8.3 平面向量的分解定理平面向量的分解定理回顾：回顾：Oxy 向量的向量的正交分解正交分解是把向量表示成两个互相是把向量表示成两个互相垂直垂直的的向量向量 唯一唯一的线性组合。的线性组合。引入引入平平行行四四边边形形法法则则力的合成力的合成力的分解力的分解OABCOC问题的提出问题的提出MOCN 如果如果 是同一平面内两个不平行的非零向是同一平面内两个不平行的非零向量，量， 是该平面内的任意一个向量，我们研究向是该平面内的任意一个向量，我们研究向量量 与与 的关系的关系 如果给定平面上两个如果给定平面上两个不平行不平行的向量，那么平面上的向量，那么平面上任意任意一个向量是否都可以一个向量是否都可以唯一唯一地表示为这两个向量的地表示为这两个向量的线性组合线性组合呢？呢？平面向量分解定理平面向量分解定理 如果如果 是是同一平面内同一平面内的两个的两个不平行不平行向量，向量， 那么对于这一平面内的那么对于这一平面内的任意任意向量向量 ，有且只有有且只有一对一对实数实数 ，使，使 我们把不平行的向量我们把不平行的向量 叫做这一平面内叫做这一平面内所有向量的一组所有向量的一组基。基。 （1）一组平面向量的基有多少对？（有无数对）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思考 (2)若基选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE 特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有则有且只有 ：= 0？若若 与与 中只中只有一个为零，情有一个为零，情况会是怎样？况会是怎样？特别的，若特别的，若a与与 （ ）共线，则有）共线，则有 =0（ =0），使得），使得: a = + .说明说明: :(1)若两个向量若两个向量 有一个为有一个为零向量零向量,此时此时 不能是该平面内的不能是该平面内的任意任意向量；向量；(2)若两个向量若两个向量 是是平行向量平行向量,此时此时 不能是该平面内的不能是该平面内的任意任意向量；向量；(3) 不一定垂直，也不一定是单位不一定垂直，也不一定是单位向量向量;一组基一组基e1e2是是不共线的非零不共线的非零向量向量例例1.下列各向量组中，能否作为表示它们所在平面内下列各向量组中，能否作为表示它们所在平面内 所有向量的基所有向量的基.O .ABCMN说明：当给出向量的坐标时，将一个向量分解成两个说明：当给出向量的坐标时，将一个向量分解成两个 已知向量的线性组合用已知向量的线性组合用待定系数法待定系数法。ABCDFEOCBA小结小结:1、平面向量分解定理平面向量分解定理 如果如果 是是同一平面内同一平面内的两个的两个不平行不平行向量，向量， 那么对于这一平面内的那么对于这一平面内的任意任意向量向量 ，有且只有有且只有一对一对实数实数 ，使，使2、对分解定理的理解、对分解定理的理解（1）实数对）实数对1、 的存在性和唯一性的存在性和唯一性（2）基的不唯一性）基的不唯一性（3）能够在具体问题中适当的选取基，）能够在具体问题中适当的选取基， 使其使其 他向量都能够用基来表达他向量都能够用基来表达