概率论与数理统计概率论与数理统计南昌大学理学院南昌大学理学院数学系数学系概率论的研究内容概率论的研究内容v概率论是数学的一个分支，它从概率论是数学的一个分支，它从数量侧面研究随机数量侧面研究随机现象的规律性现象的规律性。v何为何为随机现象随机现象？ 自然界和人类社会中无时无刻不在发生着许许自然界和人类社会中无时无刻不在发生着许许多多的现象，这些现象大体可以分为两类：多多的现象，这些现象大体可以分为两类： 确定性现象确定性现象和和随机现象随机现象。 21 确定性现象确定性现象 在一定条件下在一定条件下必然出现（或必然不出现）必然出现（或必然不出现）某种某种结果的现象叫确定性现象。结果的现象叫确定性现象。 确定性确定性 例如，例如， (1) 在标准大气压下，纯水加热到在标准大气压下，纯水加热到100时必然会沸时必然会沸腾腾 ； (2) 在以地球为参照系下，太阳从东方升起，从西在以地球为参照系下，太阳从东方升起，从西方落下。方落下。 (3) 在离地面一定高度抛一石块，会落到地面上在离地面一定高度抛一石块，会落到地面上 32 随机现象随机现象 在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而且能出现那样的结果，而且在事先无法预知确切结果在事先无法预知确切结果的现象，称为随机现象。的现象，称为随机现象。 偶然性偶然性 例如，例如， (1) 从一定高度掷一枚硬币，可能正面朝上，也可从一定高度掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上；能反面朝上； (2) 从一批含有两件次品的产品中任意抽出从一批含有两件次品的产品中任意抽出3件，取件，取到次品的件数可能为到次品的件数可能为0，1，2 ； (3) 某时间段车站等车人数；某时间段车站等车人数； (4) 新生的婴儿的性别。新生的婴儿的性别。43 随机现象的规律性随机现象的规律性v对于随机现象对于随机现象，就每次观察而言，其结果的出现具，就每次观察而言，其结果的出现具有偶然性；有偶然性；v经过人们长期的实践和深入观察，发现在保持基本经过人们长期的实践和深入观察，发现在保持基本条件不变的情况下，经过条件不变的情况下，经过大量重复观察大量重复观察时，所得的时，所得的结果呈现某种规律性。结果呈现某种规律性。 例如，例如， (1) 多次重复掷一均匀的硬币，得到正面朝上的次多次重复掷一均匀的硬币，得到正面朝上的次数大约占总投掷次数的一半数大约占总投掷次数的一半; (2) 多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于某一常数随着测量次数的增加，逐渐稳定于某一常数 。5v种种事实表明，随机现象也有其规律性，它种种事实表明，随机现象也有其规律性，它可以在相同条件下的大量重复观察下呈现出可以在相同条件下的大量重复观察下呈现出来。来。 这种规律性称为这种规律性称为随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性。v概率论就是研究这些随机现象统计规律性的概率论就是研究这些随机现象统计规律性的学科。学科。6概率论的起源和发展概率论的起源和发展v概率论的起源与概率论的起源与赌博赌博问题有关。问题有关。16世纪，意大利的世纪，意大利的学者学者吉罗拉莫吉罗拉莫卡尔达诺卡尔达诺 (Girolamo Cardano, 1501-1576) 开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。题。v17世纪中叶，法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，世纪中叶，法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家赢。点，则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。7v后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用玩家这回用 2 个骰子连续掷个骰子连续掷 24 次，不同时出现次，不同时出现2个个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现次出现 6 点的概率是一次出现点的概率是一次出现 6 点的概率的点的概率的 1 / 6 ，因此因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或次赢或输的概率与以前是相等的。输的概率与以前是相等的。v然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡帕斯卡，求助其对这种现象作出解释求助其对这种现象作出解释, 这个问题的解决直接这个问题的解决直接推动了概率论的产生。推动了概率论的产生。8v随着随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在世纪科学的发展，人们注意到在某些某些生物生物、物理物理和社会现象与和社会现象与机会游戏机会游戏之间之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。了概率论本身的发展。 v使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家士数学家 j.伯努利伯努利，他建立了概率论中第一，他建立了概率论中第一个极限定理，即个极限定理，即伯努利大数定律伯努利大数定律，阐明了事，阐明了事件的件的频率频率稳定于它的概率。稳定于它的概率。 9v随后随后a.de 棣莫弗棣莫弗和和 p.s. 拉普拉斯拉普拉斯 又导出了第二个基又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了斯在系统总结前人工作的基础上写出了分析分析的概的概率理论率理论，明确给出了概率的古典定义，并在概率，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。新的发展阶段。v19世纪末，俄国数学家世纪末，俄国数学家 p.l.切比雪夫切比雪夫、a.a.马尔可夫马尔可夫、a.m.李亚普诺夫李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式中心极限定理的一般形式 。10v如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了探索一直持续了3个世纪。个世纪。v1933年，苏联数学家年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫在他的在他的概率论概率论基础基础一书中第一次给出了概率的一书中第一次给出了概率的测度论测度论的定义和的定义和一套严密的公理体系。他的一套严密的公理体系。他的公理化方法公理化方法成为现代概成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。率论的迅速发展起了积极的作用。11概率论的应用范围概率论的应用范围 早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小。现在，概率与统计的方法日益渗透到可能性大小。现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于各个领域，并广泛应用于自然科学自然科学、经济学经济学、医学医学、金融保险金融保险甚至甚至人文科学人文科学中中 。 12学习本课程的几点要求学习本课程的几点要求u课前预习课前预习, 分析重点难点；分析重点难点；u认真听课认真听课, 按时完成作业按时完成作业; u做好笔记做好笔记, 及时复习；及时复习；v期末考核：考试成绩占期末考核：考试成绩占70-80%，平时成绩，平时成绩20-30% (出勤、作业出勤、作业)。13第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1.1 随机事件、随机事件、频率和概率频率和概率1.2 古典概型古典概型1.3 概率的定义概率的定义1.4 条件概率及有关公式条件概率及有关公式1.5 事件的独立性，独立事件的独立性，独立 试验序列试验序列141.1 随机事件、频率与概率随机事件、频率与概率 对客观事物的研究总要联系到对研究对对客观事物的研究总要联系到对研究对象进行象进行观察观察。 观察一定条件下发生的现象通常叫做观察一定条件下发生的现象通常叫做试试验。验。一、样本空间与随机事件一、样本空间与随机事件15随机试验随机试验 一个试验称为一个试验称为随机试验随机试验，如果它满足以下条件：，如果它满足以下条件： (1) 可重复性可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行：试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 可观察性可观察性：试验的可能结果不止一个，但事先：试验的可能结果不止一个，但事先 已知试验的所有可能结果；已知试验的所有可能结果； (3) 随机性随机性：每次试验总是恰好出现所有可能结果：每次试验总是恰好出现所有可能结果中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验前不能确切中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验前不能确切预言。预言。16样本空间和样本点样本空间和样本点v随机试验中每一个可能的结果称为一个随机试验中每一个可能的结果称为一个样本样本点点。v随机试验的随机试验的样本点的全体样本点的全体组成的集合称为该组成的集合称为该随机试验的随机试验的样本空间样本空间。 习惯上用习惯上用 w w 和和 分别表示分别表示样本点样本点与与样本空间。样本空间。17例例1 1 掷一枚硬币观察正、反面出现的情况。掷一枚硬币观察正、反面出现的情况。掷一次硬币是一次试验，试验的可能结果有掷一次硬币是一次试验，试验的可能结果有2 2个：个：正，反正，反，即有两个样本点。这个随机试验的样即有两个样本点。这个随机试验的样本空间为本空间为 = = 正，反正，反 例例2 2 将一枚硬币投掷两次，观察其正面与反面出将一枚硬币投掷两次，观察其正面与反面出现的情况。现的情况。 掷两次硬币是一次试验，试验的可能结果有掷两次硬币是一次试验，试验的可能结果有4 4个：个： ( (正，正正，正) )，( (正，反正，反) )，( (反，正反，正) )，( (反，反反，反) )，即，即有四个样本点。这个随机试验的样本空间为有四个样本点。这个随机试验的样本空间为 = = (正，正正，正) )，( (正，反正，反) )，( (反，正反，正) )，( (反，反反，反)18例例3 3 观察一小时中落在地球上某一区域的宇宙射观察一小时中落在地球上某一区域的宇宙射线数。线数。这个随机试验的样本点为每一个非负整数，所以这个随机试验的样本点为每一个非负整数，所以样本空间为样本空间为 = = 0，1，2， 。例例4 4 射击手向某一目标进行一次射击，观察弹着射击手向某一目标进行一次射击，观察弹着点与目标的偏差。点与目标的偏差。这个随机试验的样本点为任一个非负实数，所以这个随机试验的样本点为任一个非负实数，所以样本空间为样本空间为 = = d | d0 。19例例5 5 设甲、乙两船在一昼夜内必到达某码头，观设甲、乙两船在一昼夜内必到达某码头，观察甲、乙两船到达该码头的时间。察甲、乙两船到达该码头的时间。设设x x和和y y分别表示甲、乙两船到达该码头的时间，分别表示甲、乙两船到达该码头的时间，则样本点为（则样本点为（x x，y y），样本空间为），样本空间为 = = （x, y）| 0x24，0y24 。 例例6 6 观察一个新灯泡的寿命，其样本点有无穷多观察一个新灯泡的寿命，其样本点有无穷多个：个：t t小时小时, 0, 0tt,样本空间为：样本空间为：20例例7 7 从包含两件次品（记作从包含两件次品（记作a1a1，a2a2）和三件正）和三件正品（记作品（记作b1b1，b2b2，b3b3）的五件产品中任意取出）的五件产品中任意取出两件。两件。一次试验就是具体拿出两件，这样所有的样本点一次试验就是具体拿出两件，这样所有的样本点共有共有1010个，样本空间为个，样本空间为 = = a1，a2， a1，b1， a1，b2， a1，b3， a2，b1， a2，b2， a2，b3， b1，b2， b1，b3， b2，b321设设A= b1，b2， b1，b3， b2，b3； B= a1，b1， a1，b2， a1，b3， a2，b1， a2，b2， a2，b3，则则A，B均为样本空间的子集。均为样本空间的子集。A表示表示“没有抽到次品没有抽到次品”，B表示表示“恰好抽到一件恰好抽到一件次品次品”。在一次试验中在一次试验中A A出现当且仅当在这次试验中出现当且仅当在这次试验中A所包所包含的含的3 3个样本点之一出现；个样本点之一出现；B出现当且仅当出现当且仅当B B所包所包含的含的6 6个样本点之一出现。个样本点之一出现。22随机事件随机事件v一般，我们称样本空间的某个子集为一般，我们称样本空间的某个子集为随机事随机事件件，简称事件。并常用大写字母，简称事件。并常用大写字母A, B, C等来等来表示表示v在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一样本点出现时，称这一事件发生事件发生23 样本空间样本空间是自身的子集，它包含所有的样是自身的子集，它包含所有的样本点，因此在每次试验中总是发生的，称本点，因此在每次试验中总是发生的，称为为必必然事件。然事件。 空集空集作为样本空间的子集，不包含任何样作为样本空间的子集，不包含任何样本点，因此在每次试验中都不会发生，称本点，因此在每次试验中都不会发生，称为为不不可能事件。可能事件。 必然事件与不可能事件不具有随机性，为研必然事件与不可能事件不具有随机性，为研究方便，我们将其作为随机事件的特殊情形来统究方便，我们将其作为随机事件的特殊情形来统一处理。一处理。24二、事件的关系和运算二、事件的关系和运算 在实际问题中，需要在一个随机试验下同时研究在实际问题中，需要在一个随机试验下同时研究几个事件以及它们之间的联系。几个事件以及它们之间的联系。 我们对应着集合的关系和运算来定义事件的关系我们对应着集合的关系和运算来定义事件的关系和运算。并根据和运算。并根据“事件发生事件发生”的含义，给出他们在概的含义，给出他们在概率率论中的含义。论中的含义。 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 ，随机事件随机事件A，B, Ak, Bk (k=1,2, )为为 的子集。的子集。251. 事件的包含、相等事件的包含、相等 如果事件如果事件A中的每一个样本点都属于事件中的每一个样本点都属于事件B，则，则称事件称事件B包含事件包含事件A，或称事件，或称事件A被包含于事件被包含于事件B，记作：记作： 含义是：含义是：事件事件 A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B 发生发生 显然显然 A。 相等事件：相等事件：A=B等价于等价于 A B且且B A B A262. 事件的和事件的和(并并) 由至少属于由至少属于A，B两事件之一的一切样本点两事件之一的一切样本点组成的集合称为组成的集合称为A与与B的和（并）。记为的和（并）。记为AB。 含义是含义是：“事件事件A或事件或事件B发生发生”或者或者“事件事件A与事件与事件B有一个发生有一个发生”。 显然显然, A =A , A = A B273. 事件的积事件的积(交交) 同时属于事件同时属于事件A和和B的所有样本点组成的集的所有样本点组成的集合，称为合，称为A与与B的积（交）。记作：的积（交）。记作：AB. 含义是：含义是：事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生 显然显然, A = ，A =A A B284. 事件的互不相容（事件的互不相容（互斥互斥) 如果如果 AB= ，则称事件，则称事件A，B是互不相容是互不相容的或互斥的。的或互斥的。 含义是：含义是：两事件不可能在同一试验发生两事件不可能在同一试验发生. 特例特例：基本事件是两两不相容的：基本事件是两两不相容的AB295. 事件的差事件的差 由属于事件由属于事件A，但不属于事件，但不属于事件B的样本点的样本点组成的集合，称为事件组成的集合，称为事件A与与B的差，记作：的差，记作：A-B 含义是：含义是：事件事件 A 发生，但事件发生，但事件 B 不发生不发生 显然显然, A A= ，A =A，A= AB306. 事件的逆事件事件的逆事件(对立事件对立事件) 事件事件 -A称为事件称为事件A的对立事件的对立事件 (或逆事件或逆事件),记作记作 含义是：含义是：A不发生不发生 显然有显然有 注意注意：“A与与B相互对立相互对立”与与“A与与B互斥互斥”的区别的区别A A31推广推广 事件的和与积可以推广到事件的和与积可以推广到有限多个有限多个事件情形。事件情形。32 事件之间的关系与运算完全和集合之间的事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。关系与运算一致，只是术语不同而已。记号记号 概率论概率论 集合论集合论 样本空间样本空间, ,必然事件必然事件 空间（全集）空间（全集） 不可能事件不可能事件 空集空集 样本点（基本事件）样本点（基本事件） 元素元素A A 事件事件 子集子集 A A的对立事件的对立事件( (逆事件逆事件) A) A的补的补( (余余) )集集33记号记号 概率论概率论 集合论集合论A A B B 事件事件A A发生必有事件发生必有事件B B发生发生 A A是是B B的子集的子集A=BA=B 事件事件A A与事件与事件B B相等相等 A A与与B B相等相等A AB B 事件事件A A与事件与事件B B至少有一个发生至少有一个发生 A A与与B B的并集的并集A AB B 事件事件A A与事件与事件B B同时发生同时发生 A A与与B B的交集的交集 A-BA-B 事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生 A A与与B B的差集的差集A AB B = = 事件事件A A和事件和事件B B互不相容互不相容 A A与与B B不相交不相交34例题例题 设设A、B、C为三个事件，用为三个事件，用A、B、C的运算的运算关系表示下列各事件关系表示下列各事件. 1. A发生发生, B与与C不发生不发生 2. A与与B都发生都发生,而而C不发生不发生或或或或35事件运算性质事件运算性质v交换律交换律: AB=BA AB=BAv结合律结合律: (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)v分配律分配律: A (BC) =(AB)(AC) A(k Bk) = k (A Bk) (AB)C=(AC)(BC) A (k Bk) = k (A Bk)36v对偶率对偶率： 37三、频率和统计规律性三、频率和统计规律性 在讨论随机试验的时候，常常需要了解某些事在讨论随机试验的时候，常常需要了解某些事件在一次试验中发生件在一次试验中发生可能性的大小可能性的大小，以便掌握随机，以便掌握随机现象的内在规律。现象的内在规律。 例如例如: 了解发生意外人身事故的可能性大小了解发生意外人身事故的可能性大小, 确定保险确定保险金额金额. 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小, 合理配置服务人员合理配置服务人员. 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小了解每年最大洪水超警戒线可能性大小, 合理确合理确定堤坝高度定堤坝高度.38 在相同条件下在相同条件下, , 将随机试验重复进行了将随机试验重复进行了N次次, , 若若事件事件A在这在这N次试验中发生了次试验中发生了n次，则称次，则称FN(A)= n/N为为事件事件A在这在这N次试验中发生的次试验中发生的频率频率. . 由定义可知，频率具有下述基本性质由定义可知，频率具有下述基本性质: : 1. 1.（非负性）（非负性） 0 FN(A) 1; 2. 2.（规范性）（规范性） FN()=1; 3. 3.（有限可加性）（有限可加性）若若A1,A2,., Ak是两两互不是两两互不相容的事件相容的事件, , 则则FN(A1 A2 . Ak)=FN (A1)+FN (A2)+.+FN(Ak).频率频率39 在任意在任意N次试验中，次试验中，A发生的次数具有偶然性，发生的次数具有偶然性，故故A发生的频率发生的频率FN(A)也具有不确定性。也具有不确定性。试验者试验者抛掷次数抛掷次数N正面出现正面出现次数次数n正面出现正面出现频率频率n/N德德.摩尔根摩尔根204810610.518蒲丰蒲丰404020480.5069皮尔逊皮尔逊1200060190.5016皮尔逊皮尔逊24000120120.5005维尼维尼30000149940.499840 从例子中可以看出，当试验的次数较小时从例子中可以看出，当试验的次数较小时, 频率频率的波动幅度较大，而当试验次数逐渐增大时，频率的波动幅度较大，而当试验次数逐渐增大时，频率逐渐逐渐稳定于某一常数稳定于某一常数，这种稳定性即，这种稳定性即统计规律性统计规律性. 频率所稳定的数值就是相应事件发生可能性大小频率所稳定的数值就是相应事件发生可能性大小的一个客观的定量的度量，称为相应事件的的一个客观的定量的度量，称为相应事件的统计概统计概率率，这种确定概率的方法称为，这种确定概率的方法称为频率法。频率法。41 在在实实际际情情况况中中，当当概概率率不不易易求求出出时时，人人们们常常用用试试验验次次数数很很大大时时事事件件的的频频率率作作为为概概率率的的估估计计值值。例例如如，若若我我们们希希望望知知道道某某射射手手中中靶靶的的概概率率，应应对对这这个个射射手手在在相相同同条条件件下下大大量量的射击情况进行观察、并记录。的射击情况进行观察、并记录。假设他射击假设他射击N 次，中靶次，中靶n次，当次，当N很大时，可很大时，可用用频率频率n/N 作为其中靶作为其中靶概率之估计。概率之估计。42概率的统计定义概率的统计定义 设在同一组条件下，重复进行了设在同一组条件下，重复进行了N次随机试验。当次随机试验。当N很大时，某一随机事件很大时，某一随机事件A发生的频率发生的频率FN(A) = n / N稳稳定地在某一常数定地在某一常数p的附近摆动，则称该常数的附近摆动，则称该常数p(频率的摆频率的摆动中心动中心)为随机事件为随机事件A的的概率概率，记作，记作 P(A) = p.对本定义的评价对本定义的评价优点：直观优点：直观 易懂易懂缺点：粗糙模糊缺点：粗糙模糊 不便使用不便使用43统计概率的性质统计概率的性质 1.（非负性非负性）对任一事件）对任一事件A，有，有 0 P(A) 1; 2.（规范性规范性） 对必然事件对必然事件，有，有P()=1; 3.（有限可加性有限可加性）若事件）若事件A1, A2, . , An两两两两互不相容互不相容, 则则 P(A1 A2 . An)=P (A1)+P (A2)+.+P(An)。44