第二节直线的交点与距离公式总纲目录教材研读1.两条直线的交点考点突破2.三种距离考点二距离问题考点二距离问题考点一直线的交点考点三对称问题考点三对称问题1.两条直线的交点两条直线的交点教材研读教材研读2.三种距离三种距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为()A.B.C.D.答案答案B解方程组得所以两直线的交点为.B2.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.D.2答案答案C由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离d=.故选C.C3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为()A.1B.C.D.2答案答案B由题意可知l1与l2平行,故l1与l2之间的距离d=,故选B.B4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=.答案答案-解析解析由解得将其代入x+by=0,得b=-.5.已知坐标平面内两点A(x,-x)和B,那么这两点之间距离的最小值是.答案答案解析解析由题意可得两点间的距离d=,即最小值为.考点一直线的交点考点一直线的交点考点突破考点突破典例典例1(1)经过直线l1:x+y+1=0与直线l2:x-y+3=0的交点P,且与直线l3:2x-y+2=0垂直的直线l的方程是.(2)已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它们不能围成三角形,则m的取值构成的集合是.答案答案(1)x+2y=0(2)解析解析(1)解法一:由方程组解得即点P(-2,1),由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2),l3l,k=-,直线l的方程为y-1=-(x+2),即x+2y=0.解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点,所以可设直线l的方程为x+y+1+(x-y+3)=0,即(1+)x+(1-)y+1+3=0.因为l与l3垂直,所以2(1+)-(1-)=0,所以=-,所以直线l的方程为x+y=0,即x+2y=0.(2)由已知易知l2与l3相交,且交点为,若l1、l2、l3交于一点,则易得m=-1或;若l1l2,则m=4;若l1l3,则m=-.综上可得,m=-1或或4或-.1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为点的坐标,即交点的坐标.方法技巧方法技巧2.求过两直线交点的直线方程的方法(1)求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)利用直线系方程求解.经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系不包括直线A2x+B2y+C2=0).变式变式1-1若将本例(1)中的条件“垂直”改为“平行”,试求l的方程.解析解析由方程组解得即点P(-2,1).设直线l的方程为y-1=k(x+2),因为ll3,所以k=2,故直线l的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.1-2当0k时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案B由得又0k,x=0,故直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第二象限.B典例典例2(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则点P坐标为.考点二距离问题考点二距离问题解析解析(1)因为=,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.(2)设点P的坐标为(a,b),A(4,-3),B(2,-1),线段AB的中点M的坐标为(3,-2),而AB的斜率kAB=-1,线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.点P(a,b)在直线x-y-5=0上,a-b-5=0.答案答案(1)C(2)(1,-4)或又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,=2,即4a+3b-2=10,由联立可得或点P的坐标为(1,-4)或.易错警示易错警示(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)在运用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x,y的系数化为相等.2-1已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是()A.B.C.8D.2答案答案D由题意知=,m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d=2.D2-2已知P点坐标为(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,并求出最大距离;(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解析解析(1)过P点的直线l与原点距离为2,又P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,则设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.则=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)由题意可知过P点且与原点距离最大的直线l是过P点且与PO(O为坐标原点)垂直的直线,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-=2.由点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以2x-y-5=0是过P点且与原点距离最大的直线的方程,最大距离为=.(3)不存在.由(2)可知,不存在过P点且与原点距离超过的直线,因此不存在过P点且与原点距离为6的直线.考点三考点三对称问题对称问题命题角度一点关于点的对称命题角度一点关于点的对称典例典例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.解析解析设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,则A(4,0),又P(0,1),所以直线l的方程为x+4y-4=0.命题角度二点关于线的对称命题角度二点关于线的对称典例典例4求点A(-1,-2)关于直线l:2x-3y+1=0的对称点A的坐标.解析解析设A(x,y),则由已知得解得A.命题角度三线关于点的对称命题角度三线关于点的对称典例典例5求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.解析解析设P(x,y)为l上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y),点P在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.则直线l的方程为2x-3y-9=0.命题角度四线关于线的对称命题角度四线关于线的对称典例典例6求直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0的对称直线m的方程.解析解析在直线m上任取一点,如点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设点M的对称点M的坐标为(a,b),则解得故点M的坐标为.设直线m与直线l的交点为N,由解得则N(4,3).由两点式可得直线m的方程为9x-46y+102=0.典例典例7在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于()A.2B.1C.D.命题角度五对称问题的应用命题角度五对称问题的应用D答案答案D解析解析以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0t4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知直线P1P2就是光线RQ所在直线.由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=(x+t),设ABC的重心为G,易知G.因为重心G在光线RQ上,所以=,即3t2-4t=0,解得t=0或t=,因为0t4,所以t=,即AP=,故选D.方法技巧方法技巧1.中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解.(2)直线关于点的对称,主要求解方法如下:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).(2)直线关于直线对称:若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式求解;若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点式求解.3-1一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求:(1)入射光线所在直线的方程;(2)这条光线从P到Q所经路线的长度.解析解析(1)设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点,QQ交l于点M,kl=-1,kQQ=1,QQ所在直线的方程为y-1=1(x-1),即x-y=0.由解得交点M,解得Q(-2,-2).设入射光线与l交于点N,则P,N,Q三点共线,又P(2,3),Q(-2,-2),故入射光线所在直线的方程为=,即5x-4y+2=0.(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=,即这条光线从P到Q所经路线的长度为.