7. 本构关系本构理论研究应力张量与物体运动历史的关系, 主要是应力与应变之间的关系, 本构关系必须满足一定的原理. 1.坐标不变性原理: 任何一个物理过程与所选的坐标系没有关系, 如果用张量的抽象记法描述本构关系, 则坐标不变性自然满足.2. 应力确定性原理: 物体的应力只取决于它过去的全部变形历史, 而与将来的运动变形无关.3. 局部作用原理: 某点的应力只与该点无限小邻域的运动状态有关。注意: 非局部理论是当前固体力学的研究热点之一!4. 本构的客观性原理: Cauchy应力是客观张量.本构理论的客观性原理 1. 等价运动和表示同一物体的两个不同的运动, 它们从时刻t0从同一参考构形出发设与两个运动存在以下关系：其中为任意正交张量，为任意矢量，与只随时间t而变化 我们称与为等价运动 2. 标量（场）的客观性 设与为任意两个等价的运动, 设有某物理量（例如温度）中为，在构形中为若对于任意X与t，有:则称为f为客观标量。 为标量，它在构形3.矢量（场）的客观性设与为任意两个等价的运动, 设有某物理量（例如力）为矢量，它在构形中为，在构形中为它们之间满足关系式 , 则该矢量为客观矢量4.张量（场）的客观性设与为任意两个等价的运动, 设有某物理量（例如应力)为二阶张量，它在构形中为，在构形中为它们之间满足关系式: 则该张量为客观张量.是客观矢量; 两点矢径之差是客观的; 例:不是客观的。均为客观矢量;Cauchy应力，Kirchhoff应力是客观张量 。5. 本构的客观性原理客观性原理又称标架无差异原理（frame indifference principle），它最简单的表述是：Cauchy应力是客观张量对运动 与运动，Cauchy应力分别为 又:所以:根据客观性原理则有:对于等价运动有:利用极分解有:选取这就是客观性原理所要求材料泛函应满足的条件 相应地有:处t时刻的Cauchy应力变形过程，求出t时刻的应力然后令这个应力从t时刻的Lagrange标架旋转到t时刻的Eule标架。欲求任何一个运动的变形梯度, 所引起在X质点，可以先让X质点处只发生纯物理意义:四、各向同性弹性材料Strain energy density3D case- Work conjugateBalance of linear momentumWith Lagrange descriptionPrinciple of virtual displacementT is the first P-K stress tensor.soAnd we have：soWork conjugate!Here, T is the first P-K stress tensor.S is the second P-K stress tensor.As we have:So: