 的三个内角的三个内角 A, B, C 成等差数列成等差数列, 2B=A+C 且且 A+B+C=180. B=60, C=120- -A. cosAcosC=cosAcos(120- -A) =cosAcos120cosA+cosAsin120sinA =- - cos2A+ sinAcosA 3212=- - (1+cos2A)+ sin2A 3414= sin(2A- -30)- - . 12140A120, -302A- -30210. - - sin(2A- -30)1. 12- - cosAcosC . 12141412即即 cosAcosC 的取值范围是的取值范围是 (- - , . 13.已知锐角已知锐角 ABC 中中, sin(A+B)= , sin(A- -B)= . (1)求证求证: tanA=2tanB; (2)设设 AB=3, 求求 AB 边上的高边上的高. 3515(1)证证: sin(A+B)= , sin(A- -B)= , 3515sinAcosB+cosAsinB= , 3515sinAcosB- -cosAsinB= , sinAcosB= , 2515cosAsinB= , tanAtanB =2. tanA=2tanB. (2)解解: 由已知由已知 A+B , sin(A+B)= , 2 35tan(A+B)=- - . 34tanA+tanB 1- -tanAtanB 即即 =- - .34将将tanA=2tanB代入上式并整理得代入上式并整理得:2tan2B- -4tanB- -1=0. 解得解得: tanB=1+ (负值舍去负值舍去). 62tanA=2tanB=2+ 6 . 设设 AB 边上的高为边上的高为 CD, 则则: 3=AB=AD+DB= + = 3CD2+ 6CDtanACDtanBCD=2+ 6 .AB 边上的高为边上的高为 2+ 6 .