30.230.2 .3. .3.用样本估计总体用样本估计总体 一、课前准备一、课前准备问题：2002年北京的空气质量情况如何？请用简单随机抽样方法选取该年的30天，记录并统计这30天北京的空气污染指数，求出这30天的平均空气污染指数，据此估计北京2002年全年的平均空气污染指数和空气质量状况。请同学们查询中国环境保护网，网址是http:/www.zhb.gov.cn。二、新课二、新课1.1.北京在这北京在这3030天的空气污染指数及质量级天的空气污染指数及质量级别，如下表所示：别，如下表所示：用样本估用样本估计总体计总体这这30个空气污染指数的平均数为个空气污染指数的平均数为107，据此估计该城市，据此估计该城市2002年的平均年的平均空气污染指数为空气污染指数为107，空气质量状况，空气质量状况属于轻微污染。属于轻微污染。讨论：同学们之间互相交流，算一讨论：同学们之间互相交流，算一算自己选取的样本的污染指数为多少？算自己选取的样本的污染指数为多少？根据样本的空气污染指数的平均数，估根据样本的空气污染指数的平均数，估计这个城市的空气质量。计这个城市的空气质量。2 2、体会用样本估计总体的合理性、体会用样本估计总体的合理性经比较可以经比较可以发现，虽然发现，虽然从样本获得从样本获得的数据与总的数据与总体的不完全体的不完全一致，但这一致，但这样的误差还样的误差还是可以接受是可以接受的，是一个的，是一个较好的估计。较好的估计。显然，由于各位同学所抽取的样本的不同，样显然，由于各位同学所抽取的样本的不同，样本的污染指数不同。但是，正如我们前面已经看到本的污染指数不同。但是，正如我们前面已经看到的，的，随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的增加，由样本得出的平均数往往会更接近总体的平增加，由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠的的. . 对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做法是给出具有一定可靠程度的一个估计值的范围法是给出具有一定可靠程度的一个估计值的范围 . .将来同学们会学习到有关的数学知识。将来同学们会学习到有关的数学知识。 练习：练习：同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图，同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图，并和并和2002年全年的相应数据的统计图进行比较，年全年的相应数据的统计图进行比较，想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理？想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理？活动活动2人们常说人们常说“吸烟有害吸烟有害”，这一般是指吸烟有害于人类的健康，那，这一般是指吸烟有害于人类的健康，那么，香烟对其他动植物的生长是否也不得呢？上海市闵行中学的么，香烟对其他动植物的生长是否也不得呢？上海市闵行中学的师生们做过一个师生们做过一个“香烟浸出液浓度对于种子萌芽的影响香烟浸出液浓度对于种子萌芽的影响”的实验，的实验，他们选用常见的绿豆及赤豆各他们选用常见的绿豆及赤豆各50粒作为种子的代表，观察在三种粒作为种子的代表，观察在三种不同浓度的香烟浸出液中它们每天出芽的数目，获得的实验数据不同浓度的香烟浸出液中它们每天出芽的数目，获得的实验数据如表如表30.2.3所示：所示：香香烟烟浸浸出出据此，你们估计香烟浸出液对绿豆及赤豆的出芽率有怎样的据此，你们估计香烟浸出液对绿豆及赤豆的出芽率有怎样的影响？影响？如果再重复这个实验，实验数据是否可能与他们获得的不一致？如果再重复这个实验，实验数据是否可能与他们获得的不一致？（浓度越大，出芽越慢，出芽率越低。浓度越大，出芽越慢，出芽率越低。）为了一般地研究为了一般地研究“香烟浸出液浓度对于种子萌芽的影响香烟浸出液浓度对于种子萌芽的影响”，是否，是否需要选取一些其他的种子做类似的实验？需要选取一些其他的种子做类似的实验？（可能不一致，因为还应考虑影响种子发芽的其他因素，温度等。）（可能不一致，因为还应考虑影响种子发芽的其他因素，温度等。）如果有兴趣，请动手做一做，再与同学们一起讨论各自获得的如果有兴趣，请动手做一做，再与同学们一起讨论各自获得的数据和结论。数据和结论。（对此问题，你们可以课后查阅有关生物资料，并亲自动手实验获（对此问题，你们可以课后查阅有关生物资料，并亲自动手实验获得更为感性的认识。）得更为感性的认识。）(香烟浸出液1： 2支香烟浸于200ml水；香烟浸出液2： 3支香烟浸于200ml水；香烟浸出液3： 4支香烟浸于200ml水)表表30.2.3活动活动3思考：思考：一个年级有几百个学生，可是计算器一次只能计算几十个数据，一个年级有几百个学生，可是计算器一次只能计算几十个数据，怎么办？怎么办？假设你们学校在千里这外还有一个友好姐妹学校，假设你们学校在千里这外还有一个友好姐妹学校，那个学校的那个学校的9年级学生想知道你们学校年级学生想知道你们学校9年级男、女生年级男、女生的平均身高和体重。请提出若干个了解你们年级男、的平均身高和体重。请提出若干个了解你们年级男、女学生平均身高和体重情况的方案，并按照解决问题女学生平均身高和体重情况的方案，并按照解决问题的不同方法，分成几个组，分别尝试一下你们的办法。的不同方法，分成几个组，分别尝试一下你们的办法。比一比，评一评，看哪种方法好。（比一比，评一评，看哪种方法好。（如节省时间、结如节省时间、结果误差小等等果误差小等等）（1.用计算机求平均数；用计算机求平均数；2.先统计各个数据出现的频数再作计算；先统计各个数据出现的频数再作计算；3.先算出每个班的平均数再计算年级的平均数。）先算出每个班的平均数再计算年级的平均数。）3 3、加权平均数的求法、加权平均数的求法问题问题1 1：在计算在计算2020个男同学平均身高时，个男同学平均身高时，小华先将所有数据按由小到大的顺序小华先将所有数据按由小到大的顺序排列，如下表所示：排列，如下表所示：然后然后, ,他这样计算这他这样计算这2020个学生的平均身高：个学生的平均身高：小华这样计算平均数可以吗？为什么？小华这样计算平均数可以吗？为什么？问题问题2 2：假设你们年级共有四个班级，假设你们年级共有四个班级，各班的男同学人数和平均身高如表所示各班的男同学人数和平均身高如表所示. .小强这样计算全年级男同学的平均身高：小强这样计算全年级男同学的平均身高：小强这样计算平均数可以吗？为什么？小强这样计算平均数可以吗？为什么？（小强的计算方法是错误的，因为他没有考虑到各班男生小强的计算方法是错误的，因为他没有考虑到各班男生人数是不一样的，应该照小华的方法计算。）人数是不一样的，应该照小华的方法计算。）例例1. 有的同学认为，要了解我们学校有的同学认为，要了解我们学校500名学生中能够说名学生中能够说出父母亲生日的人的比例，可以采取简单的随机抽样的方出父母亲生日的人的比例，可以采取简单的随机抽样的方法进行调查，但是，调查法进行调查，但是，调查250名学生反而不及调查名学生反而不及调查100名名学生好，因为人太多了以后，样本中知道父母亲生日的人学生好，因为人太多了以后，样本中知道父母亲生日的人的比例反而说不准，你同意吗的比例反而说不准，你同意吗?为什么为什么? 解：解：不同意上述说法通常情况下，样本越大，样不同意上述说法通常情况下，样本越大，样本的估计越接近总体的实际状况本的估计越接近总体的实际状况 评注：评注：1.数学家已经证明，随机抽样方法是数学家已经证明，随机抽样方法是科学科学而且而且可靠的。可靠的。 2.基于不同的样本，可能会对总体作出不同的估计值，基于不同的样本，可能会对总体作出不同的估计值，但但随着样本容量的增加随着样本容量的增加，有样本得出的特性会，有样本得出的特性会接近接近总体的特性。总体的特性。 例例2某养鱼专业户为了估计湖里有多少条鱼，先捕上某养鱼专业户为了估计湖里有多少条鱼，先捕上100条做上标记，然后放回到湖里，过一段时间待带标条做上标记，然后放回到湖里，过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中条鱼，发现其中带标记的鱼有带标记的鱼有20条，湖里大约有多少条鱼条，湖里大约有多少条鱼? 解：解： 设湖里大约有设湖里大约有x条鱼，条鱼， 则则 100：x20：200 x1000 答：湖里大约有答：湖里大约有1000条鱼条鱼评注：评注：本题一方面考查了学生由样本估计总体的思本题一方面考查了学生由样本估计总体的思想方法和具体做法，另一想方法和具体做法，另一 方面考察了学生应用数学方面考察了学生应用数学的能力，这也是中考命题的一个重要方向的能力，这也是中考命题的一个重要方向 例例3.某地区为筹备召开中学生运动会，指定要从某校初二年级某地区为筹备召开中学生运动会，指定要从某校初二年级9个班中抽取个班中抽取48名女生组成花束队，要求队员的身高一致，现随机名女生组成花束队，要求队员的身高一致，现随机抽取抽取10名初二某班女生体检表名初二某班女生体检表(各班女生人数均超过各班女生人数均超过20人人)，身高，身高如下如下(单位：厘米单位：厘米)：165 162 158 157 162 162 154 160 167 155 (1) 求这求这10名学生的平均身高；名学生的平均身高； (2) 问该校能否按要求组成花束队，试说明理由问该校能否按要求组成花束队，试说明理由 解：解：(1) 这这10名学生的平均身高：名学生的平均身高： (2) 由于样本的众数为由于样本的众数为162厘米，从而可估计一个班级厘米，从而可估计一个班级至少有至少有6名女同学的身高为名女同学的身高为162厘米从而可估计全校身厘米从而可估计全校身高为高为162厘米的女生数为：厘米的女生数为：69=5448。所以该校能按。所以该校能按要求组成花束队。要求组成花束队。 （1 1）、）、公交公交508508路总站设在一居民小区附路总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了人数，随机抽查了1010个班次的乘车人数，个班次的乘车人数，结果如下：结果如下：20 23 26 25 29 28 30 20 23 26 25 29 28 30 25 21 2325 21 23(1)(1)计算这计算这1010个班次乘车人数的平均数；个班次乘车人数的平均数；(2)(2)如果在高峰时段从总站共发车如果在高峰时段从总站共发车6060个班次，个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘车出行的乘客共有多少人？总站乘车出行的乘客共有多少人？练习练习1：（2）.某某饮食食店店认真真统计了了一一周周中中各各种种点点心心的的销售售情情况况，统计结果果如如下下表表所所示示，你你认为这样的的统计结果果对该店店的的管管理人理人员有用有用吗?请说明你的理由明你的理由一周中各种点心一周中各种点心销售情况售情况统计表表点心种点心种类牛肉拉牛肉拉面面煎包煎包肉包肉包菜包菜包豆豆浆油条油条销售数售数量量745碗碗15306个个10200个个8007个个4600碗碗7502根根为估计一次性木质筷子的用量，为估计一次性木质筷子的用量，19991999年从某县共年从某县共600600家高、家高、中、低档饭店抽取中、低档饭店抽取1010家作样本，这些饭店每天消耗的一次家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：性筷子盒数分别为： 0.60.6、3.73.7、2.22.2、1.51.5、2.82.8、1.71.7、1.2 1.2 、2.12.1、3.23.2、1.01.0(1)(1)通过对样本的计算，估计该县通过对样本的计算，估计该县19991999年消耗了多少盒一次年消耗了多少盒一次性筷子（每年按性筷子（每年按350350个营业日计算）；个营业日计算）；(2)2001(2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是了抽样调查，调查的结果是1010个样本饭店，每个饭店平均个样本饭店，每个饭店平均每天使用一次性筷子每天使用一次性筷子2.422.42盒求该县盒求该县20002000年、年、20012001年这两年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（20012001年该年该县饭店数、全年营业天数均与县饭店数、全年营业天数均与19991999年相同）年相同）；(3)(3)在在(2)(2)的条件下，若生产一套学生桌椅需木材的条件下，若生产一套学生桌椅需木材0.07m0.07m3 3，求，求该县该县20012001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅椅计算中需用的有关数据为：每盒筷子计算中需用的有关数据为：每盒筷子100100双，每双筷子的质双，每双筷子的质量为量为5g5g，所用木材的密度为，所用木材的密度为0.5103kg/m0.5103kg/m3 3; ;(4)(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来练习练习2：解解:(1)所以所以, ,该县该县19991999年消耗一次性筷子为年消耗一次性筷子为2600350=4200002600350=420000（盒）（盒）(2)(2)设平均每年增长的百分率为设平均每年增长的百分率为x x，则，则2 2（1+1+X X）2 2=2.42=2.42解得解得X X1 1=0.1=10%=0.1=10%，X X2 2= =2.12.1（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）所以所以, ,平均每年增长的百分率为平均每年增长的百分率为10%10%(3)(3)可以生产学生桌椅套数为可以生产学生桌椅套数为（套）（套）(4)(4)先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性筷子的用量一次性筷子的用量在一个班的在一个班的4040学生中，学生中，1414岁的有岁的有5 5人，人，1515岁的有岁的有3030人，人，1616岁的有岁的有4 4人，人，1717岁的有岁的有1 1人，人，求这个班级学生的平均年龄。求这个班级学生的平均年龄。练习练习3： 专家提醒，目前我国儿童青少年专家提醒，目前我国儿童青少年的健康存在着五个必须重视的问题：的健康存在着五个必须重视的问题：营养不良和肥胖、近视、龋齿、贫血营养不良和肥胖、近视、龋齿、贫血以及心理卫生你认为这是用普查还以及心理卫生你认为这是用普查还是抽样调查得到的结果？设计一份调是抽样调查得到的结果？设计一份调查卷和一个抽样调查方案，了解我们查卷和一个抽样调查方案，了解我们学校学生是否普遍存在这五个健康问学校学生是否普遍存在这五个健康问题，是否严重？题，是否严重？练习练习4：我当设计师我当设计师三、小结三、小结: : 一般来说，用样本估计总体时，一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确，相应地，搜集、整理、也就越精确，相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，因此，计算数据的工作量也就越大，因此，在实际工作中，样本容量既要考虑在实际工作中，样本容量既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小。可能性和所付出的代价的大小。知识回顾知识回顾四、作业四、作业108 习题30.2 、 4题课时作业设计课时作业设计一、一、某班一次语文测验的成绩如下：得某班一次语文测验的成绩如下：得100分的分的7人，人，90分的分的14人，人，80分的分的17人，人，70分的分的8人，人，60分的分的2人，人，50分的分的2人，计算这次测验全班的平均人，计算这次测验全班的平均成绩。成绩。二、二、由于学习的紧张的电视、电脑的影响，中学由于学习的紧张的电视、电脑的影响，中学生的视力问题越来越严重。请同学们分成几个组，生的视力问题越来越严重。请同学们分成几个组，对中学生的视力情况做一调查，以此来估计你所对中学生的视力情况做一调查，以此来估计你所在地区的中学生的视力情况。几组这间进行比赛，在地区的中学生的视力情况。几组这间进行比赛，看看哪一组所选取的样本更接近于总体的特性。看看哪一组所选取的样本更接近于总体的特性。