复习回顾复习回顾: :1 1、直线与平面垂直的定义，判定定理，、直线与平面垂直的定义，判定定理，性质定理性质定理。2 2、如何定义直线外一点在直线上的、如何定义直线外一点在直线上的射影？射影？一、一、点在平面上的射影点在平面上的射影 点到平面的垂线段点到平面的垂线段P1自点自点P向平面向平面引垂线引垂线 ，垂足，垂足P1 1叫叫做点做点P在平面在平面内的正射影内的正射影(简称射影简称射影)P点点P与垂足间的线与垂足间的线段叫做点到平面的段叫做点到平面的垂线段垂线段如果图形如果图形F上的所有点在一平面内的射影构上的所有点在一平面内的射影构成的图形成的图形 ,则则 叫做图形叫做图形F在这个平面在这个平面上的射影上的射影.二、图形在平面内的射影二、图形在平面内的射影 如如果果一一条条直直线线和和一一个个平平面面相相交交，但但不不和和这这个个平平面面垂垂直直，那那么么这这条条直直线线叫叫做平面的做平面的斜线斜线 斜线上一点与斜斜线上一点与斜足间的线段叫做足间的线段叫做斜线斜线段段(线段线段AP) 斜线和平面的斜线和平面的交点叫做交点叫做斜足斜足A斜线斜线PAPA在平面的射影为在平面的射影为 直线直线OA两条平行线两条平行线;或一条直线或一条直线练习、练习、1 1、直线、直线ll于点于点, ,则则l l在在内的射影为内的射影为2 2、直立的、直立的ABCABC在水平面在水平面内的射影为内的射影为4、空间中两条平行直线、空间中两条平行直线a,b在同一平面内的射影在同一平面内的射影可能是可能是3、空间中一条直线在一个平面内的射影可、空间中一条直线在一个平面内的射影可能是能是点点线段线段一个点一个点两个点两个点;一条直线一条直线一个点和一条直线一个点和一条直线;两条相交直线两条相交直线;一个点和一条直线一个点和一条直线;5、空间中两条相交直线、空间中两条相交直线a,b在同一平面内在同一平面内的射影可能是的射影可能是两条相交直线两条相交直线; 一条直线一条直线6、空间中两条异面直线、空间中两条异面直线a,b在同一平面内在同一平面内的射影可能是的射影可能是7、空间中两条直线、空间中两条直线a,b在同一平面内的射影在同一平面内的射影可能是可能是两条平行线两条平行线;两条平行线两条平行线;两条相交直线两条相交直线;两个点两个点;一条直线一条直线ACBDE 垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短 从平面外一点向这个平面所引的垂线从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段段和斜线段AB、AC、AD、AE中中,哪一哪一条最短？条最短？(简称简称:垂线段最短垂线段最短)ACBOOB=OC AB=ACOBOC AB ACAB=AC OB=OCAB AC OBOC（2） 射影相等的两条斜线段相等射影相等的两条斜线段相等,射影较长的射影较长的斜线段也较长斜线段也较长（3）相等的斜线段的射影相等）相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段较长的斜线段的射影也较长的射影也较长从平面外一点向这个平面所引的垂线段和从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段及其它们在该平面内的射影：斜线段及其它们在该平面内的射影：从平面外从平面外一点向这个平面所一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中引的垂线段和斜线段中. .(1)射影相等的两条斜线段相等射影相等的两条斜线段相等,射影较长射影较长的斜线段也较长的斜线段也较长(2)相等的斜线段的射影相等相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长较长的斜线段的射影也较长(3)垂线段最短垂线段最短一、射影定理一、射影定理ACBOA PO、PA分别是平面分别是平面 的垂线、斜线的垂线、斜线,OA是是PA在平面在平面 上的射影上的射影. 已知已知 在平面内的一条直线在平面内的一条直线,若若它和这个平面的一条斜线的射影垂直它和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它则它也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直二、三垂线定理二、三垂线定理求证：求证： aPA、三垂线定理、三垂线定理a ,aOA。OaAP 已知已知 PO、PA分别是平面分别是平面 的垂线、斜线的垂线、斜线,OA是是PA在平面在平面 上的射影上的射影.aOAaPAOAaPA 平面平面PAOaPAPO a a平面平面PAOPO a 证明：证明：a ,求证：求证：OaAPO aAP 在平面内的一条直线在平面内的一条直线,若若它和这个平面的一条斜线的射影垂直它和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它则它也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直二、三垂线定理二、三垂线定理、三垂线定理三垂线定理 在平面内的一条直线在平面内的一条直线,若和这个平面的一若和这个平面的一条斜线垂直条斜线垂直,则它也和这条斜线的射影垂直则它也和这条斜线的射影垂直、三垂线定理的逆定理、三垂线定理的逆定理, ,逆定理逆定理O a aAP二、三垂线定理，二、三垂线定理， 逆定理逆定理、三垂：、三垂：、三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线的三垂线的三垂线的三垂线的逆定理逆定理直线直线射影射影直线直线斜线斜线即：即：三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线的三垂线的三垂线的三垂线的逆定理逆定理练习练习(3)若若P到到 ABC三边三边AB,BC,CA的距离相等，的距离相等，则则O为为 ABC的的 心心(2)若若PA BC,PB AC,则则O为为 ABC的的 心心(1)若若PA=PB=PC,则则O为为 ABC的的 心心外外垂垂内内P PC CB BA AO O例、例、四面体四面体ABCD中中,若若ABCD, BCAD求证：求证：AC BDOADCB作作AO平面平面BCD于点于点O,连接连接BO,CO,DO.则则BO,CO,DO分别为分别为AB,AC.AD在平面在平面BCD上的射影。上的射影。ABCDBOCD证明证明:同理同理COBD，于是于是O是是BCD的垂心，的垂心，DOBC,于是于是ADBC.练习练习2、已知：点已知：点是是的垂心，的垂心，垂足为，垂足为求证：求证：例例2、若一个角所在平面外一点到角的两若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等边距离相等,则这一点在平面上的射影在则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上这个角的平分线上已知：已知：BAC在平面在平面 内内,点点P,PEAB,PFAC,PO ,垂足分别是垂足分别是E、F、O,PE=PF.分析分析: 要证要证BAO=CAOP C B A O F 求证求证:BAO=CAO只须证只须证OE=OF, OEAB,OFACE 练习练习3.已知点已知点O是是ABC的的BC边上的高上边上的高上的任意一点，且的任意一点，且OP平面平面ABC,求证求证PABC证明：证明： OP 平面平面ABCAO是是PA在平面在平面ABC内的射影，内的射影，又又 AO BC， PA BC。（三垂线定理）（三垂线定理）练习练习4.如图如图,PD平面平面ABC,AC=BC,D为为AB的中点，求证的中点，求证ABPC证明：证明：AC=BC，D是是BC的中点，的中点，ABCD，PD平面平面ABC，CD是是PC在平面在平面ABC内的射影，内的射影， ABPC（三垂线定理）（三垂线定理）练习练习5.如图如图:ABCD是矩形是矩形,PA平面平面AC，连结连结PB,PC,PD，指出图中有哪些三角形是，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由直角三角形，并说明理由