第 12 讲 和倍、差倍、和差问题复习应用 知识网络 已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数各是多少的应用题，我们称之为和倍问题；已知几个数的差以及它们之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫差倍问题；已知两个数的和与它们之间的差，求这两个数的问题叫做和差问题。 基本公式和方法： （1）解答和倍问题，一般先确定一个数为标准数（即一倍数），再根据其他各数是标准数的几倍，确定总和相当于标准数的几倍，可用除法先求出标准数，进而再算出其他各数分别是多少。 基本公式：和（倍数+1）=小数 小数倍数=大数 或者 和-小数=大数 （2）解答差倍问题，一般以小数作为标准数即一倍数，再根据大小两数间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，可先用除法求出小数，进而再求出大数。 基本公式：差（倍数的差）=标准数（一倍数） 小数倍数=大数 或者 小数+差=大数 （3）解答和差问题，可以选择大数或小数作为标准数，然后进行思考。以小数为标准，从和里减去两数差，恰好是小数的 2 倍，除以 2 可以求出小数；以大数为标准，把小数加上两数差，就与大数相等了，也就是用和加上两数差，正好是大数的 2 倍，除以 2 可以求出大数。 解答和差问题的基本公式是： （和差）2=小数 和小数=大数 （和+差）2=大数 和大数=小数 重要提示： 确定题目中数量间的倍数关系，关键是正确确定标准数，常常采用画线段图的方法，来帮助理解和解题。 经典例题 例 1某畜牧场有牛、羊共 1502 只，如果牛减少 50 只，羊增加 350 只，那么羊的只数比牛的只数的 3 倍多 2，求原来牛、羊各有多少只？ 思路剖析 此题中给出的数量关系“羊的只数比牛的只数的 3 倍多 2”是牛、羊数量减、增完后的关系。牛减少 50 只，羊增加 350 只后，牛、羊总量发生变化：1502-50+350=1802（只）。这时的总量是此时牛的数量的 4 倍多 2 只，那么变化后的牛、羊数可求，原来牛、羊的数量易知。 解答 变化后牛、羊总数：1502-50+350=1802（只） 此时牛的只数：（1802-2）（3+1）=18004 =450（只） 此时羊的只数：1802-450=1352（只） 原有牛的只数：450+50=500（只） 原有羊的只数：1352-350=1002（只） 答：原来有牛 500 只，羊 1002 只。 点津 在求解此题时应注意牛、羊数前后的变化及变化后的数量关系。 例 2 在悉尼奥运会上，中国队与荷兰队共获金牌 40 枚，中国队的金牌数比荷兰队的 3 倍少 8 枚。中国队、荷兰队各获金牌多少枚？ 思路剖析 由条件“中国队的金牌数比荷兰队的 3 倍少 8 枚”，可把荷兰队的金牌数看作一份，那么中国队的金牌数为3 份减 8。如果把中国队与荷兰队的金牌总数 40 枚再加上 8 枚，就等于荷兰队金牌数的 4 倍。 解答 荷兰队的金牌数：（40+8）（3+1）=12（枚） 中国队的金牌数：40-12=28（枚） 或者 123-8=28（枚） 答：中国队获金牌 28 枚，荷兰队获金牌 12 枚。 例 3 已知两数之和是 649，其中一个数的个位数是 0，如果把这个数个位的 0 去掉，则和另一个数相等，求这两个数。 思路剖析 已知两个数的和是 649，又知把其中一个数个位的 0 去掉，即缩小 10 倍后与另一个数相等，可知大数是小数的 10 倍，那么两数之和是小数的 11 倍，则可先求出一倍数，然后再求出另一个数。 解答 小数：649（10+1）=64911=59 大数：649-59=590 或者 5910=590 答：这两个数分别为 590 和 59。 点津 此题中两个数之间的数量关系是间接给出的，要通过分析得出它们之间的倍数关系。 例 4 有一箱苹果和一箱桔子，已知苹果数是桔子数的 3 倍。若每天从苹果箱中拿出 2 个苹果，从桔子箱中拿出 1 个桔子，经过几天后，还剩下 7 个苹果，桔子恰好取完，问原有桔子、苹果各多少个？ 思路剖析 由于每天取出 2 个苹果和 1 个桔子，则取出的苹果数是桔子的 21=2 倍，再由条件“苹果数是桔子数的 3倍，可知剩下的苹果数应是桔子的 3-2=l（倍），即为桔子的个数。再由二者 3 倍的数量关系可求苹果数。 解答 桔子的个数：7（3-2l ）=7l=7（个） 苹果的个数：73=21（个） 答：有桔子 7 个，有苹果 21 个。 例 5 有两根同样长的铁丝，第一根截去 14 分米，第二根接上 180 厘米，这时第二根铁丝的长度是第一根长的 3 倍，两根铁丝原来各长多少分米？ 思路剖析 由于变化后第二根铁丝是第一根铁丝的 3 倍，因此将变化后的第一根铁丝长度看作一倍数，而 180 厘米=18分米。变化后两根铁丝的差正好相当于第一根铁丝剩下部分的长度的 2 倍，所以，当从第一根截去 14 分米后剩下的长度（即一倍数）可以求出来了，那么两根铁丝的长度易求。 解答 题我们称之为和倍问题已知几个数的差以及它们之间的倍数关系求这几个数的应用题叫差倍问题已知两个数的和与它们之间的差求这两个数的问题叫做和差问题基本公式和方法解答和倍问题一般先确定一个数为标准数即一倍数再根基本公式和倍数小数小数倍数大数或者和小数大数解答差倍问题一般以小数作为标准数即一倍数再根据大小两数间的倍数关系确定差是标准数的多少倍可先用除法求出小数进而再求出大数基本公式差倍数的差标准数一倍数小数倍数恰好是小数的倍除以可以求出小数以大数为标准把小数加上两数差就与大数相等了也就是用和加上两数差正好是大数的倍除以可以求出大数解答和差问题的基本公式是和差小数和差大数和小数大数和大数小数重要提示确定题目中数180 厘米=18 分米 第一根铁丝截去 14 分米后剩下的长度： （14+18）（3-1）=322=16（分米） 两根铁丝原来的长度：16+14=30（分米） 答：两根铁丝原来的长度各为 30 分米。 点津 注意一倍数的选取，从两根铁丝变化后的长度差与一倍数的关系中求出一倍数。 例 6A、B、C、D四个数，每相邻两个数的差是 3，且 D是 A的 4 倍，求这四个数。 思路剖析 由于条件中给出“D是 A的 4 倍”，只需知道 D比 A多多少，即 D与 A的差，那么此题易解。由“每相邻两个数的差是 3”，那么 D与 A相隔 4-l=3 个数，则 D与 A的差为：33=9。由条件“D是 A的 4 倍”，知 D比 A多 3 倍。把 A当作一倍数，那么 A值可求，B、C、D也易求。 解答 D与 A的差：3（4-1）=9 D比 A多：4-1=3（倍） A值为：93=3 B值为：3+3=6 C值为：6+3=9 D值为：9+3=12 答：这四个数分别为 3、6、9、12。 例 7 在一道除法算式里，被除数、除数、商与余数的和是 541，已知商 13、余数 5，求被除数和除数各是多少？ 思路剖析 从四个数的总数 541 里面减去已知的商 13、余数 5，就是剩下的被除数与除数的和：541-13-5=523。由于余数是 5，那么被除数减去 5 则正好是除数的 13 倍，这时总数为：523-5=518，这正好是除数的 13+1=14（倍），把除数看作是 1 倍数，则除数可求。再根据“被除数=除数商+余数”，可求出被除数的值。 解答 被除数与除数的和：541-13-5=523。 除数：（523-5）（13+1）=51814=37 被除数：3713+5=486或者 523-37=486 答：被除数为 486，除数为 37。 例 8 数学兴趣小组有学生 45 人，男生比女生多 3 人，兴趣小组男、女生各有多少人？ 分析与解答： 可画线段图帮助理解： 男生： 45人 女生： 3人 方法一：男生比女生多 3 人，若男生减少 3 人，男、女生就同样多，但总人数会因此也减少 3 人：变为 45 3=42（人），42 人中男、女生同样多，各为 422=21（人）； 方法二：男生比女生多 3 人，若女生增加 3 人，男、女生就同样多，但总人数会因此也家伙少年宫 3 人：变为 453=42（人），42 人中男、女生同样多，各为 422=21（人）； 和：45；差：3；较小数：女生；较大数：男生 女生（小数）：（45-3）2=21（人） 题我们称之为和倍问题已知几个数的差以及它们之间的倍数关系求这几个数的应用题叫差倍问题已知两个数的和与它们之间的差求这两个数的问题叫做和差问题基本公式和方法解答和倍问题一般先确定一个数为标准数即一倍数再根基本公式和倍数小数小数倍数大数或者和小数大数解答差倍问题一般以小数作为标准数即一倍数再根据大小两数间的倍数关系确定差是标准数的多少倍可先用除法求出小数进而再求出大数基本公式差倍数的差标准数一倍数小数倍数恰好是小数的倍除以可以求出小数以大数为标准把小数加上两数差就与大数相等了也就是用和加上两数差正好是大数的倍除以可以求出大数解答和差问题的基本公式是和差小数和差大数和小数大数和大数小数重要提示确定题目中数 男生（大数）：（45+3）2=24（人） 小结： 由此我们可以从中发现解决和差问题的一般公式 （和差）2=大数 （和差）2=小数 例 9 小丽在一次考试中，语文和数学的平均分是 93 分，数学比语文多 4 分，小丽的语文和数学各得了多少分？ 分析与解答： 已知数学与语文的分数差是 4 分， 而数学与语文的分数和没有直接告诉我们， 要自己去找。 从 “语文和数学的平均分是 93 分”可求出分数和，然后利用和差问题的一般公式就可求出语、数两科的分数。 语文和数学的分数和是 93 2=186，差：4 数学（大数） （1864）2=95（分） 语文（小数） （1864）2=91（分） 例 10 二（1）班和二（2）班共有 82 人，如果从二（1）班调 4 名学生到二（2）班，那么两班人数相等。两个班各有学生多少人？ 分析与解答： 此题和已知，关键是找到两班的人数差，从“从二（1）班调 4 名学生到二（2）班，两班人数相等”可知，二（1）班比二（2）班多 2 个 4 人，即多 8 人，利用关系式： 二（1）班（大数）：（82+8）2=45 人；二（2）班（小数）：（82-8）2=37 人。 例 11 聪聪和明明共买了 20 本书，如果聪聪给明明 6 本书，那么聪聪就比明明少 2 本书。问聪聪和明明各买了多少书？ 分析与解答： 从题中我们可以很容易找到“和”，“差”却没有明确告知，从“如果聪聪给明明 6 本书，那么聪聪就比明明少 2 本书”中可知：如果给了后两人一样的话，那么聪聪比明明多 62=12 本，但是给了后聪聪比明明少 2 本，说明实际上聪聪比明明只多 122=10 本。这样和差的关系都有了，就可以用和差问题的方法来解决。 聪聪的本数（大数）：（2010）2=15（本） 明明的本数（小数）：（2010）2=5 （本） 或 15 10=5（本） 例 12 小明、小刚、小虎三人共有课外书 49 本。小明比小刚多 4 本，小刚又比小虎多 6 本，三人各有多少本？ 题我们称之为和倍问题已知几个数的差以及它们之间的倍数关系求这几个数的应用题叫差倍问题已知两个数的和与它们之间的差求这两个数的问题叫做和差问题基本公式和方法解答和倍问题一般先确定一个数为标准数即一倍数再根基本公式和倍数小数小数倍数大数或者和小数大数解答差倍问题一般以小数作为标准数即一倍数再根据大小两数间的倍数关系确定差是标准数的多少倍可先用除法求出小数进而再求出大数基本公式差倍数的差标准数一倍数小数倍数恰好是小数的倍除以可以求出小数以大数为标准把小数加上两数差就与大数相等了也就是用和加上两数差正好是大数的倍除以可以求出大数解答和差问题的基本公式是和差小数和差大数和小数大数和大数小数重要提示确定题目中数分析与解答： 先画图分析 小明： 小刚： 4本 共 49 本 小虎： 6本 可看出，小明比小虎多 6+4=10本，如果增加 10 本，小明和小虎一样多；小明比小虎多 4 本，再增加 4 本，小明和小刚一样多；即：总数增加（6+4）+4=14 本后，正好是小明的 3 倍，可以求出小明的数量为（49+14）3=21本，进而得出小刚、小虎的数量。 反之，如果将总数减少（6+4+6）本，就正好是小虎的三倍，可以先得出小虎的数量，再求其他的数量。 即： 方法一：小明（最大数）：（49+4+6+4）3=21 本， 小刚：21-4=17本；小虎：17-6=11本 方法二：小虎（最小数）：（49-4-6-6）3=11 本 小刚：11+6=17本；小虎：17+4=21本 练一练：工厂将 875 元奖金奖给有发明创造的三名优秀工人，第一名比第二名多得 250 元，第二名比第三名多得 125 元，三名优秀工人各得奖金多少元？ 分析与解答： 第三名（即最小数）钱数的 3 倍是：875125125-250=375（元） 第三名的钱数为 3753=125（元） 第二名的钱数为 125125=250（元） 第一名的钱数为 250250=500（元） 思考 如果以第一名或第二名为标准又该怎样解答呢？ 小结：解决三个数之间的和差关系要注意：在分析三个数之差时，如果以最大数为标准或以最小数为标准，总数增加或减少的量是不同的，要特别细心分析。 发散思维训练 1小江和小天总共有 52 张邮票。如果从小江的邮票中拿走一张，再把 3 张邮票放入小天的邮票中，小天的邮票就是小江的 2 倍。小江和小天各有几张邮票？ 2已知 A、B、C三个数之和是 131，A除以 B，B除以 C，商都是 5，余数都是 1，求这三个数。 3甲、乙两车间的工人数相等，由于工作需要，从甲车间调 57 人到乙车间去，这时乙车间人数正好是甲车间人数的 4 倍。求甲、乙车间原来各有多少人？ 4某农场有鸡、鸭共 4571 只，如果鸡减少 230 只，鸭增加 100 只，那么鸡的只数比鸭的只数的 3 倍多 1 只，求原来有鸡、鸭各多少只？ 5三个物体的平均重量是 37 千克，甲物体比乙、丙物体重量之和重 5 千克，乙物体比丙物体的 2 倍还重 2千克，三个物体各重多少千克？ 6某校参加运动会的男生比女生的 4 倍少 10 人，比女生的 3 倍多 22 人，这个学校参加运动会的男、女生题我们称之为和倍问题已知几个数的差以及它们之间的倍数关系求这几个数的应用题叫差倍问题已知两个数的和与它们之间的差求这两个数的问题叫做和差问题基本公式和方法解答和倍问题一般先确定一个数为标准数即一倍数再根基本公式和倍数小数小数倍数大数或者和小数大数解答差倍问题一般以小数作为标准数即一倍数再根据大小两数间的倍数关系确定差是标准数的多少倍可先用除法求出小数进而再求出大数基本公式差倍数的差标准数一倍数小数倍数恰好是小数的倍除以可以求出小数以大数为标准把小数加上两数差就与大数相等了也就是用和加上两数差正好是大数的倍除以可以求出大数解答和差问题的基本公式是和差小数和差大数和小数大数和大数小数重要提示确定题目中数各有多少人？ 7甲、乙、丙三人的年龄和是 134 岁，其中甲比乙的 3 倍少 9 岁，丙比乙的 2 倍多 5 岁，求三人的年龄各是多少岁？ 8有 A、B两个水塘，A塘中有水 3000 立方米，B塘中有水 1200 立方米，现从 A塘中往 B塘中引水，流速为每分钟 50 立方米，多少分钟后 B塘中的水量是 A塘中水量的 2 倍？ 9学校一、二年级工友 230 人，一年级比二年级少 30 人，一、二年级各有多少人？ 10师徒两人合作 2 小时，共生产零件 110 个，师傅每小时比徒弟多生产 5 个，师徒两人每小时各生产零件多少个？ 11两只油桶共装油 60 千克，如果把第一桶里的油倒出 6 千克，两个油桶中的油就一样多。第一桶里原来有油多少千克？ 12姐妹两人共有 480 元零花钱，如果姐姐给妹妹 34 元，则两人的钱数相等，原来姐妹两人各有多少钱？ 13把长 118 厘米的铁丝围成一个长方形，并且要求长比宽多 11 厘米，那么长与宽各应该是多少？ 14把 99 颗大白兔糖分给甲、乙、丙三个小朋友，甲比乙多分 4 个，乙又比丙多分 4 个，甲、乙、丙三个小朋友各分得多少个糖？ 15四个人的年龄之和是 77 岁，其中最小的 10 岁，最小的与最大的年龄之和比另外两人的年龄之和大 7岁，最大的年龄是多少岁？ 参考答案 发散思维训练 1解： 从小江的邮票中拿走 1 张，再把 3 张邮票放入小天的邮票中，这时邮票总数：52-l+3=54 张，这时小天的邮票是小江的 2 倍，那么邮票总数是小江邮票数的 3 倍，那么小江现有邮票数：54（2+l）=18（张） 小江原有邮票数：18+l=19（张） 小天原有邮票数：521933（张） 题我们称之为和倍问题已知几个数的差以及它们之间的倍数关系求这几个数的应用题叫差倍问题已知两个数的和与它们之间的差求这两个数的问题叫做和差问题基本公式和方法解答和倍问题一般先确定一个数为标准数即一倍数再根基本公式和倍数小数小数倍数大数或者和小数大数解答差倍问题一般以小数作为标准数即一倍数再根据大小两数间的倍数关系确定差是标准数的多少倍可先用除法求出小数进而再求出大数基本公式差倍数的差标准数一倍数小数倍数恰好是小数的倍除以可以求出小数以大数为标准把小数加上两数差就与大数相等了也就是用和加上两数差正好是大数的倍除以可以求出大数解答和差问题的基本公式是和差小数和差大数和小数大数和大数小数重要提示确定题目中数答：小江有邮票 19 张，小天有邮票 33 张。 2解： 将 C看作标准数，即一倍数，因为 C最小，那么 B是 C的 5 倍加 1，A是 B的 5 倍加 1，即是 C的5（5倍+l）+l=25 倍+6，三数之和为 131，是标准数的 1+5+25=31倍，再加上 1+6=7，那么可求标准数为（131-7）31=12431=4，即 C=4，那么 B=45+l=21，A=21 5+l=106。 答：A、B、C的值分别为 106，21，4。 3解： 把调走 57 人的甲车间人数看作 1倍数， 则乙车间调入57 人后的人数是4 倍数。 甲、 乙两车间的人数相差 4-l=3倍数，而甲、乙两车间人数相差 572114 人，这 114 人正是 3 倍数。那么调走 57 人后的甲车间人数为：1143=38（人），甲、乙车间原有人数：38+57=95（人）。 答：两车间原来各有 95 人。 4解： 若鸡减少 230 只，鸭增加 100 只，则鸡、鸭的总数变成：4571-230+100=4441（只），此时鸡的只数比鸭的只数的 3 倍多 1 只，即总数是鸭的只数的 4 倍多 1 只，把鸭数当作 1 倍数，则 鸭数：（4441-l）（3+1）=1110（只） 原来有鸭：1110100=1010（只） 原来有鸡：457110103561（只） 答：农场原有鸡 3561 只，鸭 1010 只。 5解： 由甲物体比乙、丙物体的重量之和重 5 千克，可知甲物体是乙、丙物体重量和的 1 倍多 5 千克。那三物体的总重量是乙、丙物体重量和的 2 倍多 5 千克。把乙、丙物体重量和当作 1 倍数，三物体总重量：373111（千克），乙、丙物体的重量和：（1115）（1+l ）=1062=53（千克），那么甲物体的重量：1115358（千克）。 再由乙物体比丙物体的 2 倍还重 2 千克，知乙、丙物体的重量和是丙物体的 3 倍还重 2 千克，这时取丙物体重量为 1 倍数， 丙物体：（53-2）（2+l）=513=17（千克） 乙物体：5317=36（千克）或者 172+236（千克） 答：甲重 58 千克，乙重 36 千克，丙重 17 千克。 6解： 由题意知，若男生人数增加 10 人则为女生人数的 4 倍；若男生人数减少 22 人则为女生人数的 3 倍。女生人数的 4 倍与女生人数的 3 倍的差： 22+10=32（人），即女生有 32 人。 男生人数：43210=118（人）或者 332+22118（人） 答：参加运动会的男生有 118 人，女生有 32 人。 7解： 由题中条件易知乙的年龄最小，把乙的年龄当作 1 倍数，由于甲是乙的 3 倍少 9，丙是乙的 2 倍多 5，那么三人的年龄和是乙的 1+3+26 倍，且少 9-54 岁。 则乙的年龄：134+（9-5）（l+3+2）=1386=23（岁） 甲的年龄：233960（岁） 丙的年龄：232+5=51（岁） 答：甲、乙、丙的年龄分别为 60 岁、23 岁、51 岁。 8解： A塘、B塘中共有水量：3000+1200=4200（立方米）。经过几分钟后使 B塘中水量为 A塘中水量的 2 倍，那么总水量为此时 A塘水量的 3 倍， 此时 A塘有水： 4200 （2+l） 1400 （立方米） ， 比原来减少： 3000-1400=1600（立方米），每分钟排水 50 立方米，那么所需时间：16005032（分钟） 答：32 分钟后 B塘水量为 A塘的 2 倍。 题我们称之为和倍问题已知几个数的差以及它们之间的倍数关系求这几个数的应用题叫差倍问题已知两个数的和与它们之间的差求这两个数的问题叫做和差问题基本公式和方法解答和倍问题一般先确定一个数为标准数即一倍数再根基本公式和倍数小数小数倍数大数或者和小数大数解答差倍问题一般以小数作为标准数即一倍数再根据大小两数间的倍数关系确定差是标准数的多少倍可先用除法求出小数进而再求出大数基本公式差倍数的差标准数一倍数小数倍数恰好是小数的倍除以可以求出小数以大数为标准把小数加上两数差就与大数相等了也就是用和加上两数差正好是大数的倍除以可以求出大数解答和差问题的基本公式是和差小数和差大数和小数大数和大数小数重要提示确定题目中数 题我们称之为和倍问题已知几个数的差以及它们之间的倍数关系求这几个数的应用题叫差倍问题已知两个数的和与它们之间的差求这两个数的问题叫做和差问题基本公式和方法解答和倍问题一般先确定一个数为标准数即一倍数再根基本公式和倍数小数小数倍数大数或者和小数大数解答差倍问题一般以小数作为标准数即一倍数再根据大小两数间的倍数关系确定差是标准数的多少倍可先用除法求出小数进而再求出大数基本公式差倍数的差标准数一倍数小数倍数恰好是小数的倍除以可以求出小数以大数为标准把小数加上两数差就与大数相等了也就是用和加上两数差正好是大数的倍除以可以求出大数解答和差问题的基本公式是和差小数和差大数和小数大数和大数小数重要提示确定题目中数