第第19讲讲全等三角形全等三角形 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 全等图形及全等三角形全等图形及全等三角形 全等全等图形形能能够完全重合的两个完全重合的两个图形就是形就是_全等全等图形的形状和形的形状和_完全相同完全相同全等三全等三角形角形能能够完全重合的两个三角形就是全等三完全重合的两个三角形就是全等三角形角形说明明完全重合有两完全重合有两层含含义：(1)(1)图形的形状相同；形的形状相同；(2)(2)图形的大小相形的大小相等等全等图形全等图形 大小大小第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 全等三角形的性质全等三角形的性质 性性质1 1全等三角形的全等三角形的对应边_性性质2 2全等三角形的全等三角形的对应角角_性性质3 3全等三角形的全等三角形的对应边上的高上的高_性性质4 4全等三角形的全等三角形的对应边上的中上的中线_性性质5 5 全等三角形的全等三角形的对应角平分角平分线_相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 考点考点3 3 全等三角形的判定全等三角形的判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦基本基本判判定方定方法法1.三条三条边对应相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等(简记为SSS)2.两个角和它两个角和它们的的夹边对应相等的两个三角形相等的两个三角形全等全等(简记为_ )3.两个角和其中一个角的两个角和其中一个角的对边对应相等的两个相等的两个三角形全等三角形全等(简记为_ )4.两条两条边和它和它们的的夹角角对应相等的两个三角形相等的两个三角形全等全等(简记为_ )5.斜斜边和一条直角和一条直角边对应相等的两个直角三角相等的两个直角三角形全等形全等(简记为_ )ASA AAS SAS HL 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展延拓展延伸伸满足下列条件的三角形是全等三角形：足下列条件的三角形是全等三角形：(1)有两有两边和其中一和其中一边上的中上的中线对应相等的两个三角形全等；相等的两个三角形全等；(2)有两有两边和第三和第三边上的中上的中线对应相等的两个三角形全等；相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；相等的两个三角形全等；(5)有两有两边和其中一和其中一边上的高上的高对应相等的相等的锐角角(或或钝角角)三角形三角形全等；全等；(6)有两有两边和第三和第三边上的高上的高对应相等的相等的锐角角(或或钝角角)三角形全三角形全等等总结判定三角形全等，无判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三哪种方法，都要有三组元素元素对应相等，相等，且其中最少要有一且其中最少要有一组对应边相等相等考点考点4 4 利用利用“尺规尺规”作三角形的类型作三角形的类型 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦1已知三角形的三已知三角形的三边，求作三角形，求作三角形2已知三角形的两已知三角形的两边及其及其夹角，求作三角角，求作三角形形3已知三角形的两角及其已知三角形的两角及其夹边，求作三角，求作三角形形4已知三角形的两角及其其中一角的已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形求作三角形5已知直角三角形一条直角已知直角三角形一条直角边和斜和斜边，求，求作三角形作三角形考点考点5 5 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦性性质角平分角平分线上的点到角两上的点到角两边的的_相等相等判定判定角的内部到角两角的内部到角两边的距离相等的距离相等的点在的点在这个角的个角的_上上距离距离 平分线平分线 第第19讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一全等三角形性质与判定的综合应用类型之一全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：命题角度：1. 利用利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；判定三角形全等；2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题例例1 2012重重庆 已知：如已知：如图191，ABAE，12，B E，求，求证：BCED.图图191第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例 1 1解决全等三角形解决全等三角形问题的一般思路：的一般思路：先用全等三先用全等三角形的性角形的性质及其他知及其他知识，寻求判定一求判定一对三角形全等的条三角形全等的条件；件；再用已判定的全等三角形的性再用已判定的全等三角形的性质去解决其他去解决其他问题即由已知条件即由已知条件( (包含全等三角形包含全等三角形) )判定新三角形全等、判定新三角形全等、相相应的的线段或角的关系；段或角的关系； 2 2轴对称、平移、旋称、平移、旋转前后的两个前后的两个图形全等；形全等； 3 3利用全等三角形性利用全等三角形性质求角的度数求角的度数时注意挖掘条件，注意挖掘条件，例如例如对顶角相等、互余、互角相等、互余、互补等等 类型之二全等三角形开放性问题类型之二全等三角形开放性问题 命题角度：命题角度：1. 1. 三角形全等的条件开放性问题；三角形全等的条件开放性问题；2. 2. 三角形全等的结论开放性问题三角形全等的结论开放性问题第第19讲讲 归类示例归类示例图192 例例2 2012义乌 如如图192，在，在ABC中，点中，点D是是BC的的中点，作射中点，作射线AD，在，在线段段AD及其延及其延长线上分上分别取点取点E、F，连接接CE、BF.添加一个条件，使得添加一个条件，使得BDFCDE，并加，并加以以证明你添加的条件是明你添加的条件是_(不添加不添加辅助助线)DEDF 第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例由由于于判判定定全全等等三三角角形形的的方方法法很很多多，所所以以题目目中中常常给出出( (有有些些是是推推出出) )两两个个条条件件，让同同学学们再再添添加加一一个个条条件件，得得出出全全等等，再再去去解解决决其其他他问题这种种题型型可可充充分分考考查学学生生对全全等三角形的掌握的牢固与灵活程度等三角形的掌握的牢固与灵活程度 类型之三类型之三 利用全等三角形设计测量方案利用全等三角形设计测量方案 例例3 3 20122012柳州柳州 如如图193，小，小强强利用全等三角形的知利用全等三角形的知识测量池塘两端量池塘两端M、N的距离，如果的距离，如果PQONMO，则只需只需测出其出其长度的度的线段是段是()APO BPQ CMO DMQ第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：全等三角形的判定全等三角形的判定 图193B 第第19讲讲 归类示例归类示例 解解析析 要要想想利利用用PQONMOPQONMO求求得得MNMN的的长，只需求得只需求得线段段PQPQ的的长，故，故选B.B. 类型之四角平分线类型之四角平分线 例例4 4 (1)班同学上数学活班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角，利用角尺平分一个角(如如图194所示所示)设计了如下方案：了如下方案：()AOB是一个任意角，将角尺的直是一个任意角，将角尺的直角角顶点点P介于射介于射线OA、OB之之间，移，移动角尺使角尺两角尺使角尺两边相同的刻相同的刻度与度与M、N重合，即重合，即PMPN，过角尺角尺顶点点P的射的射线OP就是就是AOB的平分的平分线()AOB是一个任意角，在是一个任意角，在边OA、OB上分上分别取取OMON，将角尺的直角，将角尺的直角顶点点P介于射介于射线OA、OB之之间，移，移动角尺使角尺两角尺使角尺两边相同的刻度与相同的刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过角角尺尺顶点点P的射的射线OP就是就是AOB的平分的平分线 第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：(1)角平分线的性质；角平分线的性质；(2)角平分线的判定角平分线的判定第第19讲讲 归类示例归类示例(1)方案方案()、方案、方案()是否可行？若可行，是否可行？若可行，请证明；明；若不可行，若不可行，请说明理由；明理由；(2)在方案在方案()PMPN的情况下，的情况下，继续移移动角尺，角尺，同同时使使PM OA，PN OB.此方案是否可行？此方案是否可行？请说明理由明理由图194第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例(2)当当AOB是直角是直角时，方案，方案()可行可行四四边形内角和形内角和为360，又若，又若PM OA，PN OB，则OMPONP90，MPN90，AOB90. 若若PM OA，PN OB，且且PMPN，OP为AOB的平分的平分线当当AOB不不为直角直角时，此方案不可行，此方案不可行因四因四边形内角和形内角和为360，若，若AOB不不为直角，直角，则PM、PN不可能垂直不可能垂直OA、OB.