(理理)第第7节立体几何中的向量方法节立体几何中的向量方法.理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用.能用向量法解决空间的距离问题 整合主干知识1用向量证明空间中的平行或垂直(1)直线的方向向量：直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量_(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量有_个(2)若直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量，显然一个平面的法向量也有_个，它们是_向量平行无数无数共线质疑探究：在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何处理？提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可以作为平面法向量的坐标 (3)用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y使vxv1yv2.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.(4)用向量证明空间中的垂直关系设 直 线 l1和 l2的 方 向 向 量 分 别 为 v1和 v2， 则l1l2v1v2v1v20.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.设 平 面 和 的 法 向 量 分 别 为 u1和 u2， 则u1u2u1u20.2用向量计算空间角和距离空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm1，m2|.如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n21(2015西安模拟)若直线l的方向向量为a(1，1,2)，平面的法向量为u(2,2，4)，则()AlBlCl Dl与斜交解析：因为直线l的方向向量a(1，1,2)与平面的法向量u(2,2，4)共线，则说明了直线与平面垂直，故选B.答案：B2设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4C4 D2答案：C3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直答案：C4长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_答案：聚集热点题型典例赏析1 (2015湖北省八校联考)如图，直三棱柱ABCABC的侧棱长为3，ABBC，且ABBC3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.(1)求 证 ： 无 论 E在 何 处 ， 总 有BCCE；用向量证明垂直或求异面直线所成的角 (2)当三棱锥BEBF的体积取得最大值时，求异面直线AF与AC所成角的余弦值思路索引(1)借助于线面关系证明BC面ABC，从而可证BCCE.当VBEBF为最大值确定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值(2)以B为原点建系，用向量求解解析(法一)(1)证明：由题意知，四边形BBCC是正方形，连接AC，BC，则BCBC.又ABBC，BBAB，AB平面BBCC.BCAB，BC平面ABC.又CE平面ABC，BCCE.变式训练1(2014郑州第一次质检)如图，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已 知 BC 2AD 4， ABC 60，BFAC.(1)求证：AC平面ABF；(2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值典例赏析2 用向量证明平行或求二面角 (1)证明：PQ平面BCD；(2)若二面角CBMD的大小为60，求BDC的大小思路索引立体几何题目一般有两种思路：传统法和向量法传统法是借助立体几何中的相关定义、定理，通过逻辑推理证明来完成(1)要证明线面平行，根据判定定理可通过证明线线平行来实现；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通过解三角形求解向量法则是通过建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，利用向量的计算完成证明或求解直线一般求其方向向量，平面一般求其法向量(1)只要说明直线的方向向量与对应平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即为两个平面的法向量的夹角或其补角 图(1)(2)解：如图(1)，作CGBD于点G，作GHBM于点H，连接CH.因为AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG.又CGBD，ADBDD，故CG平面ABD.又BM平面ABD，所以CGBM.又GHBM，CGGHG，故BM平面CGH，所以GHBM，CHBM.所以CHG为二面角CBMD的平面角，图(2)拓展提高本题方法一采用了传统法，在第二问中要作出CBMD的平面角，这里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、证、算于一体二面角的做法一直是个难点，不如建系用向量方法求简单，如方法二变式训练2(2014四川高考)三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角ANPM的余弦值(1)证明：如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，ABD，BCD为正三角形，所以AOBD，OCBD.因 为 AO， OC平 面 AOC， 且AOOCO，所以BD平面AOC.又因为AC平面AOC，所以BDAC.取BO的中点H，连接NH，PH.又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MNBD，NHAO，因为AOBD，所以NHBD.因为MNNP，所以NPBD.因为NH，NP平面NHP，且NHNPN，所以BD平面NHP.又因为HP平面NHP，所以BDHP.又 OCBD， HP平 面 BCD， OC平 面 BCD， 所 以HPOC.因为H为BO的中点，所以P为BC的中点(2)解：方法一：如图所示，作NQAC于Q，连接MQ.典例赏析3 (2014福建高考)在平面四边形ABCD中 ， AB BD CD 1， ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示用向量求线面角 (1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值思路索引(1)转化为证明AB平面BCD；(2)利用坐标法解析(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)解 ： 过 点 B在 平 面 BCD内 作BEBD.由 (1)知 AB平 面 BCD， BE平 面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.变式训练3(2015东北三校模拟)如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDC2AD，ADDC，BCD45.(1)设PD中点为M，求证：AM平面PBC；(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值典例赏析4 用向量求空间距离 思路索引借助面SAC面ABC，建立坐标系，求面MNC的法向量，再求距离解析取AC的中点O，连接OS、OBSASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.变式训练4(2015天津南开调研)在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求点B1到平面A1BD的距离备课札记_提升学科素养 (理)向量法求空间角如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值. 审题视角(1)研究的几何体为长方体，AB2，AA11.(2)所求的是异面直线所成的角和二面角(3)可考虑用空间向量法求解规范解答(1)以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)答题模板利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系第二步：确定点的坐标第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标第四步：计算向量的夹角(或函数值)第五步：将向量夹角转化为所求的空间角第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错1一种思想用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想2一点注意利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点