24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时 切线长定理50 1 1、如何过、如何过OO外一点外一点P P画出画出OO的切线？的切线？ 2 2、这样的切线能画出几条？、这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出如下左图，借助三角板，我们可以画出PAPA是是OO的切线。的切线。3 3、如果、如果P=50P=50, ,求求AOBAOB的度数的度数130在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做的线段的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长OPAB切线切线与与切线长切线长是一回事吗？是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？它们有什么区别与联系呢？ 切切线和切和切线长是两个不同的概念：是两个不同的概念：1、切、切线是一条与是一条与圆相切的直相切的直线，不能度量不能度量；2、切、切线长是是线段的段的长，这条条线段的两个端点分段的两个端点分别是是圆外一点和切点，可以外一点和切点，可以度量度量。OPAB OABP12思考思考：已知已知O切线切线PA、PB，A、B为切点，为切点，把圆沿着直线把圆沿着直线OP对折对折,你能发现什么你能发现什么?请证明你所发现的结论。请证明你所发现的结论。APOBPA = PB OPA= OPB证明：证明： PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即 OAP= OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA= OPBPA、PB分别分别切切O于于A、BPA = PB OPA= OPB 从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。 几何语言几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法等提供新的方法OPABAPOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分为顶角的平分 线线 OP垂直平分垂直平分ABMAPO。B 若延长若延长PO交交O于点于点C，连结，连结CA、CB，你你又能得出什么新的结论又能得出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明： PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA= OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。ECDBFAO例2 如图，ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切与D,E,F,且AB=9，BC=13.求AF,BD,CE的长.解： 设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC，可得（13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角条切线的夹角。 APO。BECD PA、PB分别切分别切O于于A、B PA = PB , OPA= OPB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角相等，线段相等，角相等，弧相等，垂直关系弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。掌握并能灵活应用。我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 六个六个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。练习练习2.如图，如图，AB是是O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，为切点， (1)求证：求证：OD OC (2)若若BC=9，AD=4，求，求OB的长的长. OABCDE