1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的根本性质第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念点此播放讲课视频点此播放讲课视频 1.1.1 集合的含义及表示元素的定义：我们把研讨的对象统称为元素 例如：研讨1到20之间的整数，这20个数字就是元素 集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合 例如：研讨1到20之间的整数，这20个数就是一个集合点此播放讲课视频点此播放讲课视频集合的性质集合的性质 1.互异性：集合中的元素不反复出互异性：集合中的元素不反复出现现 2.确定性：给定一个元素，在不在确定性：给定一个元素，在不在这个集合中就确定了这个集合中就确定了 3.无序性：集合中的元素在集合内无序性：集合中的元素在集合内部没有固定的位置部没有固定的位置 判判别以下命以下命题能否正确能否正确 a.“ a.“中国的大城市是一个集合中国的大城市是一个集合 错 b.“ b.“自然数是一个集合自然数是一个集合 对 c.“ c.“一切的正方形是一个集合一切的正方形是一个集合 对 d.“ d.“有文化的人是一个集合有文化的人是一个集合 错 e.“ e.“大于大于3 3小于小于1111的偶数是一个集合的偶数是一个集合 对 f.“ a f.“ a，1 1，4, 6 4, 6 其中其中a a为常数构成集合常数构成集合 错点拨：点拨：a、 d.不满足确定性，所以是错不满足确定性，所以是错误误 当当f=1或或4或或6时都不满足不反复性，时都不满足不反复性，所以不是集合所以不是集合集合与元素的关系集合与元素的关系 a.假假设a是集合是集合A的元素就的元素就说a属于属于A 记作：作：aA b.假假设a不是集合不是集合A的元素就的元素就说a不属于不属于A 集合地表示集合地表示 1.列举法：把元素一一列举出来列举法：把元素一一列举出来 例如：例如：23,3,48,4,6 2.描画法描画法 a.自然言语描画自然言语描画 例如：例如：1到到20的整数的整数 b.数学言语描画数学言语描画 例如：例如：x |x20 牢记的常用集合牢记的常用集合 正整数集正整数集 N* 自然数集自然数集 N 整数集整数集 Z 有理数集有理数集 Q 实数集实数集 R 虚数集虚数集 C1.1.2 集合间根本关系子集的定义：假设A的全部元素都在B中，称A为B的子集子集的表示：Venn图韦恩图真子集：假设A包含于B，且存在元素x在A中但不在B中,称这时的子集为真子集空集：不含任何元素的集合叫做空集包含、包含于、不包含、不包含于的区别包含、包含于、不包含、不包含于的区别 a.假设假设A是是B的子集，称的子集，称A包含于包含于B或或B包包 含含A b.假设假设A不是不是B的子集，称的子集，称A不包含于不包含于B或或B不包含不包含A 例如：判别以下两个集合的关系例如：判别以下两个集合的关系 1A=1,2,4，B=x |x是是8 的约数的约数； 2A=x |x是是4与与10的公倍数，的公倍数，x是自然数是自然数，B=x |x=20m,m为自然数为自然数 规定：规定：1空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集 2空集是任何非空集合的真子集空集是任何非空集合的真子集 易见：任何一个集合是它本身的子集，都易见：任何一个集合是它本身的子集，都 不是它本身的真子集不是它本身的真子集 传送性：包含、属于、相等传送性：包含、属于、相等 定义留给同窗们本人练定义留给同窗们本人练习写出习写出集合相等：假设集合相等：假设A的全部元素在的全部元素在B中，中，假设假设B的全部元素在的全部元素在A中中,称称A等于等于B ;记作记作A=B例如：写出集合例如：写出集合a，b，c的一切子集。的一切子集。 留意：既然曾经说是集合，就有留意：既然曾经说是集合，就有a，b，c互不一样互不一样点此播放讲课视频点此播放讲课视频1.1.3 集合的根本运算并集：由一切属于A或属于B的元素组成的集合叫做A与B的并集，记作AB(读作“A并B)，即AB=x|xA,xB交集：由一切属于A且属于B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AB(读作“A并B)，即AB=x|xA且xB并集：由一切属于A或属于B的元素组成的集合叫做A与B的并集，记作AB(读作“A交B)，即AB=x|xA,xB补集：由一切属于A但不属于B的元素组成的集合叫做A与B的补集 选集：把补集中最大的集合叫做选集选集：把补集中最大的集合叫做选集 例如：给出集合例如：给出集合A=x |x是小于是小于9的正整的正整数数，B=y |2y6，求出集合，求出集合A、B、B在在A中的补集中的补集 留意到补集不是单独存在的，能够因选留意到补集不是单独存在的，能够因选集的不同而不同，在说补集时不需求说清集的不同而不同，在说补集时不需求说清楚选集，楚选集，1.2.1 函数的概念看下面的例题：在战争中，一枚炮弹发射后，经过26秒落地击中目的，炮弹在飞行过程中到达最高高度845米，且炮弹间隔地面的高度h单位：米随时间t单位：秒变化的规律是这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=t|0t26炮弹间隔地面的高度h变化范围是数集B=h|0h845.从问题的实践可知道，对于数集A中的恣意一个t，按对应关系，在数集B中都有独一的高度h和它对应.上述上述问题可可总结为：对于数集于数集A中的每一个中的每一个x，按照某种，按照某种对应关系关系f，在数集，在数集B中都有独一的中都有独一的y和它和它对应，记作作 f：AB 普通地，普通地，设A，B是非空数集，假是非空数集，假设按照按照某种确定的某种确定的对应关系关系f，使，使对于集合于集合A中的任何中的任何一个一个x，在集合，在集合B中都有独一确定的数中都有独一确定的数fx和和它它对应，那么称，那么称f：AB为集合集合A到到B的一个函的一个函数，数，记作作 y=fx定义域：把自变量定义域：把自变量x的取值范围叫做定义域的取值范围叫做定义域值域：把函数值值域：把函数值y组成的集合叫做值域组成的集合叫做值域 易见，定义域是易见，定义域是A的子集；的子集； 值域是值域是B的子集的子集. 一个函数由定义域、值域、对应法那么一个函数由定义域、值域、对应法那么独一确定，但值域由对应法那么和定义域独一确定，但值域由对应法那么和定义域独一确定，所以，函数由定义域、对应法独一确定，所以，函数由定义域、对应法那么独一确定那么独一确定 两个函数相等当且仅当定义域和对应法两个函数相等当且仅当定义域和对应法那么一样那么一样问问1y=k x+b确定的对应数不是函数，确定的对应数不是函数， 假设是写出对应法那么、值域、定义假设是写出对应法那么、值域、定义域域. 2 确定的对应数不是确定的对应数不是 函数，假设是写出对应法那么、值域、函数，假设是写出对应法那么、值域、 定义域定义域. 3 确定的对应数不是函数，确定的对应数不是函数， 假设是写出对应法那么、值域、定义假设是写出对应法那么、值域、定义域域.闭区区间：满足足axb的的实数数x的集合叫做的集合叫做闭 区区间，表示，表示为a , b开区开区间：满足足axb的的实数数x的集合叫做开的集合叫做开 区区间，表示，表示为a , b半开半半开半闭区区间：满足足axb或或 ax b的的实 数数x的集合叫做半开半的集合叫做半开半闭区区间，表，表 示示为a , b或或a ，b1.2.2函数的表示解析法：用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系图像法：用图像表示两个变量之间的对应关 系列表法：列出表格来表示两个变量之间的对 应关系点此播放讲课视频点此播放讲课视频函数的本函数的本质: 两个数集两个数集间的一种的一种对应关系；关系； 把数集把数集扩展到恣意集合，函数展到恣意集合，函数变成映射成映射 普通地，普通地，设A，B是集合，假是集合，假设按照按照某种确定的某种确定的对应关系关系f，使，使对于集合于集合A中的中的任何一个任何一个x，在集合，在集合B中都有独一确定的元中都有独一确定的元素素 y 和它和它对应，那么称，那么称f：AB为集合集合A到到B的一个映射的一个映射1.2.3 单调性与最值增函数：普通地，设函数fx的定义域为I，假设对于定义域I内的某个区间D上的恣意两个变量 ， ，当 时有f f ，那么就说fx在区间D上是增函数减函数：普通地，设函数fx的定义域为I，假设对于定义域I内的某个区间D上的恣意两个变量 ， ，当 时有f f ，那么就说fx在区间D上是减函数单调性、单调区间单调性、单调区间 假设函数假设函数y=fx在在D 上是增函数或减函上是增函数或减函数，那么就说数，那么就说y=fx在这一区间有严厉在这一区间有严厉的单调性，区间的单调性，区间D 叫做叫做y =fx的单调区的单调区间间.例如：一次函数例如：一次函数y=fx的单调性的单调性 解：在定义域上单调递增解：在定义域上单调递增例如：求例如：求 的单调性的单调性 解：函数在解：函数在y轴左侧下降轴左侧下降 函数在函数在y轴右侧上升轴右侧上升 函数在函数在x |x0单调递增单调递增点此播放讲课视频点此播放讲课视频