第八章第八章第八章第八章平行线的有关证明平行线的有关证明平行线的有关证明平行线的有关证明复习课复习课复习课复习课鲁教版鲁教版 五四学制五四学制 七年级下册七年级下册 第八章第八章1.知识与能力：归纳、整理平行线的相关知识，进一步体会证明的必要性2.过程与方法：经历探索过程，体会平行线的应用，培养数学应用能力。3.情感态度价值观：通过活动，培养学生的合作意识，体会数学与生活的联系。本章思维导图1.1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！ 2.2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？平行线的性质定理与判定定理分别是什么？ 3.3.三角形内角和定理是什么？三角形内角和定理是什么？ 4.4.与三角形的外角相关有哪些性质？与三角形的外角相关有哪些性质？5.5.证明题的基本步骤是什么？证明题的基本步骤是什么？ 第一环节第一环节 回顾与思考回顾与思考w每个命题都由每个命题都由条件条件和和结论结论两部分组成两部分组成. .条件是已知事项条件是已知事项, ,结论是由已事项推断出的事项结论是由已事项推断出的事项. .w一般地一般地, ,命题可以写成命题可以写成“如果如果, ,那么那么”的形式的形式, ,其其中中“如果如果”引出的部分是引出的部分是条件条件, ,“那么那么”引出的部分是引出的部分是结论结论. .w正确的命题称为正确的命题称为真命题，真命题，不正确的的命题称为不正确的的命题称为假命题假命题w要说明一个命题是要说明一个命题是假命题假命题, ,通常可以举出一个例子通常可以举出一个例子, ,使使之具备命题的条件之具备命题的条件, ,而不具备命题的结论而不具备命题的结论, ,这种例子称为这种例子称为反例反例 w定义定义: :一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义 的语句叫做的语句叫做定义定义. . w命题命题: :判断一件事情的句子判断一件事情的句子, ,叫做叫做命题命题回顾与思考回顾与思考 回顾与思考回顾与思考w公理公理: :公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理(axiom).(axiom).w证明证明: :除了公理外除了公理外, ,其它真命题的正确性都通过推理其它真命题的正确性都通过推理 的方法证实的方法证实. .推理的过程称为证明推理的过程称为证明. .w定理定理: :经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理(theorem).(theorem).本教科书选用如下命题作为基本事实： 1 1、两点确定一条直线。、两点确定一条直线。2 2、两点之间线段最短。、两点之间线段最短。 3 3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4 4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单的说：同位角相等，两直线平行。简单的说：同位角相等，两直线平行。 5 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。6 6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。7 7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。8 8、三边分别相等的两个三角形全等。、三边分别相等的两个三角形全等。 此外，此外，等式的有关性质等式的有关性质和和不等式的有关性质不等式的有关性质都可以看做公理，都可以看做公理，例如，例如，“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”简称为简称为“等量代换等量代换”。回顾与思考回顾与思考 平行线的判定平行线的判定公理公理: :w同位角相等同位角相等, ,两直线平行两直线平行. .w 1=2, ab.判定判定定理定理1 1: :w内错角相等内错角相等, ,两直线平行两直线平行. .w 1=2, ab. 1=2, ab.判定判定定理定理2 2: :w同旁内角互补同旁内角互补, ,两直线平行两直线平行. .w1+2=1801+2=1800 0 , ab. , ab. abc21abc12abc12 几何的几何的三种语言三种语言性质定理性质定理1 1: :w两直线平行两直线平行, ,同位角相等同位角相等. . ab, 1=2.性质定理性质定理2:2:w两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等. . ab, 1=2.性质定理性质定理3:3:w两直线平行两直线平行, ,同旁内角互补同旁内角互补. . ab, 1+2=1800 . abc21abc12abc12平行线的性质平行线的性质 几何的几何的三种语言三种语言探索思考探索思考1-1-复习题复习题1212如图，请利用11，22，33，44，55，66这六个角，写出能够证明ab的条件。（能写几个就写几个）三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .ABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.A+B+C=180A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . ABC 几何的几何的三种语言三种语言三角形的外角三角形的外角三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论: :w推论推论1: 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. .w推论推论2:2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. .ABCABC中中: : 1=2+3;1=2+3;12,13.12,13.ABCD1234这个结论以后可以直接运用这个结论以后可以直接运用. . 几何的几何的三种语言三种语言外角的内涵与外延外角的内涵与外延在这里在这里, ,我们通过三角形内角和定理直接我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理推导出两个新定理. .像这样像这样, ,由一个公理或由一个公理或定理直接推出的定理定理直接推出的定理, ,叫做这个公理或定叫做这个公理或定理的理的推论推论. .w推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用. . 三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论: :w推论推论1: 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. .w推论推论2:2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. .ABCD1234(1)(1)弄清题设和结论弄清题设和结论; ; (2)(2)根据题意画出相应的图形根据题意画出相应的图形; ;(3)(3)根据题设和结论写出已知根据题设和结论写出已知, ,求证求证; ; (4)(4)分析证明思路分析证明思路, ,写出证明过程写出证明过程. .证明一个命题的一般步骤证明一个命题的一般步骤: :ABC231探索思考探索思考2-2-复习题复习题1010（1）三角形的一个内角一定小于180吗？一定小于90吗？（2）一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？（3）一个三角形的最大角不会小于60，为什么？最小角不会大于多少度？（4）三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】1.下列语句是命题的有（ ） （1）两点之间线段最短；（2）同位角相等（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（5）对应角相等的两个三角形是全等三角形； 2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反假！ （1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a|=|b|，则a=b； 3. 如图，AD、BE、CF为ABC的三条角平分线,则： 1+2+3=_. 第二环节第二环节 练一练练一练1,3,5真真假904.已知：如图D.E.F分别是BC, CA ,AB上的点,DEBA,DFCA,求证：FDE=A 证明：DEBA（ ）FDE=BFD （ ）DFCA,（ ）BFD=A （ ） FDE=A （ ） 请将下面证明中每一步的理由填在相应的括号内已知两直线平行， 内错 角相等已知 两直线平行，同位角相等 等量代换5.已知：如图，直线a,b被直线c所截，ab。求证：1+2=180 证明：ab（已知）1+3=180（两直线平行，同旁内角互补）3=2（对顶角相等）1+2=180（等量代换） 6.已知：如图，1+2=180 .求证：3=4. 证明：2=5（对顶角相等）1+2=180（已知）1+5=180（等量代换）CDEF（同旁内角互补，两直线平行）3=4（两直线平行，同位角相等） 证明证明(1): BDC是是DCE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义), BDCCED(三角形的一个外角大于和它不相邻三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角的任何一个外角). DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角任何一个外角). BDCA (不等式的性质不等式的性质). DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),例例1 1 已知已知: : 如图所示如图所示. .求证求证: (: (1)1)BDCA;BDCA; (2) BDC=A+B+C. (2) BDC=A+B+C.BCADE第三环节第三环节 例题赏例题赏析析三角形的外角性质证明证明(2): BDC是是DCE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和). DEC=A+ B(三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和邻的两个外角的和). BDC=A+B+C (等式的性质等式的性质). DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADE三角形的外角性质1459. 如图,在ABC中,B=C,AD=AE,则BAD与CDE的数量关系为_.BAD=2CDE 某车间加工的零件如图,要求A=90,B=30,C=25.质检人员只要量得BDC的度数就可以断定该零件是否合格.则当BDC= 时,该零件才是合格产品.学以致用145第三环节第三环节 例题赏析例题赏析例题2：平行线的判定和性质例题3：平行线的判定和性质第四环节第四环节 拓展提升拓展提升-辅助线的添加方法辅助线的添加方法 例题4.已知：如图，直线ABED.求证：ABC+CDE=BCD. 证法一：如图，过点C作CFAB.ABC=BCF（两直线平行，内错角相等）ABED（已知）EDCF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）EDC=FCD（两直线平行，内错角相等）BCF+FCD=EDC+ABC（等式性质）即：BCD=ABC+CDE 例题4.已知：如图，直线ABED.求证：ABC+CDE=BCD. 证法二：如图，延长BC交DE于点FABDE（已知）ABC=CFD（两直线平行，内错角相等）BCD是CDF的一个外角（已知）BCD=CFD+CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BCD=ABC+CDE（等量代换） 第四环节第四环节 拓展提升拓展提升-辅助线的添加方法辅助线的添加方法15.有一天小虎同学用“几何画板”画图,他先画了两条平行线AB,CD,然后在平行线间画了一点E,连接BE,DE后(如图1),他用鼠标左键点住点E,拖动后,分别得到如图2,图3,图4等图形,这时他突然一想,B,D与E之间的度数有没有某种联系呢?接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能,找到了这三个角之间的关系.有一天小虎同学用“几何画板”画图,他先画了两条平行线AB,CD,然后在平行线间画了一点E,连接BE,DE后(如图1),他用鼠标左键点住点E,拖动后,分别得到如图2,图3,图4等图形,这时他突然一想,B,D与E之间的度数有没有某种联系呢?接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能,找到了这三个角之间的关系.第四环节第四环节 拓展提升拓展提升-变式训练变式训练(1)你能探讨出图1至图4各图中的B,D与E之间关系吗?(2)请从所得的四个关系中,选一个说明它成立的理由.解:(1)题图1:E=B+D;题图2:B+E+D=360;题图3:E=D-B;题图4:E=B-D.(2)选题图3.设AB与DE相交于点F.因为ABCD,所以D=AFE.因为AFE= B+E,所以D=B+E.即E=D-B.(1)你能探讨出图1至图4各图中的B,D与E之间关系吗?(2)请从所得的四个关系中,选一个说明它成立的理由.第四环节第四环节 拓展提升拓展提升-变式训练变式训练1.如图，ABC中，B=55,C=63,DEAB,则DEC等于 【 】（A）63 (B) 62 (C) 55 （D）1182命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的条件是 【 】（A）垂直 (B)两条直线 (C)同一条直线 （D）两条直线垂 直于同一条直线3如图，BD平分ABC，若12，则 【 】 （A）ABCD (B) ADBC (C) AD=BC （D）AB=CD第1小题第3小题 第五环节第五环节 当堂检测当堂检测BDBB4. 如图所示,A,1,2的大小关系是( )(A)A12 (B)21A(C)A21 (D)2A15. 如图,点D,E在ABC的边上,CD与BE相交于点F.则1,2,3,4应满足的关系是( )(A)1+4=2+3 (B)1+2=3+4(C)1+2=4-3 (D)2-1=3+4D6、如图，ADBC，EFBC，3=C. 求证：1=2. 证明：证明： ADADBCBC，EFEFBC BC （已知）（已知） ADBADBEFC=90EFC=90（垂直的定义）（垂直的定义） 1+1+3=903=90 2+2+C=90C=90（直角三角形两锐角互余）（直角三角形两锐角互余） 又又 3=3=C C（已知）（已知） 1=1=2. 2. （等角的余角相等）（等角的余角相等）7.如图，BDAC，EFAC，D、F分别为垂足，12，试说明ADGC。三、解答题11. 如图所示,已知CDAB,EFAB,1=2.求证:AGD=ACB.证明:因为CDAB,EFAB(已知),所以EFB=CDB=90(垂直的定义),所以CDEF(同位角相等,两直线平行),所以2=DCB(两直线平行,同位角相等).又因为1=2(已知),所以1=DCB(等量代换),所以DGBC(内错角相等,两直线平行),所以AGD=ACB(两直线平行,同位角相等).13. 如图,若ABCD,1=2,求证:E=F.证明:连接BC,因为ABCD,所以ABC=BCD,又因为1=2,所以EBC=BCF,所以EBCF,所以E=F.8. 如图,若ABCD,1=2,求证:E=F.第六环节第六环节 布置作业布置作业1.第八章复习题 2.完成课后巩固练习