第第4讲讲 基于偏好的需求基于偏好的需求n决定需求的边际方程决定需求的边际方程n需求映射的可微性需求映射的可微性n收入效应与替代效应收入效应与替代效应n需求映射的特征需求映射的特征1 确定需求的边际方程确定需求的边际方程n消费者需求的决定消费者需求的决定：效用最大化利用效用函数利用效用函数 u(x) 表达表达：max u(x) s.t px = r u(x) = p利用拉格朗日乘数法求解利用拉格朗日乘数法求解：R s.t. px = rn定理 设消费集合 X 满足假设HC，偏好 满足假设HP，效用函数 u(x) 满足假设HU，p 0，r I( p)及 xX， 为消费者的需求映射。则有下述事实： (x = ( p, r) ( 0)(u(x) = p) & ( px = r)n边际方程边际方程： 求解需求 x = ( p, r)。21.1 例：线性支出系统n问题问题：消费者收入较高，应对基本生活开支绰绰有余，如何将多余收入用在各种商品的消费上？n分析分析：假定共有 种商品，并且消费者认为这些商品的额外消费在提高效用水平方面的作用分别为1,2,(这些 i 都是大于零的常数)。基本生活需要： = (1,2,) 0消费集合：X = xR | x i 的意义： i = (xii)MUi /TU 商品 i 的额外消费所增加的效用占总效用的比例，其中 MUi 为商品 i 的边际效用，TU为总效用。这正表达了增加商品 i 的消费在提高效用水平方面所起到的作用大小。31.1.1 导出效用函数n消费者的效用函数U(x)的推导首先利用效用函数U(x)来表达 i ： i = (xii)Ui/U(x)。求解微分方程 1 = (dU/d x1)(x11)/U 可得：求解 2 = (d 1/d x2)(x22)/ 1可得：求解 = (d 1/d x)(x )/ 1可得：结果结果：n最终形式：41.1.2 求解边际方程n先求导数：n边际方程：n求解： 支出是价格和收入的线性函数线性支出系统n支出分配支出分配：消费者把多余收入按照比例 ai 分配在商品 i 的消费上。n需求函数需求函数：51.2 边际方程的意义与作用n消费者均衡：效用最大的选择，即消费者需求。n边际方程给出了消费者实现均衡的基本法则边际替代法则边际替代法则：边际替代率 = 市场交换率nMRSij = u i/u j：边际替代率消费者为增加一单位商品i而愿意放弃的商品j的数量。nEXRij = pi /p j：市场交换率消费者为增加一单位商品i而实际放弃的商品j的数量。边际效用法则边际效用法则：各项消费支出的边际效用均等n均等法则：把一单位收入不论用于增加哪种商品的消费，所增加的效用都是相等的。n拉氏乘数：均衡时货币收入的边际效用增加一单位支出所增加的效用。62 需求函数的可微性需求函数的可微性n可微性可微性：精打细算即使因素微小变动，也要能够精确掌握其影响大小。n效用最大化带来需求的可微性效用最大化带来需求的可微性：即使价格或收入发生微小变动，效用最大化也要让消费者精挑细选，精打细算，精确掌握由此产生的对个人需求的影响，这就意味着需求函数理应是可微的。n需求可微性问题研究思路需求可微性问题研究思路：需求函数是边际方程确定的隐函数，可从隐函数存在定理来提出需求可微所要求的条件，并找出该条件的经济意义。7对任何 xU，都有 Fi (x, (x) = 0 (i = 1,2, n)； ； 在 U 内连续可微(i = 1,2, n)。 定理 设在点 附近，函数Fi(x, y)连续可微， ，并且雅克比矩阵 可逆。则存在 的邻域 和 的领域 ，存在唯一的映射 (即 )满足：2.1 隐函数存在定理82.2 边际方程的雅克比矩阵n边际方程：n雅克比矩阵 J = J( p, r, x, )n结论：只要 J 可逆，需求映射 ( p, r) 就可微。看来，我们需要研究让 J 可逆所需的条件及其经济意义。92.3 保证雅克比矩阵可逆的条件n效用函数效用函数u(x)强拟凹强拟凹：是指对任何 xX ，海森矩阵(Hessian matrix) u(x) 都在切空间 (x) 上负定。切空间切空间：(x) = zR | z u (x) = 0 在切空间上负定在切空间上负定：z(x)，z 0，都有 z u(x) z 0 & r I( p)。n强拟凹性的经济意义强拟凹性的经济意义：效用最大化二阶充分条件强拟凹的效用函数是严格拟凹的。效用最大化二阶必要条件：u(x)在 (x) 上半负定。效用最大化二阶充分条件：u(x)在 (x) 上负定。需求可微性是效用最大化的自然要求，故强拟凹性并不是什么苛刻条件，是理性偏好自然会具备的性质。112.4 强拟凹性的几何意义n效用最大化点 x 是效用函数 u 在切线 T(x) 上的最大值点，故u(x)在 (x)上是半负定的(微积分知识)。nu(x)在 (x)上负定，这是让 x 成为 u 在切线 T(x) 上的最大值点的充分条件。n强拟凹性是关于偏好的性强拟凹性是关于偏好的性质质：若 u 与 v 等价，则 u 强拟凹当且仅当当且仅当 v 强拟凹。 pu (x)=切空间切空间(x)切线切线T(x)u (x)x无差异曲线123 收入与价格变动对需求的影响收入与价格变动对需求的影响n假定假定：假设HC、HP、HU全成立，并且消费者的效用函数 u(x) 强拟凹。n收入与价格变动收入与价格变动收入变动：dr价格变动：n引起需求变动引起需求变动需求：x = ( p, r)需求变动：拉氏乘数变动：d133.1 需求变动方程n边际等式边际等式：将 x = ( p, r)代入边际方程后得到的恒等式，即n(d x, d)与与(d p, d r)的关系的关系：边际等式全微分n需求变动矩阵方程需求变动矩阵方程：上述方程的矩阵形式( E 表示单位阵)143.1.1 斯勒茨基矩阵nu 强拟凹 & u(x) = p & 0 可逆n令 ，令 S = ZnSlutskys matrix：S = (sij) = (sij) 斯勒茨基系数斯勒茨基系数：sij基本事实基本事实：Sp = 0，z p = 1。T153.1.2 斯勒茨基方程n求解需求变动矩阵方程求解需求变动矩阵方程nSlutskys equation：163.1.3 需求变动的导数公式n微分公式：n导数公式：n斯勒茨基系数的导数表示即173.2 变动效应分析n实际收入变动实际收入变动：dr xdp名义收入变动：dr价格变动引起的实际收入水平变动： xdpn收入效应收入效应：纯由实际收入变动引起的需求变动。收入效应率：x /r收入效应收入效应 = (dr xdp)x /r n替代效应替代效应：纯粹由价格变动引起的需求变动。总效应：总效应 收入效应：从总效应中扣除收入效应后，剩余部分便只能归因于商品替代，即为替代效应。替代效应替代效应 = dx (dr xdp)x /r = Sdp183.2.1 斯勒茨基矩阵的意义n实际收入不变时的总效应实际收入不变时的总效应实际收入不变： dr xdp = 0，记作 u=const。总效应：dx = Sdp + (dr xdp)x /r = Sdp(替代效应)结论结论：S = (x /p)|u=const ，即 sij = (xi /pj)|u=const n斯勒茨基系数斯勒茨基系数 sij 的意义的意义：替代效应率sij = (xi /pj)|u=const = xi /pj + xj xi /r意义意义：商品 j 的价格上涨一单位， 引起商品 i 的需求增加xi /pj 单位，但也让实际收入减少xj单位。为了让实际收入不变，给消费者补贴xj 单位收入，这让商品 i 的需求进一步增加 xj xi /r 单位，最后总增加 sij 单位。可见， sij 代表替代效应率替代效应率实际收入不变条件下商品i的价格上涨一单位引起的商品 j 的需求增加量。19例例.3.2.2 需求映射的替代矩阵n替代矩阵替代矩阵：鉴于斯勒茨基系数 sij 的替代效应率意义，斯勒茨基矩阵 S 被称为需求映射 x = ( p, r) 的替代矩阵，并且 S = x /p + (x /r) x。n替代矩阵替代矩阵 S 的性质的性质对称性对称性： S = S，即 sij = sji (i, j = 1,2,)半负定半负定：(wR )(wSw 0)，从而 sij 0 (i = 1,2,)。不可祈求不可祈求 S 负定负定：比如线性支出系统的 S 就是奇异的。TT203.2.3 对生活水平的影响n生活水平函数生活水平函数： -间接效用函数n一般影响一般影响：收入变动的影响率：价格变动的影响率：n重要事实重要事实：实际收入不变实际收入不变 生活水平不变生活水平不变实际收入不变(dr xdp = 0)时的生活水平变化：生活水平不变( )时的实际收入变化：dr xdp = 0n罗伊恒等式罗伊恒等式：213.3 收入与价格的同比例变动n需求的零阶齐次性需求的零阶齐次性：(t 0)(tp, tr) = ( p, r)解释解释：价格与收入同比例变动，预算集合不会因此受到影响，故消费者需求也不受影响。意义意义：价格与收入同比例变动不会影响生活水平。n消费者方面消费者方面：收入来自要素报酬。所有商品价格同比例上涨，意味着消费者收入同比例上升。n生产者方面生产者方面：后面的生产者理论也会说明，所有商品价格同比例上升不影响生产选择，产品供应和要素需求不会变化，而生产者的利润要同比例上升。n通胀效应通胀效应：所有商品价格同比例上升，既不影响消费选择，也不影响生产选择，反而使企业利润同比例上升。223.4 需求法则n普通的需求法则普通的需求法则：一种商品的需求量与该商品的价格之间呈现反向变动关系。n对商品对商品 i 成立吗？成立吗？可通过 的导数 xi /pi = sii xi xi /r 的正负来判断。正常品正常品：收入效应为正，xi /r 0，故 xi /pi 0。劣质品劣质品：收入效应为负，xi /r |xi xi /r |，故 xi /pi 0。n吉芬品吉芬品：|sii| 0。n结论：吉芬品极其少见，故一般商品都服从“需求量与价格反向变动(xi /pi 0，收入效应 0。消费者就要增加对正常品的消费量。正常品x1x2收入收入效应效应预算线补偿预算线E1EcE2xc替代效应替代效应变动后的预算线E1E2E1E2EcEc替代效应替代效应收入效应收入效应总效应总效应收入效应替代效应低档品价格下跌消费量总归增加其他品吉芬品低档品其他品其他品吉芬品价格下跌消费量反而下降243.4.2 需求补偿法则n需求补偿法则需求补偿法则( (一一) )：若dr x d p = 0，则d pdx 0。即在实际收入水平不变的条件下，需求变动与价格变动是反方向的。证明证明：dx = Sdp，dpdx(内积)= dp Sdp 0。得证。n需求补偿法则需求补偿法则( (二二) )：若 (q, s) ( p, r)且 q( p, r) = s，则 (q p)(q, s) ( p, r) r。由于 px = r，因此 p( y x) 0。既然 q y = s 且 qx = s，因此 q( y x) = 0。这样，(q p)( y x) 0，(t p, t r) = ( p, r)瓦尔拉定律瓦尔拉定律： p( p, r) = r连续可微性连续可微性：( p, r)连续可微( p 0, r I( p)替代对称性替代对称性：( p, r)的替代矩阵 S 是对称的。需求补偿法需求补偿法：若 (q, s) ( p, r) 且 q( p, r) = s， 则 (q p)(q, s) ( p, r) I( p)，则 e( p,U ) e( p,V ) U 0及效用水平U (要求 e( p,U) I(p)，都存在唯一的 xE(U ) 使得 px = e( p,U)。向量 x 正是消费者的希克斯需求，记作 h( p,U )。n定理 在假设HC、HP、HU下，对任何 p 0及 r I(p)，都有 ，并且 sij = hi/pj。sij = hi/pj 的证明的证明：295.3 支出函数对价格的导数n定理定理 在假设HC、HP、HU下，对任何p 0及效用水平U (e( p,U) I(p)，都有 。证明：30作业1.解释“ ”的经济意义，其中 x =( p, r)为需求映射，sij 为斯勒茨基系数。2.证明支出函数 e( p,U ) 具有下述性质： e( p,U ) + e(q,U ) e( p+q,U ) e( p,U )是价格 p 的凹函数。对任何价格向量 p 0 及任何效用水平 U 和 V，若 e( p,U ) I( p)，则 e( p,U ) e( p,V ) 当且仅当当且仅当 U V。31