第四章第四章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算4.0 4.0 问题描述问题描述4.1 4.1 乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法 44. .2 2 雅可比方法雅可比方法4.0 4.0 问题描述问题描述 设设A A为为n nn n矩阵，所谓矩阵，所谓A A的特征问题是求数的特征问题是求数 和非和非零向量零向量x x，使，使AxAx x x成立。数成立。数 叫做叫做A A的一个的一个特征值特征值，非零向量，非零向量x x叫做叫做与特与特征值征值 对应的特征向量对应的特征向量。这个问题等价于求使方程组。这个问题等价于求使方程组( (A A- - I I) )x x=0=0有非零解的数有非零解的数 和相应的非零向量和相应的非零向量x x。 线性代数理论中是通过求解特征多项式线性代数理论中是通过求解特征多项式detdet( (A A- - I I)=0)=0的零点而得到的零点而得到 ，然后通过求解退化的方程组，然后通过求解退化的方程组( (A A- - I I) )x x=0=0而得到而得到非零向量非零向量x x。当。当矩阵阶数很高时，这矩阵阶数很高时，这种方法极为困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值种方法极为困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值以及特征向量比较有效的方法是迭代法和变换法。以及特征向量比较有效的方法是迭代法和变换法。4.1 4.1 乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法 一、乘幂法一、乘幂法 通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法，通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法，它用以求它用以求按模最大的特征值和相应的特征向量按模最大的特征值和相应的特征向量。 设实矩阵设实矩阵A A的特征值为的特征值为 1 1, , 2 2, , n n，相应的特征向相应的特征向量量 线性无关。设线性无关。设A A的特征值按模排序为：的特征值按模排序为：则对则对任一非零向量任一非零向量 ，可以得到：，可以得到：令令 ，可以构造一个向量序列，可以构造一个向量序列，根据特征值的定义根据特征值的定义若 由于 ，故k充分大时， 是相应于是相应于 的近似特征向量的近似特征向量设设 表示表示综上可知，求矩阵主特征值及相应的特征向量的综上可知，求矩阵主特征值及相应的特征向量的计计算步骤算步骤如下：如下：Step1:任给任给n n维初始向量维初始向量U U(0)(0) 0;0;Step2:按按U U( (k k) )= =AUAU( (k k-1)-1)( (k k=1,2,)=1,2,)计算计算U U( (k k) ); ;Step3:如果如果k k从某个数后分量比从某个数后分量比 则取则取 1 1 c c，而，而U U( (k k) )就是与就是与 1 1对应的一个近似特对应的一个近似特征向量。征向量。上述方法即上述方法即乘幂法乘幂法。Remark1Remark1: :具体计算时，具体计算时，U U(0)(0)的选取很难保证一定有的选取很难保证一定有 1 1 0 0。但是，由于舍入误差的影响，只要迭代次数足够多，但是，由于舍入误差的影响，只要迭代次数足够多，如如 ，就会有，就会有 ，因而最，因而最后结论是成立的。对于后结论是成立的。对于 的情形，由于对任意的情形，由于对任意l l均有上面的结论，故只要取另外的均有上面的结论，故只要取另外的l l使使 即可。即可。 Remark2Remark2: :以上讨论只是说明了乘幂法的基本原理。以上讨论只是说明了乘幂法的基本原理。当当 太小或太大时，将会使太小或太大时，将会使U U( (k k) )分量的绝对值分量的绝对值过小过小或过大，以致运算无法继续进行。因此，实际计算或过大，以致运算无法继续进行。因此，实际计算时，常常是每进行时，常常是每进行m m步迭代进行一次规范化，如用步迭代进行一次规范化，如用其中，其中，max(max(U U( (m m) ) )表示向量表示向量U U( (m m) )的绝对值最大的分量。的绝对值最大的分量。代替代替U U( (k k) )继续迭代。由于特征向量允许差一个非零常继续迭代。由于特征向量允许差一个非零常数因子，因而从数因子，因而从V V( (k k) )往后继续迭代与从往后继续迭代与从U U( (k k) )往后继续往后继续迭代的收敛速度是相同的，但规范化的做法有效防迭代的收敛速度是相同的，但规范化的做法有效防止了溢出现象。至于止了溢出现象。至于m m的选取，可以自由掌握，如取的选取，可以自由掌握，如取m m1 1，5 5等等。等等。Remark3Remark3: :若若主特征值是重特征值，如主特征值是重特征值，如则有则有从而由此可得乘幂法的算法。但是应该注意到，在重特征由此可得乘幂法的算法。但是应该注意到，在重特征值的情形下，从不同的非零初始向量出发迭代，可能值的情形下，从不同的非零初始向量出发迭代，可能得到主特征值的几个线性无关的特征向量。得到主特征值的几个线性无关的特征向量。Remark4Remark4: :由由上述推导可知，乘幂法收敛的快慢取上述推导可知，乘幂法收敛的快慢取决于比值决于比值 的大小，该比值越小收敛越的大小，该比值越小收敛越快。快。 由此便提出了乘幂法的加速收敛方法，如由此便提出了乘幂法的加速收敛方法，如RayleighRayleigh商加速法、原点平移法等。商加速法、原点平移法等。Remark5Remark5: :对于对于 1 1- - 2 2，或，或 1 1与与 2 2共轭等情形，也可共轭等情形，也可类似进行计算，具体可参阅相关教材。类似进行计算，具体可参阅相关教材。对对 用反幂法求解按模最大的特征值是用反幂法求解按模最大的特征值是 ，特，特设矩阵设矩阵A A非奇异，用非奇异，用 代替代替A A作幂的方法就成为作幂的方法就成为反反的特征值满足的特征值满足 ，并且并且A A对应于对应于A A-1-1的的相应的特征向量是相同的。相应的特征向量是相同的。 幂法幂法。当。当A A的特征值满足的特征值满足 时，征向量是征向量是 ，即是，即是A A的按模最小的特征值和特征向量的按模最小的特征值和特征向量。二、反幂法二、反幂法 计算矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量。计算矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量。Step2：计算计算U U( (k k) )= =A A-1-1U U( (k k-1)-1)( (k k=1,2,)=1,2,)；Step3:如果如果k k从某个数后分量比从某个数后分量比则取则取 ，而，而U U( (k k) )就是与就是与 n n对应的一个近似特征对应的一个近似特征向量向量。反幂法的反幂法的计算步骤计算步骤如下：如下：Step1：任取任取 ；Remark2：若若已已知知矩矩阵阵A的的某某个个特特征征值值 i的的相相对对分分离离较较好好的的近近似似值值p。不不要要求求p的的近近似似程程度度有有多多好好，只只要要求求j i时，时， ，则，则 便是便是 的主特征值。的主特征值。这这样样一一来来，就就可可以以使使用用反反幂幂法法求求解解矩矩阵阵的的在在某某点点附附近近的特征值及其特征向量。的特征值及其特征向量。Remark1:实际计算时一般并不求实际计算时一般并不求A A-1-1，而是将算法中的而是将算法中的迭代公式迭代公式U U( (k k) )= =A A-1-1U U( (k k-1)-1)改为解方程组改为解方程组AUAU( (k k) )= =U U( (k k-1)-1)。由于由于每步所解方程组具有相同的系数矩阵每步所解方程组具有相同的系数矩阵A A，故常常是先将故常常是先将A A进行三角分解，然后转化为每步只需用回代公式求解进行三角分解，然后转化为每步只需用回代公式求解两个三角方程组。这样可以减少计算工作量。两个三角方程组。这样可以减少计算工作量。