题型五几何图形探究题专题二 解答重难点题型突破类型一几何图形静态探究(2017.22，2015.22)【例1】(2016河南)(1)发现：如图，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb.填空：当点A位于_时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_？(用含a，b的式子表示)；(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC3，AB1，如图所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值(3)拓展：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA2，PMPB，BPM90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标【分析】(1)点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值；(2)根据已知等边ABD，BE、CD所在CAD和EAB中含等边三角形的两边，进而考虑证CADEAB进行求解；根据中CDBE，由点A为动点BC外动点，转化为(1)中情形求解；(3)要求AM的最大值，由点P为AB外一动点，将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN，连接AN，得到与AM相等的线段BN，进而将问题转化为“线段外一动点N，求NB的最大值”，结合(1)中结论即可求解确定AM最大时点P位置，通过等腰直角三角形的性质即可求点P的坐标BECD，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在线段CB的延长线上，最大值为BDBCABBC4；BE长最大为4 【对应训练】1(2016郑州模拟)(1)【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图，ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足ADE60，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系小明发现，过点D作DFAC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：_；(2)【类比探究】如图，当点D是线段BC上(除B，C外)任意一点时(其他条件不变)，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论(3)【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CDBC(其他条件不变)时，请直接写出ABC与ADE的面积之比(2)ADDE；证明：如解图，过点D作DFAC，交AB于点F，ABC是等边三角形，ABBC，BACBBAC60，又DFAC，BDFBFD60，BDF是等边三角形，BFBDDF，BFD60，AFCD，AFD120，EC是外角的平分线，DCE120AFD，ADC是ABD的外角，ADCBFAD60FAD，类型二几何图形动态探究(2016.22，2014、2013、2012.22)【例2】(2017河南)如图，在RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点(1)观察猜想图中，线段PM与PN的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值【对应训练】1(2017濮阳模拟)(1)【问题发现】 如图，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为_；(2)【拓展研究】在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图的情形给出证明；(3)【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长. 2(2017郴州)如图，ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA6 cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，连接DE.(1)求证：CDE是等边三角形；(2)如图，当6t10时，BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由(3)存在当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意，当0t6时，由旋转可知，ABE60，BDE60，BED90，由(1)可知，CDE是等边三角形，DEC60，CEB30，CEBCDA，CDA30，CAB60，ACDADC30，DACA4，ODOADA642，t212 s；当6t10 s时，由DBE12090，此时不存在；当t10 s时，由旋转的性质可知，DBE60，又由(1)知CDE60，BDECDEBDC60BDC，而BDC0，BDE60，只能BDE90，从而BCD30，BDBC4，OD14 cm，t14114 s，综上所述：当t2或14 s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.