5 Gauss求积公式求积公式 /*/*Gauss Quadrature Formula */ NewtonCotes求积公式中求积公式中的的求积节点是求积节点是等距等距选取选取的的，求积系数计算方便，但，求积系数计算方便，但代数精度代数精度要受到限制；要受到限制；积分公式的积分公式的一般形式一般形式： 插值型插值型的求积公式的求积公式至少至少有有n次代数精度，次代数精度，至多至多有多少有多少次的代数精度？次的代数精度？ 如何适当选取求积节点和求积系数如何适当选取求积节点和求积系数，使求积公式达到，使求积公式达到最高最高的代数精度？的代数精度？一、一、 Gauss积分问题的提法积分问题的提法 为了提高为了提高代数精度代数精度，需要适当选择求积节点，需要适当选择求积节点: :当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，取，求积公式的求积公式的代数精度代数精度最高最高能达到多少？能达到多少？具有具有最高最高代数精度代数精度的求积公式的求积公式中求积节点如何选取？中求积节点如何选取？积分公式的积分公式的一般形式一般形式： 个求积节点，个求积节点， 个求积系数，共个求积系数，共 个未知量，个未知量，需要需要 个方程，因此可以取个方程，因此可以取 使公使公式精确成立，从而求出求积节点和系数。式精确成立，从而求出求积节点和系数。只需证明：对于上述只需证明：对于上述插值型插值型求积公式，存在一个求积公式，存在一个2n+2次多项式，使得求积公式次多项式，使得求积公式不能精确成立不能精确成立。 形如形如 的的插值型插值型求积公式的代数精度最高不超过求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。次。证明：证明：令令因为因为而而故求积公式故求积公式不能精确不能精确成立。成立。下面讨论下面讨论一般一般积分形式：积分形式：其中其中 为为权函数权函数构造积分公式构造积分公式（* *）具有具有2n+1次代数精度。次代数精度。其中其中求积求积节点节点求积求积系数系数与与被积函数被积函数无关无关 如果一组节点如果一组节点 ，使得，使得上述上述插值型插值型求积公式具有求积公式具有2n+1次代数精度，则称该组次代数精度，则称该组节点为节点为Gauss点，相应的公式为点，相应的公式为Gauss型求积公式。型求积公式。求积系数的求积系数的特征：特征：五点五点的的Gauss求积公式具有多少次代数精度？求积公式具有多少次代数精度？例例1：构造下列积分的：构造下列积分的Gauss求积公式：求积公式：例题例题：分析：分析：因为因为n=1,所以所以Guass求积公式具有求积公式具有3次代数精度。分别取次代数精度。分别取 , 得到关于得到关于 的方程组，求解的方程组，求解非线性方程组非线性方程组得得到求积系数和求积节点。到求积系数和求积节点。2n+2个未知数，个未知数， 2n+2个方程个方程的的非线性方程组非线性方程组由由代数精度代数精度定义，当定义，当 时，时，求积公式求积公式 精确成立：精确成立：问题：如何计算问题：如何计算Gauss点点 及求积系数及求积系数 ？ 方法一：方法一：从从代数精度代数精度的定义出发，求解的定义出发，求解非线性非线性方程组；方程组； 方法二：两步走方法二：两步走问题：如何计算问题：如何计算Gauss点点 及求积系数及求积系数 ？1. 先确定先确定GaussGauss求积节点求积节点2. 计算求积系数计算求积系数 从代数精度的定义出发，求解从代数精度的定义出发，求解线性线性方程组；方程组；或或用用系数的表达式系数的表达式直接计算。直接计算。二、二、 Gauss求积公式的性质求积公式的性质 Gauss求积公式存在的条件求积公式存在的条件插值型插值型求积公式求积公式（* *）的节点的节点是是Gauss点点的充要条件是以这些的充要条件是以这些节点为零点节点为零点的多项式的多项式与与任何任何不超过不超过n次的多项式次的多项式 带权正交带权正交: :证明：证明：必要性必要性设设则则因为因为是是Gauss点点充分性充分性对于对于其中其中即求积公式即求积公式（* *）对一切不超过对一切不超过2n+1次的多项式精确成立次的多项式精确成立所以所以节点节点 是是Gauss点点上述定理表明：上述定理表明： 上带权的上带权的n+1次次正交多项式正交多项式的零点就是求积公式的零点就是求积公式（*）的的Gauss点点 Gauss求积公式中求积公式中求积系数求积系数的求法的求法由由代数精度代数精度定义，得到定义，得到n+1阶阶线性线性方程组：方程组：设已知设已知Gauss点点或者或者 Gauss求积公式的余项求积公式的余项证明：证明：设设 是满足下列条件的是满足下列条件的Hermite插值插值公式有公式有2n+1次代次代数精度数精度积分第一积分第一中值定理中值定理 Gauss求积公式的稳定性求积公式的稳定性Gauss型型求积公式求积公式（* *）总是稳定的。总是稳定的。证明：证明： 只需证明：只需证明：因为因为Gauss型型求积公式求积公式（* *）对所有不超过对所有不超过2n+1次的多次的多项式都精确成立：项式都精确成立：取取是是n次的次的Lagrange插值基函数插值基函数 Gauss求积公式的收敛性求积公式的收敛性则则Gauss型型求积公式求积公式（* *）是收敛的。是收敛的。设设证明：证明：由由Weierstrass定理知定理知对对存在存在m次多项式次多项式 满足满足下证下证当当 时时三、三、 Gauss求积公式的构造求积公式的构造根据前面的讨论，只需要取根据前面的讨论，只需要取n+1次次正交正交多项式的多项式的n+1个个零点零点为为求积节点求积节点，构造的求积公式即为，构造的求积公式即为Gauss求积公式求积公式 区间的区间的转化转化问题问题任意区间任意区间 经过下列经过下列变换变换可变为可变为区间区间下面仅以下面仅以Legendre多项式和多项式和Chebyshev多项式为例多项式为例 是首系数为是首系数为 的的 次正交多项式，权函次正交多项式，权函数为数为 Legendre正交多项式正交多项式 为不超过为不超过 次的多项式次的多项式 在在 有有 个不同的实零点，且关于原点对称个不同的实零点，且关于原点对称递推关系递推关系正交性正交性奇偶性奇偶性 Gauss-Legendre求积公式求积公式其中其中求积节点求积节点 是是n+1次次Legendre多项式的零点多项式的零点求积系数求积系数可通过求解方程组得到，或者利用下式可通过求解方程组得到，或者利用下式 时，时， 零点零点 ，构造求积公式：，构造求积公式：求求 ： 令令 ，代入公式精确成立，得到：，代入公式精确成立，得到：或或一点一点Gauss-Legendre求积公式求积公式1次次代数精度代数精度 时，时， ，零点，零点 构造求积公式：构造求积公式：求求 ： 令令 ，代入公式精确成立，得到：，代入公式精确成立，得到：或或两点两点Gauss-Legendre求积公式求积公式3次次代数精度代数精度P147表表5.5.1三点三点Gauss-Legendre求积公式求积公式5次次代数精度代数精度例例1 1：应用两点应用两点Gauss-Legendre求积公式计算积分求积公式计算积分解：解：作变换作变换三点三点Gauss-Legendre求积公式求积公式例如：例如： 切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）正交正交多项式系多项式系： 只含有只含有 的偶次幂，的偶次幂， 只含有只含有 的奇次幂。的奇次幂。在在 -1,1-1,1 内的内的n个个零点和零点和n+1个个最值点为：最值点为：见文见文献献13 Gauss-Chebyshev求积公式求积公式其中其中求积节点求积节点 是是n+1次次Chebyshev多项式的零点多项式的零点求积求积系数系数例例2 2：应用两点应用两点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分求积公式计算积分解：解：作变换作变换节点增加节点增加时需重新时需重新计算计算可以计算可以计算广义积分广义积分 NewtonCotes求积公式求积公式是是等距节点等距节点的插值型求积公式，当的插值型求积公式，当n7时计算不稳定；时计算不稳定；梯形梯形求积公式和求积公式和Simpson求积公式是求积公式是低精度低精度方法，但对于方法，但对于光滑性较差光滑性较差的被积函数有时比高精度方法能得到更的被积函数有时比高精度方法能得到更好的效果。实际计算中一般采用好的效果。实际计算中一般采用复化复化求积公式。求积公式。 Romberg求积方法。求积方法。算法简单算法简单，当节点加密提高积分近似程，当节点加密提高积分近似程度时，前面计算的结果可以为后面的计算使用，因此，对度时，前面计算的结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计减少计算量算量有好处。有好处。 Gauss求积。求积。Gauss公式公式精度高精度高，计算稳定，但求积节点选，计算稳定，但求积节点选取困难。带权取困难。带权Gauss求积方法能把复杂积分化简，还可以直接计求积方法能把复杂积分化简，还可以直接计算算无穷区间上的积分和广义积分无穷区间上的积分和广义积分。总总 结结