把握数学的思想和本质把握数学的思想和本质 - 教师专业发展的根基教师专业发展的根基开福区教育科研培训中心开福区教育科研培训中心 盛建武盛建武 （一）（一）教师的基本素养教师的基本素养 （二）（二）教师的特殊素养教师的特殊素养中小学教师的新追求：中小学教师的新追求： 努力成为一名好的教师努力成为一名好的教师必要性：国家需要 能上学能上学 - - 上好学上好学可能性：国家重视 各种培训各种培训 校本研究校本研究好的教师的基本标准好的教师的基本标准1 1热爱教育事业热爱教育事业2 2树立明确的教育理念树立明确的教育理念3 3会反思会研究会反思会研究1. 热爱教育事业热爱教育事业 被动被动 - - 主动主动 人生价值的体现人生价值的体现 兴趣之所在兴趣之所在2树立明确的教育理念树立明确的教育理念以知识为本：以知识为本：关注知识的传授、学生是否接受关注知识的传授、学生是否接受关注知识的传授、学生是否接受关注知识的传授、学生是否接受。 凯洛夫的凯洛夫的“三中心三中心”论：课堂、教科书、教师。论：课堂、教科书、教师。以人为本：以人为本：关注学生的全面成长、培养合格的人：素质教育。关注学生的全面成长、培养合格的人：素质教育。关注学生的全面成长、培养合格的人：素质教育。关注学生的全面成长、培养合格的人：素质教育。站在受教育者的立场思考：尊重的教育。站在受教育者的立场思考：尊重的教育。站在受教育者的立场思考：尊重的教育。站在受教育者的立场思考：尊重的教育。 教育是生存的需要、接受教育是孩子的本能。教育是生存的需要、接受教育是孩子的本能。 依据教育规律、基因的充分表达需要后天刺激。依据教育规律、基因的充分表达需要后天刺激。 好的教育要启发学生思考、启发式原则。好的教育要启发学生思考、启发式原则。 学科外的活动要注意教育价值学科外的活动要注意教育价值(30%)(30%) 开朗的性格。开朗的性格。 与他人合作的能力、语言表达能力、组织能力。与他人合作的能力、语言表达能力、组织能力。 对于生活的观察与思考。对于生活的观察与思考。 学科内的教学要注意全面培养学科内的教学要注意全面培养(70%)(70%) 学习的兴趣。学习的兴趣。 良好的学习的习惯。良好的学习的习惯。 良好的身心素质。良好的身心素质。素质教育素质教育1 ：建立大教育的观念是素质教育的核心：建立大教育的观念是素质教育的核心素质教育素质教育2 2：培养学生的创造力是素质教育的根本：培养学生的创造力是素质教育的根本 创造力应当从基础教育抓起创造力应当从基础教育抓起 创新意识、创新能力、创新机遇。创新意识、创新能力、创新机遇。 创新能力的基础创新能力的基础 知识的掌握知识的掌握; ; 思维的训练；思维的训练； 经验的积累。经验的积累。 传统的教育重视知识的传授和技能的训练。传统的教育重视知识的传授和技能的训练。 “知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果， 也可以是思考的结果。也可以是思考的结果。” 结果的教育、知识的积累。结果的教育、知识的积累。关于经验的积累关于经验的积累(基本活动经验基本活动经验) 素质教育不仅要重视知识、也要重视智慧。素质教育不仅要重视知识、也要重视智慧。 “智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。” 过程的教育、经验的积累。过程的教育、经验的积累。我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的，只能我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练。的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练。 过程的教育不仅仅是指在授课时要讲解、或者让学生经过程的教育不仅仅是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式。历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式。 而是，注重学生而是，注重学生 探究的过程、思考的过程、反思的过程。探究的过程、思考的过程、反思的过程。 关于思维的训练关于思维的训练(基本思想基本思想)爱因斯坦：爱因斯坦：西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何那就是希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。文艺复兴时期）。 杨振宁：杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。到了归纳能力。 演绎能力：演绎能力：能够熟练使用演绎推理的能力。能够熟练使用演绎推理的能力。 演绎推理来源于亚里士多德，他在演绎推理来源于亚里士多德，他在工具论工具论提出了著名的提出了著名的三段论理论，即大前提、小前提、结论。三段论理论，即大前提、小前提、结论。 这是一种由一般到特殊的推理。这是一种由一般到特殊的推理。 已知已知 A A 求证求证 B B。 A A 和和 B B 都是确定的。都是确定的。 演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。 过去的教育重视的是演绎：过去的教育重视的是演绎： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实；基础知识（概念记忆与命题理解）扎实； 基本技能（证明技能与运算技能）熟练。基本技能（证明技能与运算技能）熟练。 绵延千年的科举。重视基本功：知识记忆；绵延千年的科举。重视基本功：知识记忆； 重视操作技能：熟能生巧。重视操作技能：熟能生巧。 还缺少什么？还缺少什么？ 根据情况根据情况“预测结果预测结果”的能力；的能力； 根据结果根据结果“探究成因探究成因”的能力。的能力。 归纳推理就是从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般归纳推理就是从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般归纳推理就是从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般归纳推理就是从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般的结论。的结论。的结论。的结论。 从思维训练的角度考虑，过去的教育缺少归纳能力的培养，从思维训练的角度考虑，过去的教育缺少归纳能力的培养，对培养创新性人才是不利的对培养创新性人才是不利的, ,但这种培养是困难的但这种培养是困难的, ,这种培养这种培养是基于经验的。是基于经验的。需要一种需要一种“从特殊到一般的推理从特殊到一般的推理”， 这种推理就是归纳推理，培根在这种推理就是归纳推理，培根在新工具新工具提出。提出。“双基双基” “四基四基”基础知识、基本技能基础知识、基本技能 + + 基本思想、基本经验。基本思想、基本经验。“两能两能” “四能四能”发现问题、提出问题发现问题、提出问题 + + 分析问题、解决问题。分析问题、解决问题。一、有鹅一、有鹅4 4只，是鸭子的只，是鸭子的1/31/3，问有几只鸭子？，问有几只鸭子？ 教学目的：教学目的：4 4 1/3 = 4 1/3 = 4 3 = 12 3 = 12。 除法是乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算： ？ 1/31/3 = 4 = 4 ？ = 4 = 4 1/3 1/3 3只鸭子只鸭子 ：1只鹅只鹅 (破解破解1/3的含义的含义) 6只鸭子只鸭子 ：2只鹅只鹅 (推广推广1/3的含义的含义) ？只鸭子只鸭子 ：4只鹅只鹅 (最后到结论最后到结论) 讲课的例子讲课的例子 （猜想）（猜想） ？ = 12 = 4 1/3 12 = 4 3 （验证）（验证） 4 a/b = 4 b/a （证明）（证明） ？ 1/3 = 4 ？ 1/3 3 = 4 3 ？= 4 3二、在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共二、在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共1616个，如果个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有椅子腿与凳子腿加起来共有6060个，有几个椅子和几个凳子？个，有几个椅子和几个凳子？ 这是这是 “鸡兔同笼鸡兔同笼” 的问题，但是椅子和凳子相差一条腿，的问题，但是椅子和凳子相差一条腿，有利于学生进行有利于学生进行“尝试尝试”。可以让学生列表尝试：。可以让学生列表尝试：椅子数椅子数凳子数凳子数腿的总数腿的总数160 41664151 41531631424143262对于凳子和椅子的问题，可以仍然用尝试的方法列出方程：对于凳子和椅子的问题，可以仍然用尝试的方法列出方程：这样，合题意的方程为这样，合题意的方程为4 4a3a3(16-a)=60(16-a)=60。椅子数椅子数凳子数凳子数腿的总数腿的总数a=1616-a=0 4a3(16-a)=64a=1516-a=1 4a3(16-a)=63a=1416-a=2 4a3(16-a)=62三、袋子里的有五个球，四个白球一个红球，通过摸球估计三、袋子里的有五个球，四个白球一个红球，通过摸球估计那种球多、两种球的比例。那种球多、两种球的比例。 摸球验证出现白球的可能性是摸球验证出现白球的可能性是 4/54/5。 1 1 那种颜色的球多？那种颜色的球多？ 2 2 估计比例大概是多少？估计比例大概是多少？ 3 3 如果带子有五个球，白球大概有几个？如果带子有五个球，白球大概有几个？这些也许就是这些也许就是“过程的教育过程的教育”，让学生自己探索答案，而不，让学生自己探索答案，而不一定是通过讲道理分析出答案。通过一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理道理” 直接给出结果固直接给出结果固然是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果然是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的有效手段，这是我们过去教学中忽视的地方。的有效手段，这是我们过去教学中忽视的地方。 教师要学会站在学生的立场思考问题，只有这样才能引导学教师要学会站在学生的立场思考问题，只有这样才能引导学生思考。生思考。 3会反思会研究会反思会研究（1 1）研究自己的、把经验升华成为思想）研究自己的、把经验升华成为思想 杜威：社会既学校、生活既课堂、在做中学杜威：社会既学校、生活既课堂、在做中学 陶行知：在做上教、在做上学、教学做合一陶行知：在做上教、在做上学、教学做合一 千学万学学做真人；千学万学学做真人； 千教万教教人求真。千教万教教人求真。（2 2）科学依据）科学依据 认识学科的本质、全面把握“四基” 了解学生的认知规律了解学生的认知规律 小学：身边实物；小学：身边实物； 初中：物理背景；初中：物理背景； 高中：符号抽象。高中：符号抽象。在四基、四能的基础上在四基、四能的基础上 1. 1. 知道数学内容的主线知道数学内容的主线 2. 2. 知道数学内容的重点知道数学内容的重点 3. 3. 知道数学内容的难点知道数学内容的难点数学的主线数学的主线 数学的思想是：抽象、推理、模型；数学的思想是：抽象、推理、模型； 基础是：定义、符号、假设；基础是：定义、符号、假设； 本质是：研究本质是：研究“关系关系”。 统计的基础是：随机数据；统计的基础是：随机数据； 思想是：通过归纳寻找规律、思想是：通过归纳寻找规律、 建立模型。建立模型。关于抽象关于抽象 把外部世界的数量、图形的关系抽象到数学内部。把外部世界的数量、图形的关系抽象到数学内部。形成概念和运算法则。形成概念和运算法则。 概念：概念：研究的对象、关系的术语；研究的对象、关系的术语； 法则：法则：四则运算、代数方程、极限。四则运算、代数方程、极限。 两个苹果、两匹马两个苹果、两匹马 2 2 ：是抽象，现实不存在。：是抽象，现实不存在。 两个苹果两个苹果 + + 两匹马两匹马 = = ？ ： 2 + 2 = 42 + 2 = 4。 点、线、面；平行线。点、线、面；平行线。关于推理关于推理 是数学内部发展的基础。是数学内部发展的基础。 基础是：同一律、矛盾律、排中律基础是：同一律、矛盾律、排中律 同一律：同一律：A A就是就是A A（科学）（科学）。 A A P P；x Ax A；x Px P。 数可以比较大小；数可以比较大小； 复数是数；？复数是数；？ 复数可以比较大小。复数可以比较大小。矛盾律：矛盾律：A和非和非A不能同时成立。不能同时成立。 比如在证明比如在证明2 是无理数，是无理数， 用到一个数不能同时用到一个数不能同时 是奇数又是偶数。是奇数又是偶数。排中律：排中律：A和非和非A必然有一个成立。必然有一个成立。 比如在证明平行线同位角相等时比如在证明平行线同位角相等时 用到反证法。用到反证法。关于模型关于模型 是沟通数学与外部世界的桥梁。是沟通数学与外部世界的桥梁。 叙述一类事物的故事。叙述一类事物的故事。 方程、函数、模型。方程、函数、模型。 ax ax2 2 + + bxbx + c = 0 + c = 0 ：不是模型；：不是模型； f(xf(x) = ax) = ax2 2 + + bxbx + c : + c : 不是模型；不是模型； y = gty = gt2 2/2 /2 ：是模型。：是模型。 数学研究关系数学研究关系 数量关系：数量关系：大小（集合的包含）、四则运算；大小（集合的包含）、四则运算； 代数、不等式、方程、函数、微积分。代数、不等式、方程、函数、微积分。 图形关系：图形关系：全等、相似、边角关系（三角函数）、全等、相似、边角关系（三角函数）、 比例关系（解析几何）；比例关系（解析几何）； 变换关系（平面几何、射影几何、拓扑）。变换关系（平面几何、射影几何、拓扑）。 随机关系：随机关系：可能性的大小（概率）；可能性的大小（概率）； 数据的规律（统计）。数据的规律（统计）。 代数的代数的重点重点是是 符号、方程、函数。符号、方程、函数。 符号：符号：与数一样运算和证明、结果具有一般性。与数一样运算和证明、结果具有一般性。 方程：方程：列方程、解方程（根与系数的关系）。列方程、解方程（根与系数的关系）。 x x2 2 + 4x = 25 + 4x = 25 ax ax2 2 + + bxbx + c = 0 + c = 0 。（韦达）（韦达） 函数：函数：两种定义（变量、对应）；两种定义（变量、对应）； 两种数域（定义、取值）；两种数域（定义、取值）； 三种表示（表达、图形、表格）。三种表示（表达、图形、表格）。 难点难点是：是：符号、函数。符号、函数。几何几何重点重点是：是：建立直观建立直观 逻辑推理（逻辑推理（直观与演绎）直观与演绎） 几何作图几何作图（尺轨作图、实质是证明）（尺轨作图、实质是证明） 证明形式证明形式（出发点、演绎推理、反证法）（出发点、演绎推理、反证法） 难点难点是：是： 图形的理解图形的理解（平行线）（平行线） 证明的理解证明的理解（演绎、综合法）（演绎、综合法） 启发式教学：启发式教学： 学习的兴趣与良好的学习习惯。学习的兴趣与良好的学习习惯。综合与实践：综合与实践： 因为有学生参与，重点是处理好因为有学生参与，重点是处理好 预设与生成。预设与生成。 帮助学生理清思路。帮助学生理清思路。引导学生思考的关键是与学生一起思考。引导学生思考的关键是与学生一起思考。 培养学生的归纳能力培养学生的归纳能力和和 帮助学生积累活动经验帮助学生积累活动经验 谢谢！谢谢！