高等代数6线性空间第一章 线性空间n学时：学时：16学时。n教学手段：教学手段：p讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。n基本内容和教学目的：基本内容和教学目的：p基本内容：集合、映射的概念；线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、过渡矩阵的概念；基变换与坐标变换；线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和；线性空间的同构等概念。p教学目的：p1、掌握集合、映射的概念，线性空间的定义与简单性质。p2、理解维数、基与坐标的概念。了解基变换与坐标变换。p3、了解线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构等概念。n本章的重点和难点：本章的重点和难点：p重点：线性空间的概念，子空间的和，基与维数，基及坐标变换公式。p难点：线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和。 1课件高等代数6线性空间6.2 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质2课件高等代数6线性空间一. 线性空间的定义3课件高等代数6线性空间4课件高等代数6线性空间例1 平面（空间）解析几何中的典例：5课件高等代数6线性空间例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例：6课件高等代数6线性空间例3 Ca,b=f：a,b上连续实函数：7课件高等代数6线性空间例4 （1）数域P是P上的线性空间； （2）数域C是R上的线性空间； （3）数域R非C上的线性空间.8课件高等代数6线性空间例5 （1）数域P上一元多项式环Px； （2）Pxn=f(x)fn 0.9课件高等代数6线性空间二. 基本性质n 8条算律 基本法律依据（公理），以2个运算、8条算律为基础推导其它基本性质.n 以下6条基本性质：10课件高等代数6线性空间11课件高等代数6线性空间12课件高等代数6线性空间13课件高等代数6线性空间6.2 维数、基、坐标14课件高等代数6线性空间一. 向量的线性相关（无关） * 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.15课件高等代数6线性空间16课件高等代数6线性空间17课件高等代数6线性空间二. 维数、基、坐标 定 义 5 V中 有 n个线性无关的向量，且无多余 n个的向量线性无关，则称 V是n维的记成 dimV=n； 若 V中有任意多个向量线性无关，则称 V是无限维的，记成dimV=.l 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数. 例1 (1) V2：两相交矢量确定此平面 dimV2=2； V3：三相交矢量确定此空间 dimV3=3. (2) Pn =(a1,a2,an)|aiP,i=1,2,n是n维的，e1,e2,en是Pn的一个极大无关组. (3) Rx=f(x)|f(x)是实系数多项式. 当 f(x)=a0+anxn , 且k0+knxn=0时有k0=kn=0成立，故 1,x,xn,是Rx的一个极大无关组 dimRx=.l 本教材仅讨论无限维线性空间.18课件高等代数6线性空间 定义定义6 dimV= n，如果1，2，,n 线性无关，则称1 , 2 , ,n 为 V 的一组基（或一个基）； V，a11+ a22 + + ann , 称 a1, a2,an 为在基1，2，,n 下的坐标，记为（a1, a2,an）.l 基是 V 中一个极大无关组 V 中有多个基，但维数是唯一确定的；l 对任意的V，可由基1，2，,n 唯一线性表示 （这即说：向量 在该基1，2，,n 下的坐标唯一确定）.证明证明： 据维数及基的定义 ，1，2，,n 线性相关，即 存在不全为0的 b1,b2,bn ,使 b11 + b22+ + bnn+ bn+1=0 0 bn+10 (否则，由1，2，,n线性无关将推出b1=b2=bn =0，矛盾) = bn+1-1(-b1)1+ +(-bn)n)= a11+ a22 + + ann ,即可由基1，2，,n 线性表示.19课件高等代数6线性空间 设a11+ a22 + + ann b11+ b22 + + bnn (a1-b1)1+ (a2-b2)2 + +(an-bn)n 0 0 由基1，2，,n 线性无关可知 a i=b i (i=1,2,n), 即表示唯一. l 基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画.定理定理1 1 1,2,n 是 V 的基 1,2,n 线性无关，且对任意的V， 可由1,2,n 线性标出20课件高等代数6线性空间21课件高等代数6线性空间22课件高等代数6线性空间23课件高等代数6线性空间6.3 基变换与坐标变换24课件高等代数6线性空间* 问题的提出问题的提出：ndimV=n 25课件高等代数6线性空间例： V2=：始点为坐标原点的平面矢量26课件高等代数6线性空间* 形式书写记号及其性质形式书写记号及其性质27课件高等代数6线性空间* 形式记号的运算性质：28课件高等代数6线性空间一 基变换公式 29课件高等代数6线性空间 30课件高等代数6线性空间l 称如上公式为基 到基 的基变换公式基变换公式； 称A为基 到基 的过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵A是可逆矩阵是可逆矩阵31课件高等代数6线性空间二. 坐标变换公式n命题命题2 基变换公式坐标变换公式32课件高等代数6线性空间33课件高等代数6线性空间34课件高等代数6线性空间矩阵表示35课件高等代数6线性空间 基变换公式基变换公式坐标变换公式坐标变换公式坐标旋转公式坐标旋转公式（平面解析几何）（平面解析几何）接前页接前页36课件高等代数6线性空间三. 过渡矩阵37课件高等代数6线性空间38课件高等代数6线性空间39课件高等代数6线性空间40课件高等代数6线性空间41课件高等代数6线性空间42课件高等代数6线性空间5 线性子空间43课件高等代数6线性空间一. 子空间的概念1。定义。定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间 1） ； 2） W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间.l寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题 定理定理2 V的非空子集W是V的子空间 证明： 必要性是显然的. 现证充分性. 据题设 W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1), 2), 5), 6), 7), 8). 取k = 0, 则k= 0= 0W； 取k = 1, 则k= (1)=W 即算律3), 4)成立 W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 据定义7即知W是V的子空间. l 子空间本身就是一个线性空间 线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立 .l 设W是V的子空间，则dimWdimV .44课件高等代数6线性空间补充命题补充命题： 线性空间V的非空子集W是V的子空间 证明证明：必要性显然成立，现证充分性. 取a = b = 1, 据题设 取b = 0, 据题设由定理2即知W是V的子空间. l 实例：例例1-2 取V的子集0，则0是V的子空间，称为V的零子空间零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间 子空间0和V统称为V的平凡子空间平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间非平凡子空间.例例3 实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的子空间.证明证明： 取任两实系数多项式 f(x) = anxn+ +a1x+a0, g(x) = bmxm+b1x+b0,不妨设nm, 对任意实数c, d, cf(x)+dg(x) = (cbm+d0)xm+(cbn+dan)xn+(cb1+da1)x+(cb0+da0)显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间. 45课件高等代数6线性空间例例5 线性空间Pn中，齐次线性方程组全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间.证明证明： 用矩阵方程AX = 0表示该齐次线性方程组，则W =A= 0.对任意的,W, a,bP, A(a+b) =a A+bA= 0 + 0 = 0, 故知a+bW , 据补充命题可知，W是Pn的一个子空间. 补充例题补充例题： 过原点的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V3的子空间证明证明： 过原点的直线上任意两个矢量的和，任意一个矢量的数乘均仍在该直线上, 故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间. 过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间. l 这里之所以要求过原点，是为了保证 0= 0W成立.46课件高等代数6线性空间例例6 设1,2,rV (V是数域P上的线性空间), 则 L(1,2,r) = k11+k22+krr | kiP, i =1,2,r是V的一个子空间.证明： 1,2,r L(1,2,r) L(1,2,r) 是V的非空子集. 任取 =k11+k22+krr , = t11+t22+trr L(1,2,r) ,任取 a, bP, a+ b= (ak1+bt1)+ (akr+btr) L(1,2,r) L(1,2,r)是V的一个子空间. l 例题证明给出如下性质：V的一个子空间若包含向量1,2,r ，则包含1,2,r 的一切线性组合，即包含L(1,2,r)为其子空间.l 例题结论引出如下概念：2.补充定义补充定义：设1, 2, , rV (V是数域P上的线性空间), 称子空3.间 L(1, 2, , r) 为 V 的由由1, 2, , r 生成的的子空间生成的的子空间； 而4.1, 2, , r称为该生成子空间的生成元生成元.47课件高等代数6线性空间二二. 子空间的性质子空间的性质48课件高等代数6线性空间49课件高等代数6线性空间50课件高等代数6线性空间6.6 子空间的交与和51课件高等代数6线性空间一一. 子空间的交子空间的交定理定理5 V1，V2是是V的子空间的子空间 V1V2是是V的子空间的子空间 证明证明： 0 V1，V2 0 V1V2 V1V2是V的非空子集. 对任意的, V1V2 , V1，V2 对任意的a,bP , a+b V1，V2 a+b V1V2 , 即 V1V2 是 V 的子空间 . l 由于集合的交运算满足交换律，结合律 子空间的交满足交换律，结合律 线性空间V的s个子空间的交仍是V的子空间，并可表示为： V1V2Vs = .l 一般讲，子空间的并 V1V2 不一定是V的子空间.52课件高等代数6线性空间例例： 二维平面V2中，W=x轴，V=y轴均为V的子空间.如下图所示，向量1W，2V，但1+2却不在WV中.二二. 子空间的和子空间的和定义定义8 V1，V2是V 的子空间，V的如下子集V1+V 2称为V1与V2的和. V1+ V 2= 1+21V1，2V2 y V2 1 1 x53课件高等代数6线性空间定理定理6 V1+V2是V的子空间.54课件高等代数6线性空间三三. 基本性质基本性质55课件高等代数6线性空间 V3 v1 V2 V3 v1 V2 V3 v1 V2例例1 三维几何空间V3中，V1：过原点的直线；V2：过原点且与V1垂直的平面（如图），则V1V2=0，V1 + V2 =V3 .56课件高等代数6线性空间57课件高等代数6线性空间例例3 在线性空间在线性空间V中，有以下公式成立：中，有以下公式成立：L(1 , , s)+L(1 , , t)=L(1, ,s ,1 ,t)58课件高等代数6线性空间四.维数公式定理定理7 设设V1， V2 是是V的子空间，则的子空间，则dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 V2 )59课件高等代数6线性空间V1 + V2 V11,n1-m V1V2 V2 1 ,2,m 1, , n2-m 60课件高等代数6线性空间61课件高等代数6线性空间l 由维数公式可知，子空间和的维数要比维数的和小。例如：V3中，两张通过原点的不同平面之和是整个三维空间V3，而其维数之和是4，由此说明这两张平面的交是一维的直线。 推论推论： dimV1 + dimV2 n；dimV=n, 则 V1V20证明证明： 据题设及维数公式， dim(V1 + V2 )+dim(V1 V2 ) = dimV1 + dimV2 n. 因为V1 +V2是V的子空间，故 dim(V1 +V2 )n dim(V1V2)0 V1V20. 62课件高等代数6线性空间6.7 子空间的直和63课件高等代数6线性空间一一 子空间直和的概念子空间直和的概念 64课件高等代数6线性空间二. 子空间的直和的性质65课件高等代数6线性空间66课件高等代数6线性空间67课件高等代数6线性空间三. 直和概念的推广及性质68课件高等代数6线性空间6.8 线性空间的同构69课件高等代数6线性空间一一 线性空间同构的概念线性空间同构的概念定义定义1 设V，V/是数域P上的线性空间，：VV/称为同构映射，并记VV/ ，如果 1) 是V到V/的双射； 2) 对任意的,V，(+)=()+()； 3) 对任意的kP,V, (k)=k().l 2), 3)的意义是保持运算不变，即“和的像等于像的和；数乘的像等于像的数乘”。其几何意义如图示：70课件高等代数6线性空间 V V/ () () ()=()+()71课件高等代数6线性空间 P P k () k (k)= k()72课件高等代数6线性空间73课件高等代数6线性空间74课件高等代数6线性空间二二. 线性空间的性质线性空间的性质75课件高等代数6线性空间76课件高等代数6线性空间77课件高等代数6线性空间78课件高等代数6线性空间79课件高等代数6线性空间80课件高等代数6线性空间81课件高等代数6线性空间82课件高等代数6线性空间0 P P2 P n-1 Pn 线性空间全体83课件