知识能否忆起知识能否忆起 一、两个向量的夹角一、两个向量的夹角1夹角的定义：夹角的定义：非零非零 0或或0， 2射影的定义：射影的定义： 设设是是a与与b的夹角，则的夹角，则 叫作向量叫作向量b在在a方向上方向上的射影的射影 叫作叫作a在在b方向上的射影方向上的射影 射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当当 时，它是正值；当时，它是正值；当 时，它是负值；时，它是负值；当当90时，它是时，它是0.|b|cos |a|cos 为锐角为锐角为钝角为钝角 3平面向量数量积的定义：平面向量数量积的定义： 已知两个向量已知两个向量a和和b，它们的夹角为，它们的夹角为，把，把 叫作叫作a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作 . 4数量积的几何意义：数量积的几何意义： a与与b的数量积等于的数量积等于 的的乘积，或乘积，或 的乘积的乘积 5数量积的物理意义：数量积的物理意义： 力对物体做功，就是力对物体做功，就是 .|a|b|cos aba的长度的长度|a|与与b在在a方向上射影方向上射影|b|cos b的长度的长度|b|与与a在在b方向上射影方向上射影|a|cos 力力F与其作用下物体的位移与其作用下物体的位移s的数量积的数量积Fs二、向量数量积的性质二、向量数量积的性质1如果如果e是单位向量，则是单位向量，则aeea|a|cos (为为a与与e的夹的夹角角) 2ab .4cos .(为为a与与b的夹角的夹角)5|ab| |a|b|.ab0|a|2三、数量积的运算律三、数量积的运算律1交换律：交换律：abba.2分配律：分配律：(ab)c . 3对对R，(ab) acbc(a)ba(b)四、数量积的坐标表示四、数量积的坐标表示设设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：，则：1ab .2ab.3|a| .a1b1a2b2a1b1a2b20小题能否全取小题能否全取1已知向量已知向量a，b和实数和实数，下列选项中错误的是，下列选项中错误的是 ()A|a|B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|解析：解析：|ab|a|b|cos |，只有，只有a与与b共线时，才有共线时，才有|ab|a|b|，可知，可知B是错误的是错误的答案：答案： B2已知已知|a|4，|b|3，a与与b的夹角为的夹角为120，则，则b在在a方方向上的投影为向上的投影为 ()答案：答案： D答案：答案： B3(2012重庆高考重庆高考)设设x R，向量，向量a(x,1)，b(1，2)，且且a b，则，则|ab| ()5已知已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量，则向量a与与b的夹的夹 角角的大小为的大小为_.1.对两向量夹角的理解对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角动，使其起点相同，再观察夹角(2)两向量夹角的范围为两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线，特别当两向量共线且同向时，其夹角为且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为，共线且反向时，其夹角为.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围注意两向量夹角的范围2向量运算与数量运算的区别向量运算与数量运算的区别(1)若若a，bR，且，且ab0，则有，则有a0或或b0，但，但ab0却不能得出却不能得出a0或或b0.(2)若若a，b，cR，且，且a0，则由，则由abac可得可得bc，但由但由abac及及a0却不能推出却不能推出bc.(3)若若a，b，cR，则，则a(bc)(ab)c(结合律结合律)成立，但成立，但对于向量对于向量a，b，c，而，而(ab)c与与a(bc)一般是不相等的，一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的向量的数量积是不满足结合律的(4)若若a，bR，则，则|ab|a|b|，但对于向量，但对于向量a，b，却有，却有|ab|a|b|，等号当且仅当，等号当且仅当ab时成立时成立平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算 例例1(1)若向量若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件满足条件(8ab)c30，则，则x () A6 B5 C4 D3答案答案(1)C(2) 18平面向量数量积问题的类型及求法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量已知向量a，b的模及夹角的模及夹角，利用公式，利用公式ab|a|b|cos 求解；求解；(2)已知向量已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求的坐标，利用数量积的坐标形式求解解答案答案:B答案：答案：6两平面向量的夹角与垂直两平面向量的夹角与垂直例例2(1)(2012福州质检福州质检)已知已知|a|1，|b|2，a与与b的夹角为的夹角为120，abc0，则，则a与与c的夹角为的夹角为 ()A150B90C60 D30(2)(2011新课标全国卷新课标全国卷)已知已知a与与b为两个不共线的单为两个不共线的单位向量，位向量，k为实数，若向量为实数，若向量ab与向量与向量kab垂直，则垂直，则k_.自主解答自主解答(1)ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac.a与与c的夹角为的夹角为90.(2)a与与b是不共线的单位向量，是不共线的单位向量，|a|b|1.又又kab与与ab垂直，垂直，(ab)(kab)0，即即ka2kababb20.k1kabab0.即即k1kcos cos 0(为为a与与b的夹角的夹角)(k1)(1cos )0.又又a与与b不共线，不共线，cos 1.k1.答案答案(1)B(2)1 若本例若本例(1)条件变为非零向量条件变为非零向量a，b，c满足满足|a|b|c|，abc，试求，试求a与与b的夹角的夹角1求两非零向量的夹角时要注意：求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当当a，b是非坐标形式时，求是非坐标形式时，求a与与b的夹角，需求的夹角，需求得得ab及及|a|，|b|或得出它们的关系或得出它们的关系2(1)若若a(1,2)，b(1,1)，且，且a与与ab的夹角为锐角，的夹角为锐角， 则实数则实数的取值范围是的取值范围是_ (2)(2012豫南九校联考豫南九校联考)已知平面向量已知平面向量a，b满足满足|a|1， |b|2，a与与b的夹角为的夹角为60，则，则“m1”是是“(amb)a” 的的 () A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件平面向量的模平面向量的模答案答案D利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；平面向量数量积的综合应用平面向量数量积的综合应用(1)求求f(x)的周期和单调递减区间；的周期和单调递减区间； 向量向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的查知识的“交汇处交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题的函数、三角或几何问题4(1)(2012朔州调研朔州调研)质点受到平面上的三个力质点受到平面上的三个力F1，F2， F3(单位：牛顿单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知的作用而处于平衡状态，已知F1，F2 成成60角，且角，且F1，F2的大小分别为的大小分别为2和和4，则，则F3的大小的大小 为为()A直角三角形直角三角形 B等腰三角形等腰三角形C等边三角形等边三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形答案答案：（：（1）A （2） B 平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两个方面思平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两个方面思考，一是利用考，一是利用“数数”的特征，我们可以从向量的线性运算、的特征，我们可以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问题来解决；二是利用其代数中的有关问题来解决；二是利用其“形形”的特征，可以的特征，可以通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果.A2B4C5 D101特殊化法特殊化法该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果答案答案D题后悟道题后悟道该题中四个选项都是定值是选择特殊该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如果该题中出现化方法验证的前提，如果该题中出现“与两直角边的长与两直角边的长度有关度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了，则该题就不能采用特殊化法进行验证了2向量基底向量基底法法答案答案D3坐标法坐标法我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证再利用平面向量的坐标运算进行验证答案答案D题后悟道题后悟道利用坐标计算向量模的问题，是最常利用坐标计算向量模的问题，是最常用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征答案：答案：11 教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（二十八）测（二十八）”答案：答案：D2(2012郑州质检郑州质检)若向量若向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂相互垂直，则直，则9x3y的最小值为的最小值为 ()答案：答案：D答案：答案：D答案：答案：2,5