第第3 3讲平面向量讲平面向量第3讲平面向量1.如图,在66的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足c=xa+yb(x,yR),则x2+y2=.答案答案5解析解析a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),由c=xa+yb得解得则x2+y2=5.2.若a,b,c都是单位向量,且ab,则(a+b+2c)c的最大值为.答案答案2+解析解析由题意可设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos,sin),则(a+b+2c)c=(1+2cos,1+2sin)(cos,sin)=(1+2cos)cos+(1+2sin)sin=cos+sin+2=sin+22+,当且仅当=+2k,kZ时取等号,故(a+b+2c)c的最大值为2+.3.若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且|a+b|2ab,则cos(-)=.答案答案1解析解析由|a+b|2ab两边平方得|a|2+2ab+|b|24(ab)2.又ab=cos(-)0,所以4cos2(-)-2cos(-)-20,2cos(-)+1cos(-)-10,则cos(-)1.又-1cos(-)1,则cos(-)=1.4.已知向量e1,e2是夹角为的两个单位向量,向量a=e1-e2,b=ke1+e2,若ab=0,则k的值为.答案答案1解析解析|e1|=|e2|=1,e1e2=-,ab=(e1-e2)(ke1+e2)=k|e1|2+(1-k)e1e2-|e2|2=k-(1-k)-1=0,解得k=1.题型一平面向量的线性运算题型一平面向量的线性运算例例1设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示;(2)若A、B、C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.解析解析(1)当m=8时,=(8,3),设=x+y,则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x),=-3+.(2)A、B、C三点能构成三角形,不共线,又=(1,1),=(m-2,4),14-1(m-2)0,m6.【方法归纳】(1)向量的线性运算有加法、减法、数乘,运算方法有几何法(三角形法则和平行四边形法则)和代数法(坐标法);(2)向量共线定理:非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=bx1y2-x2y1=0.1-1(2018江苏南通中学高三考前冲刺)如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=3CD,点E是BC的中点.若=x+y,其中x,yR,则x+y的值为.答案答案解析解析2=+=3+=3-+=4-3,则=+,则x+y=+=.题型二平面向量的数量积题型二平面向量的数量积例例2(1)(2018江苏盐城模拟)如图,在AB1B8中,已知B1AB8=,AB1=6,AB8=4,点B2,B3,B4,B5,B6,B7分别为边B1B8的7等分点,则当i+j=9(1i8)时,的最大值为.(2)(2018江苏扬州调研)如图,已知AC=2,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC同侧作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C)且BMBN,则的最大值为.答案答案(1)(2)解析解析(1)在AB1B8中,B1AB8=,AB1=6,AB8=4,由余弦定理可得B1B8=2.取B1B8的中点D,则|=,=+-=|2-|2=19-|2,当最大时,|2最小,则i=4或5,此时|2=2=,则的最大值为19-=.(2)由题意可得BMBN,AMB=90,则AMBN.因为AC=2,B为AC的中点,所以BN=BC=BA=1.设NBC=MAB=,则=(-)=-=|-|cos=|-|2=-+,当|=时取等号,故的最大值是.【方法归纳】数量积运算一般有两种解法,即基底法和坐标法,一般选择长度、夹角已知的向量为基底,将其余向量都用基底表示;特殊图形中的数量积也可建立适当的平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解,要根据条件灵活选择方法.2-1(1)(2018江苏南京模拟)在ABC中,AB=3,AC=2,D为边BC上一点.若=5,=-,则的值为.(2)(2018苏锡常镇四市调研)如图,扇形AOB的圆心角为90,半径为1,点P是圆弧AB上的动点,作点P关于弦AB的对称点Q,则的取值范围为.答案答案(1)-3(2)-1,1解析解析(1)因为D为边BC上一点,所以=x+y,x+y=1,x,y0,则=(x+y)=9x+y=5,=(x+y)=x+4y=-.联立解得=-3或,当=时不满足x,y0,舍去,故=-3.(2)以点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(0,1).设P(cos,sin),直线AB的方程为x+y-1=0,则点P关于直线AB的对称点Q(1-sin,1-cos),则=cos(1-sin)+sin(1-cos)=sin+cos-2sincos,令t=sin+cos=sin1,则=-t2+t+1-1,1.题型三平面向量与三角函数的综合问题题型三平面向量与三角函数的综合问题例例3(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos,sin),b=(-sin,cos),c=.(1)若|a+b|=|c|,求sin(-)的值;(2)设=,0,且a(b+c),求的值.解析解析(1)因为a=(cos,sin),b=(-sin,cos),c=,所以|a|=|b|=|c|=1,且ab=-cossin+sincos=sin(-).因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=c2,即a2+2ab+b2=1,所以1+2sin(-)+1=1,即sin(-)=-.(2)因为=,所以a=.依题意,b+c=.因为a(b+c),所以-=0.化简得sin-cos=,所以sin=.因为0,所以-.所以-=,即=.【方法归纳】解决三角函数与平面向量综合问题的关键:一是巧“化简”,即灵活运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数式进行化简;二是会“转化”,把以向量共线、向量垂直形式出现的条件还原,转化为“对应坐标乘积之间的关系”.这类问题的落脚点是三角函数的化简与求值.3-1已知a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),其中0x.(1)若=,求函数f(x)=bc的最小值及相应的x值;(2)若a与b的夹角为,且ac,求tan2的值.解析解析(1)由已知得,f(x)=bc=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinxcos=2sinxcosx+(sinx+cosx).