第四章 立体的视图前 言立体是指占有三维空间的形体。视图是用正投影法所绘制出的形体的图形。主视图： 由前向后投影所得的图，即正面投影。俯视图 由上向下投影所得的图，即水平投影。左视图： 由左向右投影所得的图，即侧面投影。一、立体的外观特征：1.占有一定空间，有若干表面，且表面是完全封闭2.形状由其表面形状所确定，不同的体，有不同数量、形状、大小的表面，相同的体，其表面是相同的。3.表面有平面或曲面。4.点、线、面是构成体形状的几何元素 面（即体的表面）：体与空间的分界面 线（即体的表面轮廓线)：体表面面与面的交线，又是与相邻面的边界线 点（即体上的棱角或称结点）：体上轮廓线之间的交点或回转面素线的交汇点二、立体分类：体的形状是多样化的，从体的复杂程度可分为简单体和组合体，体的表面数量较少或表面形状较简单的立体称为简单体；体的表面数量较多或表面形状较复杂，想象成由若干简单体以某种方式组合而形成的立体称为组合体。研究简单体的投影是研究组合体投影的基础。本章主要是讨论简单体的投影。基本立体是最简单的立体。 常见的基本立体常见的基本立体平面立体平面立体曲面立体曲面立体三、立体投影 归结为表面的投影，面的投影即面的边线的投影或面与面交线的投影即为该立体上所有表面投影的集合，或者说所有轮廓线、转向线投影的组合 相同的体当与投影面的相对位置不同，所得投影也不同。所以，对于同一立体所作出的多面正投影图并非是唯一的，它取决于体在投影体系中放置方位这里要讨论的立体投影主要是正置于投影体系中的立体。即立体上主要直线（轮廓线、轴线、转向线）为投影面的垂直线；立体上主要平面（包括对称面）为投影面的平行面 正确的投影图所表示的空间立体应具有唯一性，否则投影图不完整.一、平面立体 平面立体由若干多边形平面围成，绘制平面立体的投影，可归结为作出它的所有多边形表面的投影，也就是作出这些多边形的边线和顶点的投影，投影为封闭的直线框。 属平面立体的简单形体主要指长方体、正棱柱、正棱锥、正棱台等。作为我们讨论的对象。规定：当轮廓线的投影可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线重合时，画粗实线。4l 立体及其表面上的点与线 正三棱柱的立体图及投影示意 体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。返回返回三面投影的展开ZYHYWX0正三棱柱的三面投影返回由于画面是无限大，去掉画框ZYHYWX0正三棱柱的三面投影返回ZYHYWX0长对正宽相等高平齐45正三棱柱的三面投影返回4545正三棱柱的三面投影返回1、棱柱底面底面侧棱面侧棱线返回棱柱的组成及投影示意返回 a a a b b (b )点的可见性规定： 若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。棱柱面上取点返回aa(a)bbccbc棱柱面上取线返回如图所示，已知五棱柱表面上的点F和G的正面投影f(g),求作它们的水平投影和侧面投影。gfgff (g)2、棱锥返回棱锥的组成由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点锥顶。ssascba棱锥的投影acb(c)b 棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在水平投影面上的投影反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。返回三棱锥面上取点已知三棱锥表面上的点D的水平投影,求作其它投影。ddabcaabbd(c )ScSs返回另两种求d 投影的方法dabcabcSdbabcacSdds返回sbsaacb(c)csba1ddy1y1122”y2y223ee3y3y3(3”)1”返回 例例 求作三棱锥表面上的折线的水平投影和侧面投影。先作斜三棱柱的侧面投影 例例 如图所示，求作斜三棱柱的侧面投影及其表面上的折线的水平投影和侧面投影。acbedfabcderqp现求作折线的侧面投影rp再求作折线的水平投影qrpq返回 例例 完成凸字形棱柱的水平投影，并知道表面折线ABCDE的水平投影为一直线，作其三面投影.aeaaeebd(c)( )dcbdcbyyy1y1返回二、曲面立体曲面立体由曲面或曲面和平面所围成。属曲面立体的简单立体主要指圆柱、圆锥、圆台、圆球、圆环等回转体。回转体是由回转面或回转面与平面围成的立体，回转面是指由母线（直线或曲线）绕回转轴线（直线）回转而形成的曲面。有的曲面立体有轮廓线轮廓线，即表面之间的交线，交线有直线、曲线。有的曲面立体有尖点，如圆锥的锥顶；有的曲面立体全部由光滑的曲面所围成，如球。在画曲面的投影时，除了画出曲面立体的轮廓线和尖点外，还要画出曲面立体上的曲面对该对应投影面的转向轮廓线。转向轮廓线是立体上的曲面相对投影面可见部分与不可见部分的分界线。曲线的投影作图方法：分析曲线的空间状态特征分析曲线的投影形状，是直线、圆、椭圆或其它曲线。 直线作出两点的投影可得出； 圆确定圆心、半径可得出； 椭圆如果较完整的情况，确定长、短轴的位置，用四心圆弧法画出； 一般曲线则利用找点法画出。 一般投影曲线的作图方法： 1、作曲线上若干点的投影 先取特殊点（如端点、极限位置上的点、转向线上的点、拐点等）作投影，再根据需要取些一般位置上的点作投影。 2、将作出的投影点依次平滑地连接起来。同样不可见的用虚线画出。曲线及投影曲面的投影涉及到对曲线的投影曲线分类：平面曲线：如圆、椭圆、抛物线、双曲线空间曲线：如螺旋线曲线投影：平面曲线：1）直线；2）曲线空间曲线：曲线 圆柱面上任一位置的母线称为素线，可以说圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。 (1) 圆柱体的组成由圆柱面和两底平面组成。 圆柱面是由直线绕与它平行的轴线旋转而成。 这条运动的直线称为母线。母线上的各点绕轴线旋转时，形成回转面上垂直于轴线的纬圆。 (2) 圆柱面的形成1.圆柱体返回素线轴线纬圆主视转向线 主视转向轮廓线投影 侧视转向轮廓线投影侧视转向轮廓线圆柱面的积聚投影圆圆柱柱返回圆柱的三面投影已知圆柱面上的点A和的正面投影，求作它们的水平投影和侧面投影。abba返回 圆锥面上任一位置的母线称为素线，可以说圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。 (1)圆锥体的组成由圆锥面和底面组成。 圆锥面是由直线绕与它相交的轴线旋转而成。 这条运动的直线称为母线。母线上的各点绕轴线旋转时，形成回转面上垂直于轴线的纬圆。 (2)圆锥体的形成2.圆锥体返回素线轴线纬圆主视转向线 主视转向轮廓线投影 侧视转向轮廓线投影侧视转向轮廓线返回sssa圆锥的三面投影已知圆锥面上的点A的正面投影，求作它们的水平投影和侧面投影。素线法素线法aa返回sssa纬圆法aa返回 球面上任一位置的母线圆称为素线，可以说球面上任一以球心为圆心的圆是球面的素线。 (1)球体的组成由球面组成。 球面是由圆绕与它的中心轴线旋转而成。 这条运动的圆线称为母线。母线上的各点绕轴线旋转时，形成回转面上垂直于轴线的纬圆。 (2)圆球面的形成3.圆球体返回纬圆轴线素线主视转向线 主视转向轮廓线投影 侧视转向轮廓线投影侧视转向轮廓线俯视转向线俯视转向轮廓线投影返回圆球的三面投影已知圆球面上的点A的正面投影，求A的水平投影和侧面投影。aaa返回 (1)圆环体的组成由圆环体组成。 圆环体是由圆绕偏离圆心的中心轴线旋转而成。 这条运动的圆线称为母线，圆环体上任一位置的母线圆称为素线，母线上的各点绕轴线旋转时，形成回转面上垂直于轴线的纬圆。 (2)圆环体的形成4.圆环体返回 (1)复合回转体的组成由回转体组成。 复合回转体是由多义线及自由曲线绕中心轴线旋转而成。 这条运动的线称为母线，复合回转体体上任一位置的母线圆称为素线，母线上的各点绕轴线旋转时，形成回转面上垂直于轴线的纬圆。 (2)复合回转体的形成5.复合回转体返回返回4 42 2 平面与平面立体表面相交 平面与平面立体表面相交问题，主要是讨论平面立体被用平面切割后结构形状被改变所形成的新立体的投影。 立体被切割后原立体的轮廓线发生改变，表面形状发生改变。因此，其投影也有了变化。在投影图上表示出这种变化，即得到新的立体投影。 为便于讨论，平面与立体表面的交线，称为截交线；由截交线围成的平面图形,称为断面。返回scabbasccabs例1:已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。返回例2:求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。返回16543211（2）4（3）5（6）65234431265例3:求立体截切后的投影165432111（2）4（3）5（6）6523465432235411164（5）6543261543262（3）例4:求立体截切后的投影154326例5:已知带槽口的六棱柱的正面和水平投影，求侧面投影.返回例6:作有正方形通孔的六棱柱被正垂面截断后的侧面投影。返回1 （2 ）3412652156345 （6 ）3 （4 ）316425例7:求立体截切后的投影返回4 43 3 平面与回转体表面相交平面与回转体表面相交问题，主要讨论回转体被平面切割后的投影。 回转体是由回转面或回转面与平面围成的立体，回转面是指由母线（直线或曲线）绕回转轴线（直线）回转而形成的曲面。 平面切割回转体与回转体表面形成新的交线，即截交线。 做回转体被平面切割后的投影主要是要做出截交线的投影。 截交线的形状与曲面立体的几何性质和其与截平面的相对位置有关。一对平行直线（素线）素线）椭圆圆（纬圆）一、平面与圆柱相交平面与圆柱面的交线有三种情况： 即平面与圆柱面的轴线三种情况：平行、垂直、倾斜。圆柱截交线例题:返回平行时截交线是素线素线垂直垂直时截交线是纬圆纬圆平面与圆柱面的轴线平行、垂直的例子平面与圆柱面的轴线平行、垂直的例子例：例：补全接头的正面投影和水平投影这是平面与圆柱面的轴线倾斜的例子这是平面与圆柱面的轴线倾斜的例子截交线是椭圆弧椭圆弧例： 如图，补全其水平投影作出截交线例：具有三棱柱孔的圆柱被水平面和正垂面切割掉左上部分后的投影。二、平面与圆锥相交平面与圆锥相交的交线有五种情况：2、截平面通过圆锥面的锥顶时 截交线是素线。3、截平面的倾斜角等于圆锥面的锥角时截交线是抛物线。4、截平面与圆锥面的轴线倾斜倾斜且倾斜角大于锥角时截交线是椭圆。5、截平面与圆锥面的轴线倾倾斜斜且倾斜角小于锥角时截 交线是双曲线。1、截平面与圆锥面的轴线垂直垂直时截交线是纬圆。截交线是双曲线双曲线这是截平面与圆锥面的轴线平行平行时的情况例：补全圆锥体被正平面P切割后其截交线的正面投影。截交线是双曲线双曲线先作出截交线特殊点特殊点 用纬圆法作出截交线最高点最高点用素线法作出截交线一般点一般点最后连成截交线的投影这是截平面与圆锥面的轴线倾斜倾斜且倾斜角大于锥角时截交线是椭圆椭圆先作出截交线特殊点特殊点转向轮廓线上的点用纬圆法作出一般点一般点例：例：补全其侧面投影和水平投影这是截平面与圆锥面的素线相平行时的情况截交线是抛物线抛物线例：例：求作水平投影并补全其侧面投影 这是个有四个截平面切割圆椎的例子。 P和R是截平面通过圆椎面的椎顶时的例子，截交线是素线。Q是截平面与圆椎面的轴线垂直，截交线是纬圆；T是截平面与圆椎面的素线相平行时的情况，截交线是抛物线平面与圆球相交所得截交线形状均为圆。根据截平面与投影平面的相对位置不同，截交线的投影表现为圆、直线和椭圆三种形式。三、平面与球相交例：如图所示，球被正垂面截去左上方，补全球被截断后的水平投影平面与球面的截交线是圆。例： 如图，作出截交线，补全正面投影和水平投影例：例：如图所示，已知其正面投影和垂直于侧面的圆柱孔的侧面投影，补出其水平投影和侧面投影四. 复合回转体的截切 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。返回abccd”d复合回转体的截切返回44 两回转体表面相交 对于一些形体，常常可以看成是两个立体相交而形成，这时称两立体相贯，其相交表面的交线称为相贯线。 如图的形体可看成为两圆柱体相贯形成的，相贯线为两圆柱面的交线。 相交体的形状不同、相交方位不同其相贯线是不同的，对于两立体的曲面相交，相贯线有空间曲线、平面曲线、直线的情况。 用投影表达这类形体作出相贯线的投影是关键。 两曲面立体的相贯线是两曲面立体表面的共有线相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。 求作两曲面立体的相贯线的方法：表面取点法和辅助面法 表面取点法：是：是当两个立体相交面中至少有一个表面对某投影面的投影有积聚性时，由于相贯线是属于该面上的线，此时相贯线的一个投影必然落在该面有积聚性的投影上，即相贯线在此投影面上的投影已知，可用在曲面立体表面上取巳知点的一个投影求其它投影的方法得到相贯线在其它投影面上的投影，此方法称表面取点法。1、表面取点法求相贯线的投影20.220.320.4辅助面法：在一般情况下，则可用辅助面作相贯线上的一些点也就是求出辅助面与这两个立体表面的三面共点即为相贯线上的点。辅助面常用平面、球面等1、辅助面法例：求作圆柱和圆锥的相贯线PHRVQV例：求作圆台和球的相贯线，补全相贯体的投影PVQW例：求作轴线为正平线和侧平线的两圆柱的相贯线，补全相贯体的水平投影。21.121.221.421.51、两外表面相交两外表面相交返回二、相贯线的三种基本形式 2、外表面与内表面相交外表面与内表面相交返回3、两内表面相交两内表面相交返回7、21.7相贯线的特殊情况一返回三、相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况二返回相贯线的特殊情况三返回相贯线的特殊情况四返回相贯线的特殊情况五返回 作图时要抓住一个关键点:三面共点，相贯线汇交于这一点。四、多体复合相贯 对于多体相贯，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后分别进行相贯线的分析与作图。返回多体复合相贯找出三面共点返回例5：补全主视图返回多体复合相贯返回更多的例子返回例：求作半球与两个圆柱的组合相贯线例：例： 补全图中所示顶针的投影结束