2.8 直角直角三角形三角形全等的判定全等的判定问题1如如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美了美观，工作人，工作人员想知道想知道这两个直角三角形是否全两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法被花盆遮住无法测量你能帮工作人量你能帮工作人员想个想个办法法吗？ （1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个 问题吗？问题吗？探究新知 （2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？问题问题1如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量你能帮工作人员想个办法吗？量你能帮工作人员想个办法吗？问题问题2任意画一个任意画一个RtABC，使，使C = =90，再画，再画一个一个RtABC，使使C= =90，BC= =BC，AB= =AB，然后把画好的，然后把画好的RtABC剪下来放到剪下来放到RtABC上，你发现了什么？上，你发现了什么？ABCRtABC RtABCABC（1） 画画MCN = =90；（2）在射线）在射线CM上取上取BC= =BC；（3） 以以B为圆心，为圆心，AB为半径画弧，为半径画弧， 交射线交射线C N于点于点A；（4）连接）连接AB现象：现象：两个直角三角形能重合两个直角三角形能重合说明：说明：这两个直角三角形全等这两个直角三角形全等画法：画法：A NMCB实验探索 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简写为（简写为“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”）A BCA BC几何语言：几何语言：在在RtABC 和和 RtABC中，中， AB = =AB， BC = =BC，RtABC RtABC（HL） 探究归纳证明：证明：ACBC，BDAD，C 和和D 都是直角都是直角在在RtABC 和和 RtBAD 中，中， AB = =BA， AC = =BD，RtABC RtBAD（HL）BC = =AD（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）例例1如图，如图，ACBC，BDAD，AC = =BD 求证：求证：BC = =ADABCD学以致用变式变式1如图，如图，ACBC，BDAD，要证，要证ABC BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由，需要添加一个什么条件？请说明理由（1） （ ）；）；（2） （ ）；）；（3） （ ）；）；（4） （ ）AD = = BCAC = = BDDAB = = CBADBA = = CABHLHLAASAASABCD变式训练问题3如如图，要在，要在S 区建一个广告牌区建一个广告牌P，使它到，使它到 两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙你帮忙设计一下，一下，这个广告牌个广告牌P 应建于何建于何处（在（在图上上 标出它的位置，比例尺出它的位置，比例尺为1：20 000）？）？ S继续探究问题问题4交换角的平分线的性质中的已知和结论，交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？你能得到什么结论，这个新结论正确吗？在一个角的内部在一个角的内部, , 且到角的两边距离相等的点在且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上这个角的平分线上. .如图, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是D, E(已知),点P在AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.CB1A2PDEO角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上探究归纳已知已知: 如图所示如图所示, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是垂足分别是D,E.求证求证: 点点P在在AOB的平分线上的平分线上.BACDEOP证明：证明： PDOA ，PEOB POD和和POE都是都是Rt PD=PE,OP=OP RtPOD RtPOE(HL) POD= POE OC是是AOB的平分线的平分线 点点P在在AOB的平分线上的平分线上探索证明例例2 如图如图, ABC的角平分线的角平分线BM, CN相交于点相交于点P, 求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA 的距离相等的距离相等.ABCPMNDEF证明：证明：过点过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F BM为为ABC的角平分线的角平分线PD=PE同理同理, PE=PF. PDPE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等学以致用XABOQMN1判断题：判断题： （1）如图，若）如图，若QM = =QN，则，则OQ 平分平分AOB；( )( )课堂练习X 1判断题：判断题： （2）如图，若）如图，若QMOA 于于M，QNOB 于于N，则，则OQ是是AOB 的平分线；的平分线； ( ) ( ) ABOQMN 1判断题：判断题： （3）已知：）已知：Q 到到OA 的距离等于的距离等于2 cm， 且且Q 到到OB 距离等于距离等于2 cm，则，则Q 在在AOB 的平分线上的平分线上( )( )ABOQMN2. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯相等，两个滑梯 的倾的倾斜角斜角ABC 和和DFE 的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？ABC + +DFE = =90 证明：证明： ACAB，DEDF， CAB 和和FDE 都是直角都是直角在在RtABC 和和 RtDEF 中，中，BC = =EF，AC = =DF， RtABC RtDEF（HL）2. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯相等，两个滑梯 的倾的倾斜角斜角ABC 和和DFE 的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？证明：证明： ABC = =DEF （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） DEF + +DFE = =90， ABC + +DFE = =90 2. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯相等，两个滑梯 的倾的倾斜角斜角ABC 和和DFE 的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？（1）“HL”判定方法判定方法应满足什么条件？与之前所学足什么条件？与之前所学 的四种判定方法有什么不同？的四种判定方法有什么不同？（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？）判定两个直角三角形全等有哪些方法？课堂小结（3）角平分线的性质定理的掌握与应用）角平分线的性质定理的掌握与应用教科教科书作作业题第第2、3、4题课后作业