11. 运用各种方法解决行程内综合问题.2. 发现一些综合问题中,行程与其它模块的联系,并解决奥数综合问题. 行程问题是奥数中的一个难点,内容多而杂.而在行程问题中,还有一些尤其复杂的综合问题.它们大致可以分为两类：一、行程内综合,把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中,这就是一道行程内综合题目.例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起,把流水行船和发车间隔结合起来等等.二、学科内综合,这种问题就不只是行程问题了,把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合在一起,这种综合性题目的难度也很大,比如行程与策略综合等等.本讲内容主要就是针对这种综合性题目.虽然题目难度偏大,但是这种题目在杯赛和小升初试题中是很受“偏爱”的.所以很重要.模块一、行程内综合【例例 1】邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走 12 千米上坡路,8 千米下坡路.他上坡时每小时走 4 千米,下坡时每小时走 5 千米,到达目的地停留 1 小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?【例例 2】小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟,下山时每走 30 分钟休息 5 分钟已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍,如果上山用了 3 小时 50 分,那么下山用了多少时间?【例例 3】已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同;猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同而猫跑知识精讲知识精讲教学目标教学目标行程综合问题行程综合问题23 步的时间与狗跑 5 步的时间相同;猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同,猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道,同时同向同地出发问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?【例例 4】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加 2 米秒,乙比原来速度减少 2 米秒,结果都用 24 秒同时回到原地.求甲原来的速度.【例例 5】环形跑道周长是 500 米,甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发.甲每分跑 120 米,乙每分跑100 米,两人都是每跑 200 米停下休息 1 分.甲第一次追上乙需多少分?【例例 6】甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的2.5倍,当乙第一次追上甲时,甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距 100 米,那么这条环形跑道的周长是 米BCA3【例例 7】如图所示,甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步.跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞,所以两人的速度都将减慢,在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米,而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米.两人一直跑下去,问：他们第 99 次迎面相遇的地方距A点还有 米.A【例例 8】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲速度的 2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3;乙跑第二圈时速度提高了 1/5已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米,那么这条椭圆形跑道长多少米?【例例 9】如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路已知汽车在 AB 上时速是 90 千米,在 BC 上的时速是120 千米,在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米从 CD 上一点 P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇如果从 PC 的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点 N 相遇问 A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所得到的商是多少?4【例例 10】 一条环形道路,周长为 2 千米甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发,每人环行 2 周现有自行车2 辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行出发,中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时 5 千米,乙和丙步行的速度是每小时 4 千米,3 人骑车的速度都是每小时 20千米请你设计一种走法,使 3 个人 2 辆车同时到达终点那么环行 2 周最少要用多少分钟?【例例 11】 甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒 8 米,乙的速度为每秒 6 米当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少 2 米,乙的速度每秒减少 0.5 米这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加 O.5 米,直到终点那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米?【例例 12】 12】某人乘坐观光游船沿河流方向从A港前行发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船,每隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过已知A、B两港之间货船发出的间隔时间相同,且船在静水中速度相同,均是水速的 7 倍那么货船的发出间隔是_分钟模块二、学科内综合【例例 13】 甲、乙两辆车从 A 城开往 B 城,速度是 55 于米小时,上午 10 点,甲车已行的路程是乙车已行的路程的 5 倍：中午 12 点,甲车已行的路程是乙车已行的路程的 3 倍问乙车比甲车晚出发多5少小时?【例例 14】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行.张明平均每小时行 5 千米;而李军第一小时行 1 千米,第二小时行 3 千米,第三小时行 5 千米,（连续奇数）.两人恰好在甲、乙两地的中点相遇.甲、乙两地相距多少千米?【巩固】 甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行,甲车每秒行 5 厘米,乙车第一秒行 1 厘米,第二秒行 2 厘米,第三秒行 3 厘米,这样两车相遇时,走的路程相同.则轨道长_厘米.【巩固】 龟兔赛跑,全程 5.2 千米,兔子每小时跑 20 千米,乌龟每小时跑 3 千米乌龟不停地跑;但兔子却边跑边玩,它先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟,又跑 2 分钟然后玩 15 分钟,再跑 3 分钟然后玩 15 分钟,那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?【例例 15】 科技小组演示自制机器人,若机器人从点 A 向南行走 1.2 米,再向东行走 1 米,接着又向南行走 1.8米,再向东行走 2 米,最后又向南行走 1 米到达 B 点,则 B 点与 A 点的距离是（ ）米. （A）3 （B）4 （C）5 （D）76【例例 16】 两条公路成十字交叉,甲从十字路口南 1200 米处向北直行,乙从十字路口处向东直行.甲、乙同时出发 10 分后,两人与十字路口的距离相等,出发后 100 分,两人与十字路口的距离再次相等,此时他们距十字路口多少米?【例例 17】 如图 6,迷宫的两个入口处各有一个正方形（甲）机器人和一个圆形机器人（乙）,甲的边长和乙的直径都等于迷宫入口的宽度.甲和乙的速度相同,同时出发,则首先到达迷宫中心（）处的是 .【例例 18】 A、B 两地位于同一条河上,B 地在 A 地下游 100 千米处甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发,相向而行,甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后,都立即按原来路线返航水速为 2 米/秒,且两船在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距 20 千米,那么两船在静水中的速度是 【例例 19】 米/秒【例例 20】 20】夜里下了一场大雪,早上,小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度,他们从同一点同向行走,小龙每步长 54 厘米,爸爸每步长 72 厘米,两人各走完一圈后又都回到出发点,这时雪地上只留下 60 个脚印.那么这条小路长 .7【例例 21】 21】甲、乙两地相距 100 千米,张山骑摩托车从甲地出发,1 小时后李强驾驶汽车也从甲地出发,二人同时到达乙地.已知摩托车开始的速度是每小时 50 千米,中途减为每小时 40 千米;汽车的速度是每小时 80 千米,并在途中停留 10 分钟.那么,张山骑摩托车在出发 分钟后减速.【例例 22】 甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进现在甲位于乙的前方,乙距起点 20 米;当乙游到甲现在的位置时,甲已离起点 98 米问：甲现在离起点多少米?【例例 23】 某人由甲地去乙地,如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时,再换骑自行车行 9 小时,恰好到达乙地,如果他从甲地先骑自行车 21 小时,再换骑摩托车行 8 小时,也恰好到达乙地,问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地?【例例 24】 甲、乙两人同时从两地出发相向而行,相遇后继续前进,当两人相距2.5千米时 ,甲走了全程的23,乙走了全程的34.两地相距多少千米?【例例 25】 甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发,背向而行,已知甲骑一圈需 48 分,出发后 30 分两人相遇.问：乙骑一圈需多长时间?【例例 26】 甲、乙两站相距不到 500 千米,A,B 两列火车从甲、乙两站相对开出,A 车行至 210 千米处停车,8B 车行至 270 千米处也停车,这时两车相距正好是甲、乙两站距离的19.甲乙两站的距离是多少? 【例例 27】 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,客车行完全程需 10 时,货车行完全程需 15 时.两车在中途相遇后,客车又行了 90 千米,这时客车行完了全程的 80,求甲、乙两地的距离.【例例 28】 小王和小李同时从两地相向而行,小王走完全程要 60 分,小李走完全程要 40 分.出发后 5 分,小李因忘带东西而返回出发点,因取东西耽误了 5 分,小李再出发后多长时间两人相遇?【例例 29】 两列火车从甲、乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需要 8 时,比快车从异地到甲地所需时间多13.一直两车同时开出,相遇时快车比慢车多行 48 千米,求甲、乙两地的距离.【例例 30】 甲、乙二人在环形自行车赛场上训练,已知两人骑一圈分别需要 23 秒和 27 秒.如果两人同时从起点出发,背向而行,那么他们再次相遇需要多长时间?如果是同向行,那么甲超过乙需要多长时间?【例例 31】 甲、乙两汽车先后从 A 地出发到 B 地去,当甲车到达 A,B 两地中点时,乙车走了全程的15;当甲车到达B地时,乙车走了全程的23.求甲、乙两车车速之比.【例例 32】 大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶.大货车先走 1.5 时,小轿车出发 4 时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行 5 千米,那么出发后 3 时就可追上大货车.问：小轿车实际上每时行多少千米?9【例例 33】 星期天早晨,哥哥和弟弟都要到奶奶家去.弟弟先走 5 分,哥哥出发后 25 分追上了弟弟.如果哥哥每分多走 5 米,那么出发后 20 分就可以追上弟弟.弟弟每分走多少米?【例例 34】 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以 2 米/秒和 3 米/秒的速度各划行赛程的一半;第二个方案是在比赛中分别以 2 米/秒和 3 米/秒的速度各划行比赛时间的一半.你认为这两个方案哪个好?【例例 35】 一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从 A,E 两站相对开出,从 A 站开出的每小时行 60 千米,从 E 站开出的每小时行 50 千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟? 【例例 36】 一辆汽车往线路上运送电线杆,从出发地装车,每次拉 4 根,线路上每两根电线杆间距离为 50 米,共运了两次,装卸结束后返回原地共用 3 时.其中装一次车用 30 分,卸一根电线杆用 5 分,汽车运行时的平均速度是 24 千米时,求第一根电线杆离出发点的距离.【例例 37】 在一个沙漠地带,汽车每天行驶 200 千米,每辆汽车载运可行驶 24 天的汽油现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发,并在完成任务后,沿原路返回为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车10在行驶一段路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他的油给甲车求甲车所能开行的最远距离