第六章第六章离散信号与系统时域分析离散信号与系统时域分析l 离散时间信号的定义以及典型的离散信号；l 差分方程的建立与经典解法；l 离散系统的单位样值响应；l 零输入响应和零状态响应的概念；l 如何求零输入响应；l 如何利用卷积的方法求零状态响应 6.1 离散信号一、离散时间信号一、离散时间信号 1、定义：如果信号仅在一些离散的瞬间具有确定的数值，则称之为离散时间信号。一般用f(kT)表示，其中k=0,1,2,；T为离散间隔。把这种按一定规则有秩序排列的一系列数值称为序列，简记为f(k)。常用序列f(k)表示。 也可以用数据表格形式给出，或以图形方式表。 EgEg: :2、离散时间信号的时域运算（1）相加 ：f(k)=f1(k)+f2(k) （2） 相乘 ： f(k)=f1(k)f2(k) （3）数乘 ：（4）累加和： 3 3 3 3、离散时间信号的时域变换、离散时间信号的时域变换、离散时间信号的时域变换、离散时间信号的时域变换 （1）移位 m为大于零的整数。为大于零的整数。 （2）折叠 （3）倒相 （4）展缩 需要注意的是需要注意的是，对f(k)进行展缩变换后所得序列y(k)可能会出现k为非整数情况，在此情况下舍去这些非整数的k及其值。 例6.1.1：若x(n)的波形如图所示，求x(2n) x(n/2)的波形。 还应指出，对于离散信号压缩后再展宽不能恢复原序列。（5）差分 （a）f(k)的后向差分，记 (b) f(k)的前向差分，记二、常用的离散时间信号 1.单位序列性质：2.单位阶跃序列 单位阶跃序列和单位序列的关系3.单位矩形序列(门序列) 4.单边实指数序列 5.正弦序列Eg:若离散信号f(k)满足 则f(k)为周期离散时间信号，其重复周期T=N，重复角频率为 三、离散系统及其数学描述1、线性时不变系统 （1）齐次性、叠加性和线性 当系统Taf(k)=aTf(k) 则称系统满足齐次性。 当系统则称系统满足叠加性 当系统同时满足齐次性和叠加性时，则称该系统满足线性 （2）线性离散时间系统 若离散时间系统的响应可分解为零输入响应和零状态响应(可分解性)； 且零输入响应和零状态响应分别满足齐次性和叠加性(零输入线性、零状态线性)，则称该系统为线性离散时间系统。 （3）时变与时不变离散时间系统 若 （4）因果离散时间系统 如果系统响应总是出现在激励施加之后，则该系统称为因果系统，否则称之为非因果系统。 例6.1.2 若已知k0时三个系统的响应分别为：(1) y(k)=kf(k)； (2) y(k)=|f(k)|；(3) y(k)=2f(k)+3f(k-1)。试判断这三个系统各为哪类系统。 解解: : (1) 因激励与响应之间满足齐次性和叠加性，即 但激励与响应之间不满足时不变性，即 故该系统为线性时变离散时间系统 (2) 该系统激励与响应之间不满足齐次性，不满足叠加性。激励和响应之间满足时不变性，故此系统为非线性时不变系统。 (3) 由给出的输入输出关系可知此系统是一个线性时不变离散时间系统。 解解 :设系统零输入响应为yx(k)，零状态响应为yf(k)，则根据线性时不变系统的特性，响应 解得：解得：例6.1.5：电阻梯形网络Ev0v1v2vNvN-1v0=E,vN=0,试写出节点电压的差分方程。试写出节点电压的差分方程。vN-2解： 根据KCL，对于节点k,有： 整理后可得： 或： (b) 加法器(a) 延时器五、 离散时间系统的模拟1、基本运算单元xn xn+ynynxnxn-1xnxn-1D D(c) 数乘器axn axnxn axnaxn axn解解: : 根据系统差分方程，可得 或 ： 2、系统模拟 6.2 离散系统时域分析经典法一、差分方程时域经典求解 1齐次差分方程 称之为齐次差分方程 例6.2.2 图所示离散时间系统的模拟框图。当f(k)=0, y(1)=1, y(2)=0, y(3)=1, y(5)=1时，求y(k)。 nknC(常数)特解形式特解形式自由项自由项an(a不是特征根)an(a是r重特征根)2非齐次差分方程二、离散时间系统的响应的分解方式1、零输入响应和零状态响应 2、 自由响应和强迫响应 3、暂态响应和稳态响应 6.3 离散系统的单位序列响应 对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列(k)时，其系统的零状态响应h(k)称为单位序列响应。 一、迭代法：是一种递推法，一个不断迭代过程，称之为迭代法 对于一阶系统 令 二、等效初值法 当k0时，系统等效为一个零输入系统。求系统单位序列响应转化为求系统等效零输入响应。 例例6.3.1 6.3.1 某离散时间系统如图所示。求系统单位序列响应。 解：解： 由图可得系统的差分方程为 由迭代法可知等效初始值为 当k1时，有对应的特征方程为 单位序列响应的形式与零输入响应形式相同6.4 6.4 卷积和卷积和一、离散系统的时域分解 1、交换律、结合律和分配律（1）交换律卷积和的性质：二、 卷积和 设两个离散时间信号为f1(k)和f2(k) ，定义f1(k)与f2(k)的卷积和运算为 （2）结合律（3）分配律2 2、移位性质、移位性质3、其它性质4、卷积和的计算：（1）图解法反褶、平移、相乘、求和四个步骤：列表法列表法三、离散卷积和分析 对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列，单位序列响应为,则激励与系统零状态响应之间有如下关系： 例例6.4.26.4.2 描述离散时间系统的差分方程为 已知y(-1)=1,求系统全响应y(k)。 解:(1) 求零输入响应yx(k)。 得C=0.9,故 (2) 求单位序列响应。 利用等效初值法，可求得 (3) 求激励时零状态响应。 全响应