4.24.2 概率及其计算概率及其计算（第（第3 3课时）课时） 当一次试验要涉及当一次试验要涉及两个因素两个因素, ,并且可能并且可能出现的结果数目较多时出现的结果数目较多时, ,为了不重不漏的列出所为了不重不漏的列出所有可能的结果有可能的结果, ,通常采用通常采用列表法列表法. .一个因素所包含的可能情况一个因素所包含的可能情况 另另一个因一个因素所包素所包含的可含的可能情况能情况两个因素所组合的两个因素所组合的所有可能情况所有可能情况, ,即即n n 在所有可能情况在所有可能情况n n中中, ,再找到满足条件的事再找到满足条件的事件的个数件的个数m,m,最后代入公式计算最后代入公式计算. .列表法中表格构造特点列表法中表格构造特点: : 当一当一次试验中涉次试验中涉及及3 3个因素个因素或或更多的因素更多的因素时时, ,怎么办怎么办? ? 当一次试验中涉及当一次试验中涉及3 3个因素或更多的因素时个因素或更多的因素时, ,用列表法就不方便了用列表法就不方便了. .为了不重不漏地列出所有可能为了不重不漏地列出所有可能的结果的结果, ,通常采用通常采用“树形图树形图”. .树形图的画法树形图的画法: :一个试验一个试验第一个因素第一个因素第二个第二个第三个第三个 如一个如一个试验中涉及试验中涉及3 3个因个因素素, ,第一个因素中第一个因素中有有2 2种可能情况种可能情况; ;第第二个因素中有二个因素中有3 3种种可能的情况可能的情况; ;第三第三个因素中有个因素中有2 2种可种可能的情况能的情况, ,AB123123a b a b a b a b a b a b则其树形图如图则其树形图如图. .n=232=12n=232=12例例1 1 同时抛掷三枚硬币同时抛掷三枚硬币, ,求下列事件的概率求下列事件的概率: :(1) (1) 三枚硬币全部正面朝上三枚硬币全部正面朝上; ;(2) (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; ;(3) (3) 至少有两枚硬币正面朝上至少有两枚硬币正面朝上. .正正 反反 正正 反反 正正 反反 正正 反反正正反反正正反反正正反反抛掷硬币试验抛掷硬币试验解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,抛抛掷掷3 3枚硬币的结果有枚硬币的结果有8 8种种, ,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等. . P(A)P(A)(1)(1)满足三枚硬币全部正面朝满足三枚硬币全部正面朝上上( (记为事件记为事件A)A)的结果只有的结果只有1 1种种18= = P(B)P(B)38= =(2)(2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上币反面朝上( (记为事件记为事件B)B)的结果有的结果有3 3种种(3)(3)满足至少有两枚硬币正面朝满足至少有两枚硬币正面朝上上( (记为事件记为事件C)C)的结果有的结果有4 4种种 P(C)P(C)48= =12= =第第枚枚例例2.2.甲口袋中装有甲口袋中装有2 2个相同的小球个相同的小球, ,它们分别写有字母它们分别写有字母A A和和B;B;乙口袋中装有乙口袋中装有3 3个相同的小球个相同的小球, ,它们分别写有字母它们分别写有字母C. DC. D和和E;E;丙口袋中装有丙口袋中装有2 2个相同的小球个相同的小球, ,它们分别写有它们分别写有字母字母H H和和I,I,从从3 3个口袋中各随机地取出个口袋中各随机地取出1 1个小球个小球. .(2)(2)取出的取出的3 3个小球上全是个小球上全是辅音字母的概率是多少辅音字母的概率是多少? ?(1)(1)取出的取出的3 3个小球上个小球上, ,恰好有恰好有1 1个个,2,2个和个和3 3个元音字母的概率分别是多少个元音字母的概率分别是多少? ?取球试验取球试验甲甲乙乙丙丙ABCDECDEH I H I H I H IHI H I解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所所有可能的结果有有可能的结果有1212种种, ,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等. . P(P(一个元音一个元音)=)=(1)(1)只有只有1 1个元音字母结果有个元音字母结果有5 5个个512 P(P(两个元音两个元音)=)=有有2 2个元音字母的结果有个元音字母的结果有4 4个个41213= = P(P(三个元音三个元音)=)=全部为元音字母的结果有全部为元音字母的结果有1 1个个112 P(P(三个辅音三个辅音)=)=(2)(2)全是辅音字母的结果有全是辅音字母的结果有2 2个个16= =212AEEIIIIII 例例3.3.甲、乙、丙三人打乒乓球甲、乙、丙三人打乒乓球. .由哪两人先由哪两人先打呢打呢? ?他们决定用他们决定用 “ “石头、剪刀、布石头、剪刀、布”的游戏来决定的游戏来决定, ,游戏时三人每次做游戏时三人每次做“石头石头” “” “剪刀剪刀”“”“布布”三种手势三种手势中的一种中的一种, ,规定规定“石头石头” ” 胜胜“剪刀剪刀”, “, “剪刀剪刀”胜胜“布布”, “, “布布”胜胜“石头石头”. . 问一次比赛能淘汰一人的概率问一次比赛能淘汰一人的概率是多少是多少? ?石石剪剪布布石石游戏开始游戏开始甲甲乙乙丙丙石石石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布解解: : 由树由树形图可以看出形图可以看出, ,游戏的结果有游戏的结果有2727种种, ,它们出现的可能性相它们出现的可能性相等等. . 由规则可知由规则可知, ,一次能淘汰一人的结果应是一次能淘汰一人的结果应是:“:“石石石剪石剪” “” “剪剪布剪剪布” “” “布布石布布石”三类三类. . 而满足条件而满足条件( (记为事件记为事件A)A)的结果有的结果有9 9种种P(A)=P(A)=13= =927(1) (1) 列表法和树形图法的优点是什么列表法和树形图法的优点是什么? ? (2)(2)什么时候使用什么时候使用“列表法列表法”方便方便? ?什么时候使什么时候使用用“树形图法树形图法”方便方便? ?(1)(1)优点优点: :利用利用树形图树形图或或表格表格可以清晰地表示出可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果某个事件发生的所有可能出现的结果; ;从而较从而较方便地求出某些事件发生的概率方便地求出某些事件发生的概率. .(2)(2)当试验包含当试验包含两步两步时时, ,列表法列表法比较方便比较方便, ,当然当然, ,此时也可以用树形图法此时也可以用树形图法; ; 当试验在当试验在三步或三步以上三步或三步以上时时, ,用用树形图法树形图法方方便便. .1.1.经过某十字路口的汽车经过某十字路口的汽车, ,它可能继续直行它可能继续直行, ,也可能也可能向左转或向右转向左转或向右转, ,如果这三种可能性大小相同如果这三种可能性大小相同, ,当有当有三辆汽车经过这个十字路口时三辆汽车经过这个十字路口时, ,求下列事件的概率求下列事件的概率: :(1)(1)三辆车全部继续直行三辆车全部继续直行; ;(2)(2)两辆车向右转两辆车向右转, ,一辆车向左转一辆车向左转; ;(3)(3)至少有两辆车向左转至少有两辆车向左转. .所以所以19(1)(2)(3)1277272.2.用数字用数字1 1、2 2、3,3,组成三位数组成三位数, ,求其中恰有求其中恰有2 2个相同的个相同的数字的概率数字的概率. .1 2 31组数开始组数开始百位百位个位个位十位十位123123123231 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种, ,它它们出现的可能性相等们出现的可能性相等. .其中恰有其中恰有2 2个数字相同的结果有个数字相同的结果有1818个个. . P(P(恰有两个数字相同恰有两个数字相同)=)=182723= =4.4.把把3 3个不同的球任意投入个不同的球任意投入3 3个不同的盒子内个不同的盒子内( (每盒装球每盒装球不限不限),),计算计算: (1): (1)无空盒的概率无空盒的概率; (2); (2)恰有一个空盒的恰有一个空盒的概率概率. .1 2 3盒盒1投球开始投球开始球球球球球球123123123盒盒2盒盒31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种, ,它它们出现的可能性相等们出现的可能性相等. . P(P(无空盒无空盒)=)=(1)(1)无空盒的结果有无空盒的结果有6 6个个62729= =(2)(2)恰有一个空盒的结果有恰有一个空盒的结果有1818个个 P(P(恰有一个空盒恰有一个空盒)=)=182723= =