深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案东升学校高三数学第一轮复习集体教案第一讲集合一课标要求：一课标要求：1集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二命题走向二命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5 分。预测 2008 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是 1 个选择题或 1 个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三要点精讲三要点精讲1集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a 是集合 A 的元素，记作a A；若b 不是集合 A 的元素，记作b A；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，www.dssch.com1深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集） ，记作 N；*正整数集，记作N 或 N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2集合的包含关系：（1） 集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素， 则称 A 是 B 的子集 （或 B 包含 A） ，记作 AB（或A B） ；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB 且 BA，则称 A 等于 B，记作A=B；若 AB 且 AB，则称 A 是 B 的真子集，记作 AB；（2）简单性质：1）AA；2） A；3）若 AB，BC，则 AC；4）若集合A 是 n 个元素的集合，则集合A 有 2n个子集（其中 2n1 个真子集） ；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若 S 是一个集合，AS，则，CS=x | xS且x A称 S 中子集 A 的补集；（3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=，CS=S。4交集与并集：（1）一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B的交集。交集A B x | x A且xB。（2）一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A与 B 的并集。并集A B x | x A或xB。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1）A A A, A , A B B A;（2）A A, A B B A;（3）(A B) (A B);www.dssch.com2深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案（4）A B A B A;A B A B B；（5）CS（AB）=（CSA）（CSB） ，CS（AB）=（CSA）（CSB） 。四典例解析四典例解析题型 1：集合的概念例 1设集合A x | x 119k ,k Z，若x ，则下列关系正确的是（）242Ax ABx ACx ADx A解：由于则112k 1918中2k 1只能取到所有的奇数，而中 18 为偶数。k 2442499 A, A。选项为 D；22点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。例 2设集合 P=m|1m0，Q=mR R|mx2+4mx40 对任意实数 x 恒成立，则下列关系中成立的是（）AP QBQ PCP=QDPQ=Q解：Q=mR R|mx2+4mx40 对任意实数 x 恒成立，对 m 分类：m=0 时，40 恒成立；m0 时，需=（4m）24m（4）0，解得 m0。综合知 m0，Q=mR R|m0。答案为 A。点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合Q中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0 的情况。题型 2：集合的性质例 3 （2000 广东，1）已知集合A=1，2，3，4，那么A 的真子集的个数是（）A15B16C3D4解：根据子集的计算应有241=15（个） 。选项为 A；点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时，A 不是 A 的真子集。变式题：同时满足条件：M 1,2,3,4,5;若aM,则6aM，这样的集合 M 有多少个，举出这些集合来。答案：这样的集合 M 有 8 个。www.dssch.com3深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案32例 4已知全集S 1,3,x x 2x，A=1,2x1如果CSA 0，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由。解：CSA 0；320S且0 A，即x x 2x0，解得x1 0,x2 1,x3 2当x 0时，2x 1 1，为 A 中元素；当x 1时，2x 1 3S当x 2时，2x1 3S这样的实数 x 存在，是x 1或x 2。另法：CSA 00S且0 A，3 A32x x 2x0 且2x1 3x 1或x 2。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x 0时，2x 1 1” 不能满足集合中元素的互异性。 此题的关键是理解符号CSA 0是两层含义：0S且0 A。其中m 0,且A B,变式题： 已知集合A m,md,m2d,B m,mq,mq ，求q的值。解：由A B可知，2m d mqm d mq2（1），或（2）2m 2d mqm 2d mq解（1）得q 1，解（2）得q 1,或q 1，22又因为当q 1时，m mq mq与题意不符，所以，q 1。2www.dssch.com4深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案题型 3：集合的运算例 5 （06 全国理， 2） 已知集合 M x|x3， N x|log2x1 ， 则 MN （）ABx|0x3Cx|1x3Dx|2x3解：由对数函数的性质，且 21，显然由lo g2x 1易得B (2,)。从而A B (2,3)。故选项为 D。点评：该题考察了不等式和集合交运算。例 6 （06 安徽理，1）设集合A x x2 2,xR，B y | y x2,1 x 2，则CRA B等于（）ARBx xR,x 0C0D解：A 0,2，B 4,0，所以CRA B CR0，故选 B。点评：该题考察了集合的交、补运算。题型 4：图解法解集合问题例 7 （2003 上海春，5）已知集合A=x|x|2，xR R，B=x|xa，且 A B，则实数 a 的取值范围是_。解：A=x|2x2，B=x|xa，又 AB，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a2。图点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。例 8 （1996 全国理，1）已知全集 IN N*，集合 Axx2n，nN N* ，Bxx4n，nN N ，则（）AIABBI（CIA）BDI（CIA）（CIB）CIA（CIB）解：方法一：CIA 中元素是非 2 的倍数的自然数，CIB 中元素是非 4 的倍数的自然数，显然，只有选项正确.方法二：因 A2，4，6，8 ，B4，8，12，16， ，所以CIB1，2，3，5，6，7，9 ，所以 IACIB，故答案为.图www.dssch.com5深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案方法三：因 B A，所以（CI）A （CI）B， （CI）A（CIB）CIA，故 IA（CIA）A（CIB）。方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知B A，如图：可以清楚看到I=A（CIB）是成立的。点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。题型 5：集合的应用例 9向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B 都赞成的学生数的三分之一多1 人。问对A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？3=30，赞成B 的人数为U U5A AB B30+3=33，如上图，记50 名学生组成的集合为 U，赞成X X33-X33-X30-X30-X事件 A 的学生全体为集合A；赞成事件B 的学生全体为X X集合 B。+1+13 3设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、Bx都不赞成的学生人数为+1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30x， 赞成 B 而不赞成 A 的人3x数为 33x。依题意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得 x=21。所以对A、B 都赞成的同3学有 21 人，都不赞成的有 8 人。点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例 10求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出 Venn图，不难看出不符合条件的数共有（2002）（2003）(2005)5的倍数(20010)(2006)(20015)2的倍数(20030)1463的倍数所以，符合条件的数共有20014654（个）点评：分析 200 个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型 7：集合综合题解：赞成A 的人数为 50www.dssch.com6深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案例 11 （1999 上海，17）设集合 A=x|xa|2，B=x|2x11，若 AB，求实x2数 a 的取值范围。解：由|xa|2，得 a2xa+2，所以 A=x|a2xa+2。由2x1x31，得0，即2x3，所以 B=x|2x0，这时n集合 A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于 a1=10 如果 AB（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的xN*，有an=a1+(n1)d=n0,4a12，那么据 (2)的结论， AB 中至多有一个元素(x0,y0),而 x0= 2a152a1 x030，这样的(x0,y0)A,产生矛盾，故 a1=1,d=1 时 AB=，所以 a1024时，一定有 AB是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：0,y0=（）设集合A x | x 2x 2m 4 0,B x | x 0,，若A B ,求实数m 的取值范围.分析： 关键是准确理解A B 的具体意义， 首先要从数学意义上解释A B 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解：2命题 方程x2 2x 2m 4 0至少有一个负实数根,设M m |关于x的方程x2 2x 2m 4 0两根均为非负实数, 4(2m 3) 03则x1 x2 2 0 2 m ,2x1x2 2m 4 033M m | 2 m 设全集U m | 0m | m 22m的取值范围是UM=m|m-2.(解法二)命题 方程的小根x 1 2m 3 0 2m 3 1 2m 3 1 m 2.2（解法三）设f (x) x 2x 4,这是开口向上的抛物线，其对称轴x 1 0，则二次函数性质知命题又等价于f (0) 0 m 2,注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。（）已知两个正整数集合A=a1,a2,a3,a4,www.dssch.com8深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案B a1,a2,a3,a4,其中a1 a2 a3 a42222若A B a1,a4,且a1 a410,且A B的所有元素之和是124,求集合A、B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，1 a1 a2 a3 a4,a1 a2 a3 a4,AB a1,a4,只可能有a1 a1 a11,2而a1a410,a49,a4 a4,2(1)若a2 a4,则a23,AB 1,3,a3,9,a3,81,222222a3a394 124 a35;(2)若a3 a4,则a33,同样可得a25 a3,与条件矛盾,不合;综上,A1,3,5,9,B 1,9,25,81.（）设集合A (x, y) | y x 1,B (x, y) | 4x 2x 2y 5 0,2222C (x, y) | y kx b,问是否存在自然数k,b,使(A B)C 试证明你的结论.分析：正确理解(A B)C ,并转化为具体的数学问题.,必须AC 且B C ,要使(A B)C (AC)(B C) y2 x 1 k2x2 (2kb 1)x b21 0,由y kx b当 k=0 时，方程有解x b 1,不合题意；24k21当k 0时由1 (2kb 1) 4k (b 1) 0得b 4k2224x2 2x 2y 5 0 4x2 2(1 k)x 5 2b 0,又由y kx b20(k 1)2由2 4(1 k) 16(5 2b) 0得b ，82www.dssch.com9深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案由、得b k 1201,而b ,4k8b 为自然数，b=2，代入、得 k=1点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。题型 6：课标创新题例 13七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？解：设集合 A=甲站在最左端的位置，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中间的位置，D=丙站在正中间的位置，则集合 A、B、C、D 的关系如图所示，不同的排法有A7 4A6 4A5 2640种.765点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。例 14A 是由定义在2,4上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：对任意都有(2x)(1,2)；存在常数L(0 L 1)， 使得对任意的x1,x21,2，x1,2，都有|(2x1)(2x2)| L | x1 x2|（1）设(x) 31 x,x2,4，证明：(x) A（2）设(x) A,如果存在x0(1,2),使得x0(2x0),那么这样的x0是唯一的;（3）设(x) A,任取xl(1,2),令xn1(2xn),n 1,2,证明:给定正整数 k,对任意的正整数 p,成立不等式| xkl解：对任意x1,2,(2x) 31 2x,x1,2,33 (2x)35,133 35 2,所以(2x)(1,2)Lk1 xk| x2 x1|。1 Lwww.dssch.com10深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案对任意的x1,x21,2，|(2x1) (2x2) | x1 x2|231 2x1231 2x11 x231 x22，331 2x123312x11 x231 x2，3所以 0212x122312x11 x231 x2222,3令312x12312x11 x231 x2=L，0 L 1，|(2x1)(2x2)| L | x1 x2|所以(x) A (1,2),x0 x0使得x0(2x0),x0 (2x0 )。反证法：设存在两个x0,x0则由|(2 x0) (2 x0) | L | x0 x0|，得| x0 x0| L | x0 x0|，所以L 1，矛盾，故结论成立。/x3 x2(2x2) (2x1) L x2 x1，所以xn1 xn Ln1x2 x1Lk1| xkp xk|xkp xkp1xkp1 xkp2xk1 xk| x2 x1|1 L xk p xk p1 xk p1 xk p2 xk1 xkLk p2x2 x1 Lk p3x2 x1+Lk1x2 x1LK1x2 x1。1 L点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。www.dssch.com11深圳龙岗区东升学校 2008 届高考第一轮复习教案五思维总结五思维总结集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1 学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素， 熟练运用集合的各种符号， 如、 、=、CSA、，等等；2强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解） ，一般应考虑先化简（或求解） ；3确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 区别与 、 与、a 与a、 与 、(1,2)与1,2； AB 时，A 有两种情况：A 与 A 。若集合 A 中有 n(n N)个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2n1, 所有非空真子集的个数是2 2。区分集合中元素的形式：如A x | y x2 2x 1；B y | y x2 2x 1；C (x, y) | y x2 2x 1；D x | x x2 2x 1；nE (x, y) | y x2 2x 1,xZ, yZ；F (x, y) | y x2 2x 1；yG z | y x2 2x 1,z 。x空集是指不含任何元素的集合。0、和的区别；0 与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为A B，在讨论的时候不要遗忘了A 的情况。符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线 (面)的关系。逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科， 是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。www.dssch.com12