人教版义务教育教科书人教版义务教育教科书数学九年级下册介绍数学九年级下册介绍新中国教育出版事业从这里开始新中国教育出版事业从这里开始人民教育出版社中学数学室人民教育出版社中学数学室人教社初中数学培训专家团人教社初中数学培训专家团北京市朝阳区教育研究中心北京市朝阳区教育研究中心 万书河万书河 wanshuhe126.com注重数学的整体性 提升系统思维水平一、关于数学的整体性整体是事物的一种真实存在形式。数学是一个整体。数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上纵向联系、横向联系。学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。数学九年级下册章 名课 时第二十六章 反比例函数8课时第二十七章 相似 14课时第二十八章 锐角三角函数12课时第二十九章 投影与视图10课时（一）内容安排（一）内容安排（二）编写时考虑的几个问题（二）编写时考虑的几个问题（三）对教学的几个建议（三）对教学的几个建议分章介绍第第二十六二十六章章 反比例函数反比例函数26.1 反比例函数反比例函数 3课时26.2 实际问题与反比例函数与反比例函数 4课时数学活数学活动小小结 1课时本章包括反比例函数的概念、本章包括反比例函数的概念、图象及象及其性其性质，实际问题与反比例函数与反比例函数。本章本章首先从首先从现实世界中具有反比例关世界中具有反比例关系的系的实例出例出发，从函数角度描述反比，从函数角度描述反比例关系，再次例关系，再次经历用函数研究用函数研究变化化规律的律的过程，程，认识反比例函数反比例函数 （k为常常数，数，k0）中两个）中两个变量量x，y之之间的依的依赖关系：在关系：在变量量y随随变量量x的变化而变的变化而变化的过程中化的过程中它们它们的的积xy始始终保持不保持不变（xy=k）；然后用）；然后用“描点描点”法画出法画出反比例函数的反比例函数的图象，象，观察察图象并象并结合解析式，得出反比例函数的性合解析式，得出反比例函数的性质；最后运用反比例函数解决最后运用反比例函数解决简单的的实际问题。一、一、内容安排内容安排1. 本章知识结构框图本章知识结构框图2. 内容概述内容概述基础：基础：函数的概念、函数的表示方函数的概念、函数的表示方法以及反比例法以及反比例关系关系研究方法：类比研究方法：类比正比例正比例函数、一次函数、一次函数和二次函数的研究方法函数和二次函数的研究方法章引言章引言26. 1 反比例反比例函数函数概念、图象和概念、图象和性质性质反比例反比例函数的函数的解析式解析式由常数由常数k唯一唯一确定确定通过通过描点画图，得出其图象，然后通过图描点画图，得出其图象，然后通过图象，并结合解析式研究其象，并结合解析式研究其性质性质k0，k0时的情形。的情形。对k0，先研究具，先研究具体的体的k=6，12时反比例函数的反比例函数的图象，然后象，然后归纳得到得到k0时反比例函数的反比例函数的图象特征和象特征和性性质：图象是双曲象是双曲线；图象分象分别位于第一、位于第一、第三象限；在每一个象限内，第三象限；在每一个象限内，y随的随的x增大增大而减小而减小。然后然后类比比k0的情形，研究的情形，研究k0的的情形情形。横向联系横向联系物理物理背景背景路程、速度与时间，电流、电阻与电压，路程、速度与时间，电流、电阻与电压，电功率、电流和电阻，压力、面积与压强电功率、电流和电阻，压力、面积与压强等之间的关系，这些具有反比例关系的物等之间的关系，这些具有反比例关系的物理问题是反比例函数研究的重要内容理问题是反比例函数研究的重要内容。“a=bc”型数量关系的物理问题，我们都可型数量关系的物理问题，我们都可以从正比例函数和反比例函数的角度去认以从正比例函数和反比例函数的角度去认识它们。识它们。数形结合数形结合从从图象上可以观察函数的变化规律，整体图象上可以观察函数的变化规律，整体上把握函数的性质，但是难以深入局部和上把握函数的性质，但是难以深入局部和细节。而解析式可以对函数的性质进行无细节。而解析式可以对函数的性质进行无限限“解读解读”，但很抽象，不直观，但很抽象，不直观。 “数缺形时少直观，形少数时难入微；数形数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，一朝分家万事休结合百般好，一朝分家万事休”三、对本章教学的建议三、对本章教学的建议1. 从从变量角度量角度进一步加深一步加深对函数的函数的认识 函数函数定义突出了变化与对应思想，其内定义突出了变化与对应思想，其内涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时另一个变量也发生变化；函数值与自变量之另一个变量也发生变化；函数值与自变量之间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯一确定一确定。 函数函数的内涵非常丰富，与数、式、方程的内涵非常丰富，与数、式、方程等联系非常等联系非常紧密紧密。2.增减增减性、性、渐近性和近性和对称性称性我们我们只研究增减性。增减性是基本要求，必只研究增减性。增减性是基本要求，必须掌握。须掌握。渐近性是指双曲线在其所在象限与坐标轴越渐近性是指双曲线在其所在象限与坐标轴越来越近，但永远不与它们相交来越近，但永远不与它们相交；对称性对称性是指双曲线关于直线是指双曲线关于直线y=x对称，关于对称，关于原点中心对称原点中心对称；相对相对于原点的位置是指当于原点的位置是指当k取不同值时，双曲取不同值时，双曲线相对于原点位置的线相对于原点位置的远近。远近。27.1 图形的相似图形的相似 2课时课时27.2 相似三角形相似三角形 7课时课时27.3 位似位似 3课时课时数学活动数学活动小结小结 2课时课时第二十七章 相似（一）内容安排知识结构相似多边形相似多边形相似三角形相似三角形相似图形相似图形应用应用相似三角形相似三角形的判定的判定相似三角形相似三角形的性质的性质位似图形位似图形1.相似相似多边形多边形的的性质性质由由其其定义定义直接直接推出推出2.“27.2 相似三角形相似三角形”按照按照“判定判定性质性质应用应用”的的顺序顺序展开展开3.在讲在讲相似三角形相似三角形的性质前加强引导的性质前加强引导（一）内容安排主要变化相似多边形的相似多边形的性质性质由由其其定义直接推出定义直接推出 主要变化举例过去过去主要变化举例现在现在 按照按照“判定判定性质性质应用应用”的的顺序研究相似三角形顺序研究相似三角形 主要变化举例过去过去现在现在主要变化举例讲讲相似三角形相似三角形的性质前加强引导的性质前加强引导 过去过去现在现在重点：重点：三角形三角形相似相似的判定的判定和性质和性质难点：难点：相似三角形判定定理的相似三角形判定定理的证明证明思想方法：研究几何问题的基本思路和方法思想方法：研究几何问题的基本思路和方法 （一）内容安排重点、难点和 思想方法注意渗透研究几何图形的基本套路，体现公理注意渗透研究几何图形的基本套路，体现公理化思想化思想 按照从按照从一般到特殊的一般到特殊的顺序呈现顺序呈现研究研究对象对象 按照按照“判定判定性性质应用用”的的顺序研究相似三角形序研究相似三角形 由由相似相似多边形多边形的的定义定义直接推出直接推出相似三角形的性质相似三角形的性质 在在讲讲相似三角形相似三角形的性质前加强引导的性质前加强引导（二）编写时考虑的几个问题之一“重视渗透研究几何图形的基本套路，体现公理化思想”举例按照从一般到特殊的顺序呈现研究对象按照从一般到特殊的顺序呈现研究对象相似图形相似图形相似多边形相似多边形相似形的相似形的现实模型现实模型相似三角形相似三角形判定判定性质性质应用应用重视培养学生的推理论证重视培养学生的推理论证能力能力 继续继续运用运用直观操作和逻辑推理相结合的方式直观操作和逻辑推理相结合的方式研究研究 几何图形几何图形 加强加强证明思路的引导证明思路的引导（二）编写时考虑的几个问题之二继续运用继续运用直观操作和逻辑推理相结合的直观操作和逻辑推理相结合的方式研究方式研究几何图形几何图形“重视培养学生的推理论证能力”举例类比类比猜想猜想实验实验验证验证推理推理证明证明加强证明思路的引导加强证明思路的引导“重视培养学生的推理论证能力”举例加强证明思路的引导加强证明思路的引导“重视培养学生的推理论证能力”举例“三边三边”情况情况“两边两边和夹角和夹角”情况情况（二）编写时考虑的几个问题之三加强知识间的加强知识间的联系联系 相似相似图形与全等图形之间是一种一般与特殊的关系，图形与全等图形之间是一种一般与特殊的关系，教科书在编排相似内容时将其看成全等内容的拓展与延伸教科书在编排相似内容时将其看成全等内容的拓展与延伸，通过类比全等的内容来展开相似的研究内容通过类比全等的内容来展开相似的研究内容章引言类比章引言类比“全等三角形全等三角形”一章研究的主要内容，一章研究的主要内容，提出本章要研究的主要问题提出本章要研究的主要问题“加强知识间的联系”举例类比判定三角形全等的类比判定三角形全等的SSSSSS，SASSAS，HLHL方法，让学方法，让学生分别从三边、两边和夹角、斜边和一条直角边生分别从三边、两边和夹角、斜边和一条直角边的角度来寻求判定三角形相似的简捷方法的角度来寻求判定三角形相似的简捷方法“加强知识间的联系”举例在在章小结中，章小结中，总结本章的总结本章的研究思路研究思路“加强知识间的联系”举例相似三角形判定定理的证明中体现的联系相似三角形判定定理的证明中体现的联系“加强知识间的联系”举例相似三角相似三角形的判定形的判定定理定理平行线分平行线分线段成比线段成比例的基本例的基本事实事实边对应成比例边对应成比例平行于三角形一边平行于三角形一边的直线截其他两边的直线截其他两边（或两边的延长线）（或两边的延长线），所得的对应线段，所得的对应线段成比例成比例平行于三角形一边平行于三角形一边的直线和其他两边的直线和其他两边相交，所构成的三相交，所构成的三角形与原三角形相角形与原三角形相似似应应用用到到三三角角形形中中证明证明引引理理（二）编写时考虑的几个问题之四注意注意联系实际联系实际相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中有着广泛的应用，能直接例子，相似图形的性质在实际中有着广泛的应用，能直接应用相似三角形判定和性质的实例也很多应用相似三角形判定和性质的实例也很多“注意联系实际”举例（三）对教学的几个建议之一在几何教学中坚持渗透研究几何图形的基本套路在几何教学中坚持渗透研究几何图形的基本套路教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验，用研教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验，用研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学究几何图形的基本套路贯穿全章的教学类比对全等三角形研究的主要内容，提出对形状相同、类比对全等三角形研究的主要内容，提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法，构建大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法，构建本章内容的基本线索，使学生对将学习的内容做到心中本章内容的基本线索，使学生对将学习的内容做到心中有数有数在教学相似三角形的性质之前，可以先让学生自己发现在教学相似三角形的性质之前，可以先让学生自己发现性质，再给出证明性质，再给出证明（三）对教学的几个建议之二进一步培养学生的推理论证能力进一步培养学生的推理论证能力 教学时应注意帮助学生复习已有的知识，做到以新带教学时应注意帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧、新旧结合；也要注意以具体问题为载体，加强证旧、新旧结合；也要注意以具体问题为载体，加强证明思路的引导，帮助学生确定证明的关键环节，指导明思路的引导，帮助学生确定证明的关键环节，指导学生写出完整的证明过程同时注意根据教学内容及学生写出完整的证明过程同时注意根据教学内容及时安排相应的训练，让学生能够逐步达到独立分析、时安排相应的训练，让学生能够逐步达到独立分析、完成证明完成证明（三）对教学的几个建议之三注意把握好教学要求注意把握好教学要求 教学中应该注意把握好不同内容的教学要求，突出本章的教学中应该注意把握好不同内容的教学要求，突出本章的重点内容重点内容只需在小学数学的基础上给出线段成比例的概念，让学只需在小学数学的基础上给出线段成比例的概念，让学生理解它的基本含义即可生理解它的基本含义即可不应过多涉及平行线分线段成比例的基本事实的应用，不应过多涉及平行线分线段成比例的基本事实的应用，主要由它来推出判定三角形相似的第一种判定方法主要由它来推出判定三角形相似的第一种判定方法对于本章的重点内容，不应该满足于对于本章的重点内容，不应该满足于“探索探索”，应该让，应该让学生证明相似三角形的性质定理，让学有余力的学生证学生证明相似三角形的性质定理，让学有余力的学生证明相似三角形的判定定理明相似三角形的判定定理281 锐角三角函数锐角三角函数 约约6课时课时282 解直角三角形及应用解直角三角形及应用 约约4课时课时数学活动数学活动 小结小结 约约2课时课时第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数一、内容安排一、内容安排知识结构图知识结构图1.1.进一步加强进一步加强“双基双基”基础知识、基本技能。基础知识、基本技能。2.2.章章小结小结中加强对本章知识的梳理，突出与相关中加强对本章知识的梳理，突出与相关内容的联系内容的联系。3.3.调整章节结构调整章节结构, ,使脉络更清晰。使脉络更清晰。4.4.将原教材正文中将原教材正文中“山坡的高度山坡的高度”的内容改写成的内容改写成“阅读与思考阅读与思考 山坡山坡的高度的高度”。 一、内容安排一、内容安排主要变化主要变化进一步进一步加强加强“双基双基”基础知识、基本基础知识、基本技能技能加强基本概念的巩固、应用加强基本概念的巩固、应用加强基本技能的训练加强基本技能的训练章章小结小结中加强对本章知识的梳理，突出与相关内中加强对本章知识的梳理，突出与相关内容的联系容的联系 梳理知识梳理知识 突出与相关内容的联系突出与相关内容的联系请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧 调整调整章节结构章节结构, ,使脉络更使脉络更清晰清晰修改原教材的修改原教材的“28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形”的标题，并拆的标题，并拆分成两小节：分成两小节：28.2 28.2 解直角三角形及应用解直角三角形及应用28.2.1 28.2.1 解直角三角形解直角三角形28.2.2 28.2.2 应用举例应用举例将原教材正文中将原教材正文中“山坡的高度山坡的高度”的内容改写成的内容改写成“阅读与思考阅读与思考 山坡的高度山坡的高度”重点：重点：锐角锐角三角函数三角函数的概念、解直角三角形及其简的概念、解直角三角形及其简单应用单应用难点：难点：锐角三角函数定义的合理性锐角三角函数定义的合理性、锐角三角函数锐角三角函数的符号表示、综合运用锐角三角函数等知识的符号表示、综合运用锐角三角函数等知识解直角解直角三角形三角形思想方法：思想方法：锐角三角函数锐角三角函数定义过程定义过程中中从从特殊到一般特殊到一般的的方法方法，利用，利用解直角三角形知识解直角三角形知识解决实际解决实际问题时的问题时的模型思想与方法。模型思想与方法。 一、内容安排一、内容安排重点、难点和思想方法重点、难点和思想方法1 1创设情境创设情境，引入核心，引入核心内容内容 数学数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要为了体现的发展来源于实际需要或数学内部的需要为了体现本章核心知识的自然性以及学习它们必要性，本章注意本章核心知识的自然性以及学习它们必要性，本章注意从实际从实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入 二、编写时考虑的几个问题二、编写时考虑的几个问题实际问题实际问题案例：如何案例：如何引出本章的主要内容引出本章的主要内容 章引言从比萨斜塔纠偏的实际问题出发，研究用塔身中章引言从比萨斜塔纠偏的实际问题出发，研究用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度的心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度的问题问题，引出本章所要研究的主要内容引出本章所要研究的主要内容。引出本章所要研究的主要内容引出本章所要研究的主要内容案例案例：引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式 从从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节题，也是关键环节 在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论“在直角在直角三角形中，三角形中， 角所对的边是斜边的一半角所对的边是斜边的一半”，其等价形式为，其等价形式为“在在直角三角形中，直角三角形中， 角所对的边与斜边的比总是常数角所对的边与斜边的比总是常数 ”，后者，后者反映了直角三角形中反映了直角三角形中 角和该角的对边与斜边的比之间的对应角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系关系。 由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式案例：案例：引出解直角三角形的内容引出解直角三角形的内容 在在“28.2.1解直角三角形解直角三角形”的开始部分，教的开始部分，教科书回去解决章引言中比萨斜塔的倾斜程度的问科书回去解决章引言中比萨斜塔的倾斜程度的问题，这个问题实际上是已知直角三角形的两边求题，这个问题实际上是已知直角三角形的两边求其锐角，它属于解直角三角形的范畴，由此比较其锐角，它属于解直角三角形的范畴，由此比较自然地引出解直角三角形的内容自然地引出解直角三角形的内容2. 加强知识间的联系加强知识间的联系加强加强锐角锐角三角函数与三角函数与相似三角形的联系相似三角形的联系相似三角形相似三角形的性质是锐角三角函数概念的基础，只有利用的性质是锐角三角函数概念的基础，只有利用“相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边成比例”才能得到锐角三角函数定才能得到锐角三角函数定义的合理性，教科书在给出锐角三角函数定义的过程中充义的合理性，教科书在给出锐角三角函数定义的过程中充分利用了这种联系性分利用了这种联系性 加强加强解直角三角形解直角三角形与与全等的判定全等的判定、勾股定理勾股定理等等的联系的联系加加强强解直角三角形解直角三角形与直角三角形与直角三角形全全等的等的判定判定定理的联系定理的联系直角三角形直角三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，它全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，它对全面、深入地理解解直角三角形有着极其重要的作用对全面、深入地理解解直角三角形有着极其重要的作用加强加强解直角三角形解直角三角形与勾股定理等的联系与勾股定理等的联系关系：关系：有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个锐角互余以及勾股定理，就可进一步地由这两个元锐角互余以及勾股定理，就可进一步地由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形可见，解直角三角形与直角三角形全等的判定形可见，解直角三角形与直角三角形全等的判定定理、勾股定理等已学知识有着密切的联系从联定理、勾股定理等已学知识有着密切的联系从联系的角度看待数学知识，对我们更深入地理解相关系的角度看待数学知识，对我们更深入地理解相关知识，提高综合应用能力等都很有帮助知识，提高综合应用能力等都很有帮助 3 3加强探究性，发展学生的思维能力加强探究性，发展学生的思维能力本章编写时，对一些在重要知识点或关键环节，除继续保持本章编写时，对一些在重要知识点或关键环节，除继续保持原教科书中通过设置原教科书中通过设置“思考思考”“探究探究”“归纳归纳”等栏目，提等栏目，提供学生探索交流的空间，发展学生的思维能力外，注意结合供学生探索交流的空间，发展学生的思维能力外，注意结合本章内容的特点，并考虑到学生的年龄特征（学习本章内容本章内容的特点，并考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书在设的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书在设置一些探究性活动栏目后，直接给出探究的结论，而将结论置一些探究性活动栏目后，直接给出探究的结论，而将结论的探索过程完全留给学生，以进一步加大学生思维力度和探的探索过程完全留给学生，以进一步加大学生思维力度和探索的空间，而不像前两个年级那样，通过填空、留白等方式索的空间，而不像前两个年级那样，通过填空、留白等方式提供探索线索，引导学生进行探究提供探索线索，引导学生进行探究例如，教科书在详细研究了锐角的正弦、给出概念之后，例如，教科书在详细研究了锐角的正弦、给出概念之后，通过一个通过一个“探究探究”栏目提出问题：栏目提出问题：“在直角三角形中，当在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比随之确定那么，一个锐角确定时，它的对边与斜边的比随之确定那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？”接着，接着，教科书直接给出锐角的余弦、正切概念，而将教科书直接给出锐角的余弦、正切概念，而将“邻边与斜邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是确定的边的比、对边与邻边的比都是确定的”这个结论的探究过这个结论的探究过程完全留给学生自己完成程完全留给学生自己完成再如，对于再如，对于 这几个特殊角的三角函数这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个值，教科书也是首先设置一个“探究探究”栏目，在栏目，在栏目中提出问题：栏目中提出问题：“两块三角尺中有几个不同的两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值分锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少？别是多少？”然后用一个表格直接给出了这几个然后用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将求这些角的三角函数特殊角的三角函数值，而将求这些角的三角函数值的过程留给学生完成值的过程留给学生完成又如，又如，对于解直角三角形，教科书通过一个对于解直角三角形，教科书通过一个“探究探究”栏目栏目提出问题：提出问题：“（1）在直角三角形中，除直角以外的五个）在直角三角形中，除直角以外的五个元素之间有哪些关系？（元素之间有哪些关系？（2）知道五个元素中的几个，就）知道五个元素中的几个，就可以求其他元素了？可以求其他元素了？”将这个栏目中真正需要探究的第二将这个栏目中真正需要探究的第二问的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、问的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称（其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称“知二求三知二求三”）；进而给出）；进而给出“知二求三知二求三”解直角三角形的解直角三角形的例题示范；并安排相当数量的例题示范；并安排相当数量的“知二求三知二求三”解直角三角形解直角三角形的练习题和习题，使学生对的练习题和习题，使学生对“知二求三知二求三”的可行性以及具的可行性以及具体求解方法有充分体验，获得较多的感性认识；体求解方法有充分体验，获得较多的感性认识；最后在章小结中提出问题：最后在章小结中提出问题：“两个直角三角形全等，两个直角三角形全等，要具备什么条件？为什么已知一条边和一个锐角，或要具备什么条件？为什么已知一条边和一个锐角，或两条边，就能解这个直角三角形？你能根据不同的已两条边，就能解这个直角三角形？你能根据不同的已知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的解直角三角形的方法吗解直角三角形的方法吗”让学生进一步思考直角三角让学生进一步思考直角三角形中能形中能“知二求三知二求三”的理论依据，并对的理论依据，并对“知二求三知二求三”的具体方法进行分类梳理，从而对解直角三角形的认的具体方法进行分类梳理，从而对解直角三角形的认识全面升华为理性的程度识全面升华为理性的程度4. 加强与实际的联系，体现建模思想加强与实际的联系，体现建模思想锐角三角函数和解直角三角形是紧密联系的，锐锐角三角函数和解直角三角形是紧密联系的，锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力的工具，它与实际联系紧密因此本章编写时，的工具，它与实际联系紧密因此本章编写时，注意加强与实际的联系注意加强与实际的联系例如例如，第，第28.1节利用确定山坡上所铺设的水管的长度问节利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出锐角的正弦；第题引出锐角的正弦；第28.2节结合确定萨斜塔倾斜程度节结合确定萨斜塔倾斜程度问题引出解直角三角形的内涵和方法等问题引出解直角三角形的内涵和方法等再如，教科书通过丰富有趣的具有实际背景的例题和再如，教科书通过丰富有趣的具有实际背景的例题和习题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的习题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用教科书这样将锐角三角函数和解直角三角广泛应用教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我你中有我，我中有你中有你”的格局，一方面，可以让学生体会锐角三角的格局，一方面，可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要；另一方面，也让学生看到它们在解决实际问题中要；另一方面，也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用；再者，通过解决实际问题的过程：先把所起的作用；再者，通过解决实际问题的过程：先把实际问题抽象出数学问题，再解决数学问题得到数学实际问题抽象出数学问题，再解决数学问题得到数学问题的答案，最后将数学问题的答案回到实际问题，问题的答案，最后将数学问题的答案回到实际问题，使学生进一步体验数学模型思想和数学建模过程，培使学生进一步体验数学模型思想和数学建模过程，培养应用意识，发展他们的数学抽象能力，以及分析问养应用意识，发展他们的数学抽象能力，以及分析问题、解决问题能力题、解决问题能力.三、对教学的几个建议三、对教学的几个建议1 1. . 加强探究加强探究过程，揭示概念的内涵过程，揭示概念的内涵本章本章的一个重要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的一个重要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，教学中应按教科书提供的思路，让学生充分经历实的概念，教学中应按教科书提供的思路，让学生充分经历实际问题引入际问题引入研究特殊直角三角形研究特殊直角三角形研究一般直角三角研究一般直角三角形形给出锐角的正弦概念的定义过程，在探究直角三角形给出锐角的正弦概念的定义过程，在探究直角三角形中锐角的对边与斜边之比的不变性上下足功夫中锐角的对边与斜边之比的不变性上下足功夫这样这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值与邻边之比，它们分别都是确定的值特别需要指出的是，在理解锐角三角函数特别需要指出的是，在理解锐角三角函数的内涵时，要淡化其的内涵时，要淡化其“函数味函数味”，只要点，只要点出出“对于锐角对于锐角A的每一个确定的值，的每一个确定的值，sinA有有唯一确定的值与它对应，所以唯一确定的值与它对应，所以sinA是是A的函的函数同样地，数同样地，cosA，tanA也是也是A的函数的函数”即可即可2 2加强能力培养与训练加强能力培养与训练应用锐角三角函数等有关知识解直角三角形及其相关的实应用锐角三角函数等有关知识解直角三角形及其相关的实际问题是锐角三角函数教学的核心任务，也是培养学生分际问题是锐角三角函数教学的核心任务，也是培养学生分析问题、解决问题能力的重要载体解直角三角形时，需析问题、解决问题能力的重要载体解直角三角形时，需要根据已知条件的特点，选择恰当的锐角三角函数，并综要根据已知条件的特点，选择恰当的锐角三角函数，并综合运用勾股定理等直角三角形的有关知识加以解决，具有合运用勾股定理等直角三角形的有关知识加以解决，具有一定的灵活性和综合性，初学阶段，学生往往不易找到解一定的灵活性和综合性，初学阶段，学生往往不易找到解决问题的思路，特别是选不准具体的锐角三角函数，且易决问题的思路，特别是选不准具体的锐角三角函数，且易发生计算错误发生计算错误；应用锐角三角函数等有关知识解决实际问题，对应用锐角三角函数等有关知识解决实际问题，对数学建模能力、推理能力、运算求解能力都有较数学建模能力、推理能力、运算求解能力都有较高的要求教学中，应注意让学生理解解直角三高的要求教学中，应注意让学生理解解直角三角形的基本原理；在此基础上，通过例题示范和角形的基本原理；在此基础上，通过例题示范和必要的练习等形式使学生切实提高推理能力、运必要的练习等形式使学生切实提高推理能力、运算能力、数学建模能力；但也要把握好度，控制算能力、数学建模能力；但也要把握好度，控制好难度和广度，不能把锐角三角函数的教学变成好难度和广度，不能把锐角三角函数的教学变成题型教学题型教学3. 3. 发挥计算器的作用发挥计算器的作用本章教学中，应认真落实课程标准中本章教学中，应认真落实课程标准中“会使用计算器会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角它的对应锐角”的要求，使学生掌握用计算器进行计的要求，使学生掌握用计算器进行计算的技能这样，一方面，可以使学生的学习重心更算的技能这样，一方面，可以使学生的学习重心更好地集中在理解锐角三角函数的概念、掌握解直角三好地集中在理解锐角三角函数的概念、掌握解直角三角形的原理与方法以及建立实际问题的数学模型等核角形的原理与方法以及建立实际问题的数学模型等核心内容上；另一方面，课程标准中心内容上；另一方面，课程标准中“解直角三角形解直角三角形”“解决一些简单实际问题解决一些简单实际问题”的要求才能真正得到落的要求才能真正得到落实实4 4注意数形结合注意数形结合锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系锐角三角函数具有鲜明的几都与图形有着密切的联系锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是锐角，函数值是直角三角形中两条何意义，其自变量是锐角，函数值是直角三角形中两条边的比值，因此本章内容是体现数形结合的好载体边的比值，因此本章内容是体现数形结合的好载体例如例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，对直角三角形的认识（在直角三角形中， 角所对的边角所对的边等于斜边的一半，有一个锐角为等于斜边的一半，有一个锐角为 的直角三角形是等腰的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的应用，再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的应用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，也离不开几何图形，这时角函数解直角三角形时，也离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决际问题得到解决因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论证、化简计算、解决实际问题时，都概念、推理论证、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，使画图成为本章教学中关形的边、角之间的关系，使画图成为本章教学中关注的目标注的目标第二十九章第二十九章 投影与视图投影与视图29.1 29.1 投影投影 2 2课时课时29.2 29.2 三视图三视图 4 4课时课时29.3 29.3 课题课题学习学习 制作立体模型制作立体模型 2 2课时课时阅读与思考阅读与思考 视图的产生与应用视图的产生与应用数学数学活动活动小结小结 2 2课时课时一、内容安排一、内容安排知识结构知识结构本章主要本章主要变化变化 删除有关删除有关“带窟窿带窟窿”的几何体的的几何体的问题问题小结小结增加本章的主要内容及其反映的思想方增加本章的主要内容及其反映的思想方法的提炼与概括的内容。法的提炼与概括的内容。二、编写二、编写时考虑时考虑的问题的问题1. 重视重视结合实际例子讨论问题，在直观结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律认识的基础上归纳基本规律 在在本本章章之之前前，学学生生已已经经接接触触过过视视图图的的内内容容，对对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解。投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解。 本本章章要要在在学学生生已已有有的的有有关关投投影影和和视视图图的的初初步步感感性性认认识识的的基基础础上上，适适当当引引入入基基本本概概念念，归归纳纳基基本本规规律，使认识水平再次提升。律，使认识水平再次提升。 在在初中投影和视图内容的教学不可能完全初中投影和视图内容的教学不可能完全从理论角度深入进行，而应该借助直观模型的从理论角度深入进行，而应该借助直观模型的作用，作好由感性认识到理性认识的过渡，比作用，作好由感性认识到理性认识的过渡，比较通俗易懂地介绍一些基本概念、基本原理较通俗易懂地介绍一些基本概念、基本原理（规律）。（规律）。 投影投影平行投影平行投影中心投影中心投影三视图三视图在观察基础上归纳基本规律在观察基础上归纳基本规律长对正长对正高平齐高平齐宽相等宽相等2. 2. 重视重视平面图形与立体图形的联系，重平面图形与立体图形的联系，重在培养空间想象能力在培养空间想象能力 本章从投影的角度对如何用三视图这样的本章从投影的角度对如何用三视图这样的平面图形来表示三维立体图形进行进一步平面图形来表示三维立体图形进行进一步讨论，这有助于将学生对于图形已有的认讨论，这有助于将学生对于图形已有的认识加以提高，增强将平面图形与立体图形识加以提高，增强将平面图形与立体图形相互转化的能力，从而进一步培养空间想相互转化的能力，从而进一步培养空间想象能力。象能力。 由物体产生投影是将立体图形转化为平面由物体产生投影是将立体图形转化为平面图形的过程。从映射角度看，这是从三维空间图形的过程。从映射角度看，这是从三维空间到二维平面的映射。物体是原像，其投影是影到二维平面的映射。物体是原像，其投影是影射后的像，原像与像存在对应关系，正投影的射后的像，原像与像存在对应关系，正投影的规则就是一种映射规则。规则就是一种映射规则。 反之，由三视图想出相应物体形状，是由反之，由三视图想出相应物体形状，是由平面图形得到相应立体图形的过程。平面图形得到相应立体图形的过程。 第第29.229.2节的两类主要问题：节的两类主要问题：1.1.画三视图画三视图2.2.由三视图得出立体图形由三视图得出立体图形 立体图形立体图形 平面图形平面图形发展学生的空间想象能力。发展学生的空间想象能力。三、对教学的几个建议三、对教学的几个建议1 1教教学学中中应应重重视视借借助助直直观观模模型型，帮帮助助学学生克服立体几何知识的不足生克服立体几何知识的不足 重重视视相相关关内内容容与与实实际际的的联联系系，在在不不刻刻意意追追求求对对抽抽象象概概念念有有透透彻彻理理解解的的前前提提下下，选选择择一一些些实实例例，利利用用直直观观的的、感感性性的的认认识识，使使学学生生能能结结合合例例子子了了解解直直线线和和平平面面的的基基本本空空间间位位置置关关系系并并能能把把这这种种认认识识迁移到类似情形。迁移到类似情形。 正投影正投影涉及线面垂直的概念，教科书在此涉及线面垂直的概念，教科书在此处采用结合插图并使用处采用结合插图并使用“投影线正对着投影投影线正对着投影面面” 的通俗解释方式。的通俗解释方式。2.2.教学中应结合本章内容的特点，从教学中应结合本章内容的特点，从不同角度综合培养空间想象能力不同角度综合培养空间想象能力“由物画图由物画图”可以可以使人认识到立体图形的投影使人认识到立体图形的投影是什么样的是什么样的平面图形，平面图形，“由图想物由图想物”可以使人可以使人把相关的平面图形在头脑中综合成为相应的立把相关的平面图形在头脑中综合成为相应的立体图形。体图形。 两者两者又是互相联系的，投影规律在两类问题中又是互相联系的，投影规律在两类问题中都是考虑问题的依据。都是考虑问题的依据。 “由由物物画画图图”可可以以看看成成是是一一个个分分解解（或或不不同同角角度度分分析析）的的过过程程，而而“由由图图想想物物”是是一一个个综综合合的的过过程程。解解决决问问题题有有时时需需要要分分解解，有有时时需需要综合，有时需要两者结合。要综合，有时需要两者结合。 一一般般说说“由由物物画画图图”是是“由由图图想想物物”的的基基础础，只只有有认认识识了了视视图图所所表表示示的的意意思思，才才可可能能把把视图立体化。视图立体化。 学习本章内容时，动脑活动与动手活动相学习本章内容时，动脑活动与动手活动相结合是非常有效的，使学生经历观察、画图、结合是非常有效的，使学生经历观察、画图、想象、制作模型等认识过程是非常必要的。想象、制作模型等认识过程是非常必要的。 29.3 .3 课题学习：制作立体模型课题学习：制作立体模型四个活动四个活动托起绿色的希望