第五节第五节 数列的综合应用数列的综合应用三年三年2020考考 高考指数高考指数:能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题用相关知识解决相应的问题. .1.1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前数列的通项公式和前n n项和公式项和公式. .2.2.常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化与化归能力，常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化与化归能力，如与函数、不等式、解析几何等交汇考查如与函数、不等式、解析几何等交汇考查. .3.3.各种题型都有可能出现各种题型都有可能出现. .数列的综合应用数列的综合应用(1)(1)解答数列应用题的步骤解答数列应用题的步骤审题审题仔细阅读材料，认真理解题意仔细阅读材料，认真理解题意. .建模建模将已知条件翻译成数学将已知条件翻译成数学( (数列数列) )语言，将实际问题转语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. .求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解. .还原还原将所求结果还原到原实际问题中将所求结果还原到原实际问题中. .具体解题步骤用框图表示如下：具体解题步骤用框图表示如下：实际应用题实际应用题 构建数列模型构建数列模型 与数列有关的与数列有关的数学问题数学问题 数学问题的解数学问题的解 审题，找出题意审题，找出题意中的数学关系中的数学关系 分析分析 转化转化运用数列知识求解运用数列知识求解翻译翻译作答作答（2 2）数列应用题常见模型）数列应用题常见模型等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差. .等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. .递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是定，随项的变化而变化时，应考虑是a an n与与a an+1n+1的递推关系，还是的递推关系，还是前前n n项和项和S Sn n与前与前n+1n+1项和项和S Sn+1n+1之间的递推关系之间的递推关系. .【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：提示：单利公式单利公式设本金为设本金为a a元，每期利率为元，每期利率为r r，存期为，存期为n n，则本利和则本利和a an na(1+rn)a(1+rn)，属于等差模型，属于等差模型. .复利公式复利公式设本金为设本金为a a元，每期利率为元，每期利率为r r，存期为，存期为n n，则本利和，则本利和a an na(1+r)a(1+r)n n，属于等比，属于等比模型模型. .（2 2）小王每月除去所有日常开支，大约结余）小王每月除去所有日常开支，大约结余a a元元. .小王决定采小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a a元，存元，存期期1 1年（存年（存1212次），到期取出本金和利息次），到期取出本金和利息. .假设一年期零存整取假设一年期零存整取的月利率为的月利率为r r，每期存款按单利计息，每期存款按单利计息. .那么，小王存款到期利息那么，小王存款到期利息为为_元元. .【解析【解析】由题意知，小王存款到期利息为由题意知，小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+12ar+11ar+10ar+2ar+ar=+2ar+ar=答案：答案：78ar78ar（3 3）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为毒的同时将自身分裂为2 2个，现在有一个这样的细菌和个，现在有一个这样的细菌和100100个这个这样的病毒（假设病毒不繁殖），则细菌将病毒全部杀死至少需样的病毒（假设病毒不繁殖），则细菌将病毒全部杀死至少需要要_秒钟秒钟. .【解析【解析】设需要设需要n n秒钟，秒钟，则则1+21+21 1+2+22 2+ +2+2n-1n-1100,100, n7. n7.答案：答案：7 7 等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用【方法点睛【方法点睛】解答数列综合问题的注意事项解答数列综合问题的注意事项（1 1）要重视审题，善于联系）要重视审题，善于联系. .将等差、等比数列与函数、不等将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来式、方程、应用性问题等联系起来. .（2 2）对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等）对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项、前比数列的通项、前n n项和，以及等差、等比数列项之间的关系，项和，以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法往往用到转化与化归的思想方法. .【例【例1 1】已知等差数列】已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，公差，公差d0,d0,且且S S3 3+S+S5 5=50,a=50,a1 1,a,a4 4,a,a1313成等比数列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)设设 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为3 3的等比数列，求数列的等比数列，求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解题指南【解题指南】(1)(1)列出关于列出关于a a1 1,d,d的方程组，求出的方程组，求出a a1 1,d.,d.(2)(2)先求先求 再利用再利用(1)(1)中所得中所得a an n求求b bn n, ,最后用错位相减法求最后用错位相减法求T Tn n. .【规范解答【规范解答】(1)(1)依题意得依题意得解得解得 aan n=a=a1 1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即即a an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)T Tn n=3+5=3+53+73+73 32 2+ + +（2n+1)2n+1)3 3n-1n-13T3Tn n=3=33+53+53 32 2+7+73 33 3+ +(2n-1)+(2n-1)3 3n-1n-1+(2n+1)+(2n+1)3 3n n则则-2T-2Tn n=3+2=3+23+23+23 32 2+ +2+23 3n-1n-1-(2n+1)-(2n+1)3 3n n=-2n=-2n3 3n n, ,TTn n=n=n3 3n n. .【反思【反思感悟感悟】1.1.解答本题（解答本题（1 1）时，列出关于）时，列出关于a a1 1,d,d的方程组是的方程组是关键，求解本题（关键，求解本题（2 2）时，求出）时，求出b bn n是关键是关键. .2.2.利用等比数列前利用等比数列前n n项和公式时，注意公比项和公式时，注意公比q q的取值，同时对等的取值，同时对等差、等比数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理使用性质，差、等比数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理使用性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解 数列的实际应用数列的实际应用【方法点睛【方法点睛】1.1.数列实际应用题的解题策略数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解为数学中的等差、等比数列问题，然后求解2.2.处理分期付款问题时的注意事项处理分期付款问题时的注意事项(1)(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息( (注：注：最后一次付款没有利息最后一次付款没有利息) )(2)(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系. .【提醒【提醒】解数列应用题要明确问题属于哪一种类型，即明确是解数列应用题要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求等差数列问题还是等比数列问题，是求a an n还是求还是求S Sn n，特别是要，特别是要弄清项数弄清项数. .【例【例2 2】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业并以此发展旅游产业. .根据规划，本年度投入根据规划，本年度投入800800万元，以后每万元，以后每年投入将比上年减少年投入将比上年减少 本年度当地旅游业估计收入本年度当地旅游业估计收入400400万元，万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加年会比上年增加（1 1）设）设n n年内（本年度为第一年）总投入为年内（本年度为第一年）总投入为a an n万元，旅游业总万元，旅游业总收入为收入为b bn n万元，写出表达式；万元，写出表达式；（2 2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【解题指南【解题指南】解决本题（解决本题（1 1）的关键是正确理解题意，根据题）的关键是正确理解题意，根据题意找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额意找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式，在解决第和旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式，在解决第（2 2）问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法求解）问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法求解. .【规范解答【规范解答】（1 1）第一年投入为）第一年投入为800800万元，万元，第二年投入为第二年投入为 万元，万元，第第n n年的投入为年的投入为 万元，万元，所以所以,n,n年内的总投入为：年内的总投入为：第一年旅游业收入为第一年旅游业收入为400400万元，第二年旅游业收入为万元，第二年旅游业收入为 万元万元. .第第n n年旅游业收入为年旅游业收入为 万元万元, ,所以所以,n,n年内的旅游业总收入为年内的旅游业总收入为（2 2）设经过）设经过n n年旅游业的总收入超过总投入，由此年旅游业的总收入超过总投入，由此b bn n-a-an n0,0,即即化简得化简得设设 代入上式，得代入上式，得5x5x2 2-7x+20,-7x+20,解此不等式，得解此不等式，得 或或x1x1（舍去），（舍去），即即 由此得由此得n5.n5.故至少经过故至少经过5 5年旅游业的总收入才能超过总投入年旅游业的总收入才能超过总投入. .【反思【反思感悟感悟】1.1.解答本题时，理解题意是关键，其中解答本题时，理解题意是关键，其中a an n,b,bn n是是等比数列的前等比数列的前n n项和，而非第项和，而非第n n项项. .2.2.此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前逐步探索数列通项或前n n项和或前后两项的递推关系，从而建项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型立等比数列模型. .3.3.与等比数列联系较大的是与等比数列联系较大的是“增长率增长率”、“递减率递减率”的概念，的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关这都与等比数列有关. . 数列与函数、不等式的综合应用数列与函数、不等式的综合应用【方法点睛【方法点睛】1.1.数列与函数的综合问题数列与函数的综合问题一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题. .2.2.数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题(1)(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解最后利用函数的单调性求解. .(2)(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明时利用放缩法证明. .【例【例3 3】已知函数】已知函数 数列数列aan n 满足满足a a1 1=1, =1, nN nN* *, ,(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;(2)(2)令令T Tn n=a=a1 1a a2 2-a-a2 2a a3 3+a+a3 3a a4 4-a-a4 4a a5 5+ +-a-a2n2na a2n+12n+1, ,求求T Tn n; ;(3)(3)令令 (n2),b (n2),b1 1=3,S=3,Sn n=b=b1 1+b+b2 2+ +b+bn n, ,若若对一切对一切nNnN* *成立，求最小正整数成立，求最小正整数m.m.【解题指南【解题指南】(1)(1)可由已知得可由已知得a an+1n+1与与a an n的关系，从而判断出数的关系，从而判断出数列的类型列的类型. .(2)(2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第(2)(2)、(3)(3)问问. .【规范解答【规范解答】(1)(1)aan n 是以是以 为公差的等差数列为公差的等差数列. .又又a a1 1=1,=1,(2)T(2)Tn n=a=a1 1a a2 2-a-a2 2a a3 3+a+a3 3a a4 4-a-a4 4a a5 5+ +-a-a2n2na a2n+12n+1=a=a2 2(a(a1 1-a-a3 3)+a)+a4 4(a(a3 3-a-a5 5)+)+a+a2n2n(a(a2n-12n-1-a-a2n+12n+1) )(3)(3)当当n2n2时，时，又又SSn n=b=b1 1+b+b2 2+ +b+bn n 对一切对一切nNnN* *成立成立. . 递增，且递增，且 即即m2 012.m2 012.最小正整数最小正整数m=2 012.m=2 012.【反思【反思感悟感悟】1.1.在求最小正整数在求最小正整数m m的值时，把问题转化为不的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而等式恒成立问题，而S Sn n最值的求法使用了数列的单调性最值的求法使用了数列的单调性. .2.2.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选. .【满分指导【满分指导】 数列与函数的综合应用解答题的规范解答数列与函数的综合应用解答题的规范解答【典例】（【典例】（1212分）分）(2011(2011陕西高考陕西高考) )如图，从点如图，从点P P1 1(0,0)(0,0)作作x x轴的垂线交曲轴的垂线交曲线线y=ey=ex x于点于点Q Q1 1(0,1)(0,1)，曲线在，曲线在Q Q1 1点处的点处的切线与切线与x x轴交于点轴交于点P P2 2. .再从再从P P2 2作作x x轴的垂线交曲线于点轴的垂线交曲线于点Q Q2 2，依次重，依次重复上述过程得到一系列点：复上述过程得到一系列点：P P1 1，Q Q1 1;P;P2 2，Q Q2 2；P Pn n，Q Qn n，记，记P Pk k点点的坐标为的坐标为(x(xk k,0)(k=1,2,0)(k=1,2,n).,n).(1)(1)试求试求x xk k与与x xk-1k-1的关系的关系(k=2,(k=2,n);,n);(2)(2)求求|P|P1 1Q Q1 1|+|P|+|P2 2Q Q2 2|+|P|+|P3 3Q Q3 3|+|+|P+|Pn nQ Qn n|.|.【解题指南【解题指南】（1 1）求出曲线）求出曲线y=ey=ex x在点在点Q Qk-1k-1(x(xk-1k-1, ), )处的切线处的切线方程，令方程，令y=0y=0可得可得x xk k与与x xk-1k-1的关系的关系. .(2)(2)把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)设点设点P Pk-1k-1的坐标是的坐标是(x(xk-1k-1,0),y=e,0),y=ex x, ,y=ey=ex x, ,3 3分分Q Qk-1k-1(x(xk-1k-1, ), )，在点，在点Q Qk-1k-1(x(xk-1k-1, ), )处的切线方程是处的切线方程是令令y=0,y=0,则则x xk k=x=xk-1k-1-1(k=2,-1(k=2,n).,n).6 6分分(2)x(2)x1 1=0,x=0,xk k-x-xk-1k-1=-1,x=-1,xk k=-(k-1),=-(k-1),|P|Pk kQ Qk k|= |= 9 9分分于是有于是有|P|P1 1Q Q1 1|+|P|+|P2 2Q Q2 2|+|P|+|P3 3Q Q3 3|+|+|P+|Pn nQ Qn n| |=1+e=1+e-1-1+e+e-2-2+ +e+e-(n-1)-(n-1)= =即即|P|P1 1Q Q1 1|+|P|+|P2 2Q Q2 2|+|P|+|P3 3Q Q3 3|+|+|P+|Pn nQ Qn n| | 1212分分【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：（1 1）不明确题意，无法求出在点）不明确题意，无法求出在点Q Qk-1k-1(x(xk-1k-1, ), )处的处的切线方程切线方程. .(2)(2)对数列的应用意识较差，不会把求和问题转化为对数列的应用意识较差，不会把求和问题转化为数列求和解决数列求和解决. .备备考考建建议议解决数列与其他知识的综合问题时，还有以下几点容易造成失分，解决数列与其他知识的综合问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：（1 1）等差、等比数列通项公式及求和公式记忆错误；）等差、等比数列通项公式及求和公式记忆错误；（2 2）不能熟练掌握函数、方程、三角、不等式等知识，从而不能顺）不能熟练掌握函数、方程、三角、不等式等知识，从而不能顺利地利用数列知识解题利地利用数列知识解题. .(3)(3)不能合理利用分类讨论、函数与方程、等价转化、数形结合等思不能合理利用分类讨论、函数与方程、等价转化、数形结合等思想方法解题想方法解题. .另外应培养对数列知识的应用意识，当问题与自然数另外应培养对数列知识的应用意识，当问题与自然数n n有关时，可考有关时，可考虑是否能用数列知识解决虑是否能用数列知识解决. .1.1.（20122012运城模拟）已知数列运城模拟）已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，过点，过点P(n,SP(n,Sn n) )和和Q(n+1,SQ(n+1,Sn+1n+1)(nN)(nN* *) )的直线的斜率为的直线的斜率为3n-2,3n-2,则则a a2 2+a+a4 4+a+a5 5+a+a9 9的值等于的值等于( )( )(A)52 (B)40 (C)26 (D)20(A)52 (B)40 (C)26 (D)20【解析【解析】选选B.B.由题意，知由题意，知SSn+1n+1-S-Sn n=3n-2,=3n-2,即即a an+1n+1=3n-2,a=3n-2,an n=3n-5,=3n-5,因此数列因此数列aan n 是等差数列，是等差数列，a a5 5=10,=10,aa2 2+a+a4 4+a+a5 5+a+a9 9=2(a=2(a3 3+a+a7 7)=4a)=4a5 5=40.=40.2.2.（20122012赣州模拟）已知函数赣州模拟）已知函数且且a an n=f(n)+f(n+1),=f(n)+f(n+1),则则a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a100100等于等于( )( )(A)0 (B)100 (C)-100 (D)10 200(A)0 (B)100 (C)-100 (D)10 200【解析【解析】选选B.aB.an n=f(n)+f(n+1),=f(n)+f(n+1),aa1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a100100= =f(1)+f(2)f(1)+f(2)+ +f(2)+f(3)f(2)+f(3)+ +f(3)+f(4)f(3)+f(4)+ + +f(100)f(100)+f(101)+f(101)= =(3(32 2-2-22 2)+(5)+(52 2-4-42 2)+(7)+(72 2-6-62 2)+)+(101+(1012 2-100-1002 2) )+ +(1(12 2-2-22 2)+(3)+(32 2-4-42 2)+(5)+(52 2-6-62 2)+)+(99+(992 2-100-1002 2) )=(5+9+13+=(5+9+13+201)-(3+7+11+201)-(3+7+11+199)+199)=100.=100.3.(20123.(2012长沙模拟长沙模拟) )已知数列已知数列aan n 满足：满足：a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n=n-a=n-an n(n=1,2,3,(n=1,2,3,).).(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2,a,a3 3的值；的值；(2)(2)求证：数列求证：数列aan-1n-1 是等比数列；是等比数列；(3)(3)令令b bn n=(2-n)(a=(2-n)(an n-1)(n=1,2,3-1)(n=1,2,3),),如果对任意如果对任意nNnN* *，都有，都有b bn n+ + t t2 2, ,求实数求实数t t的取值范围的取值范围. .3.(20123.(2012长沙模拟长沙模拟) )已知数列已知数列aan n 满足：满足：a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n=n-a=n-an n(n=1,2,3,(n=1,2,3,).).(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2,a,a3 3的值；的值；(2)(2)求证：数列求证：数列 an-1an-1 是等比数列；是等比数列；(3)(3)令令b bn n=(2-n)(a=(2-n)(an n-1)(n=1,2,3-1)(n=1,2,3),),如果对任意如果对任意nNnN* *，都有，都有b bn n+ + t t2 2, ,求实数求实数t t的取值范围的取值范围. .【解析【解析】(1)a(1)a1 1= a= a2 2= a= a3 3= =(2)(2)由题可知：由题可知：a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an-1n-1+a+an n=n-a=n-an n a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n+a+an+1n+1=(n+1)-a=(n+1)-an+1 n+1 -可得可得2a2an+1n+1-a-an n=1,=1,即即a an+1n+1-1= (a-1= (an n-1),-1),又又a a1 1-1=-1=所以数列所以数列aan n-1-1是以是以 为首项，以为首项，以 为公比的等比数列为公比的等比数列. .(3)(3)由由(2)(2)可得可得a an n=1-( )=1-( )n n,b,bn n= =由由b bn+1n+1-b-bn n= = 0, 0,可得可得n3.n3.由由b bn+1n+1-b-bn n03,n3,所以所以b b1 1bb2 2bbb5 5 bbn n , ,故故b bn n有最大值有最大值b b3 3=b=b4 4= =所以，对任意所以，对任意nNnN* *，有，有b bn n如果对任意如果对任意nNnN* *, ,都有都有b bn n+ tt+ tt2 2, ,即即b bn ntt2 2- t- t成立，成立，则则(b(bn n) )maxmaxtt2 2- t,- t,故有：故有： tt2 2- t,- t,解得解得t t 或或tt所以，实数所以，实数t t的取值范围是的取值范围是(-, ,+).(-, ,+).