1多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色,因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运算的一切考法,还有自身的“独门秘籍”,那就是“数字多的数不出来”,只能依靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构,然后再确定方法进行解题.多位数的主要考查方式有1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算2.计算多位数的各个位数字之和一、多位数运算求精确值的常见方法1. 利用99999101kk 个,进行变形2. “以退为进”法找规律递推求解二、多位数运算求数字之和的常见方法Mk9999.9 个的数字和为 9k(其中 M 为自然数,且 Mk9999.9 个)可以利用上面性质较快的获得结果模块一、多位数求精确值运算【例例 1 1】 计算：200720073555 333 个5个 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】这道题目,你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来,将 20073333 个乘以 3 凑出一个20073999个,然后在原式乘以 3 的基础上除以 3,所以原式2007520079555 9993 个个20075200705550003 个个（1-1）200752007020075555000 5553 个个个（-） 200742006555544453 个个668185668148185185184814814815 个个【答案】668185668148185185184814814815 个个【巩固巩固巩固】计算：2007820073888 333 个个【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标多位数计算多位数计算2【解析】这道题目,你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来,将 20073333 个乘以 3 凑出一个20079999个,然后在原式乘以 3 的基础上除以 3,所以原式2007820079888 9993 个个20078200708880003 个个（1-1）200782007020078888000 8883 个个个（-） 2006120068888711123 个个668296668037296296295703703704 个个【答案】668296668037296296295703703704 个个【巩固巩固巩固】计算200433333 59049 个【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们可以把200433333 个转化为200499993 个9,进而可以进行下一步变形,具体为：原式200433333 59049 个2004200499993 590499999 19683 个9个9200402004019999(100001) 196831968300.0196831968299.9980317 个个个【答案】199991968299.9980317个【巩固巩固巩固】计算20042008366669333.3 个6个的乘积是多少? 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们可以将原题的多位数进行99999101kk 个的变形：原式=200433333 个200823 3 3333 个3=200433333 个200823 9999 个9=2003199998 个9（2008100001 个0）=2003199998 个9200810000 个0-2003199998 个9=2003920030199997999800002 个个.【答案】2003920030199997999800002 个个【巩固巩固巩固】快来自己动手算算20071200792007920077111 999999777 个个个个（）3的结果看谁算得准? 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】本题是提取公因数和凑整的综合.原式200712007920077999(111777) 个个个=32007920078999 888 个个=3 20070200780001)888 个个=(13 20072007020078888000888) 个8个个=(3200612006888871112 个个=3668296668037296296295703703704 个个【答案】668296668037296296295703703704 个个【巩固巩固巩固】计算200892008820086999 888666 个个个【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】本题着重是给大家一种凑的思想,除数是20086666个,所以需要我们的被除数也能凑出20086666个 这就需要我们根据乘法的性质来计算了.所以：3 原式2008220083200863 3334222666 个个个20081200862008634 111 666666 个个个 200843444个200713332个3【答案】200713332个3【例例 2 2】 请你计算2008920089200899999991999 个个个结果的末尾有多少个连续的零? 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】同学们观察会发现,两个乘数都非常大,不便直接相乘,可以引导学生按照两种思路给学生展开方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律99=81;9999=9801 ;999999=998001;99999999=99980001;所以：2008920089999999 个个20079200799980001 个个0原式2007920072008999980001+1999 个个0个401601000 个方法二：观察一下你会发现,两个乘数都非常大,不便直接相乘,其中 999 很接近 1 000 ,于是我们采用添项凑整,简化运算. 原式20080200892008020089100019991000999 个个个个=（）20089200802008920080200899990009991000999个个个个个 2008920080200809990001000个个个401601000个所以末尾有 4016 个 0【答案】4016 个 0【例例 3 3】 计算199821998222222222 个个的积【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们先还是同上例来凑成k99999 个;199821998222222222 个个19982199892999922229 个个1998219980210000122229 个个1998419980110000144449 个个19984199841998014444000044449 个个个1997419975144443555569 个个、我们知道944444 个能被 9 整除,商为：049382716又知 1997 个 4,9 个数一组,共 221 组,还剩下8 个 4,则这样数字和为 84=32,加上后面的 3,则数字和为 35,于是再加上 2 个 5,数字和为 45,可以被 9 整除84444355 个4能被 9 整除,商为 04938271595;我们知道5555 9个5能被 9 整除,商为：061728395;这样 9 个数一组,共 221 组,剩下的 1995 个 5 还剩下 6 个 5,而 6 个 5 和 1 个、6,数字和 36,可以被 9 整除55556 6个5能被 9 整除,商为 0617284于是,最终的商为：22004938271622106172839549382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284 个个【答案】22004938271622106172839549382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284 个个【例例 4 4】 计算：1234567912345679012345679012345679 81 99个0【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 4【解析】原式00000000112345679 1000000001000000001 81 99个000000001999999999 1000000001000000001 99个999999999999999999999999999 100个【答案】999999999999999999999999999 100个【巩固巩固巩固】12345679012345679 81【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算【关键词】武汉,明心奥数【解析】原式(12345679 100000000012345679)8112345679 1000 000 001 81999999999 1000 000 001189999 个【答案】189999 个【例例 5 5】 求20073333333.33.3个的末三位数字. 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】原式的末三位和每个数字的末三位有关系,有 2007 个 3,2006 个 30,2005 个 300 ,则200732006302005300602160180601500667701 ,原式末三位数字为 701【答案】701模块二、多位数求数字之和【例例 6 6】 求3333333 6666666乘积的各位数字之和. 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】方法一：本题可用找规律方法：36=18 ; 33 66 =2178 ;333 666 =221778;3333 6666 =22217778;所以：3633.366.6n个n个2722.2177.78(n-1)个(n-1)个,则原式数字之和26176863 原式99999992222222(100000001)222222222222220000000222222222222217777778所以,各位数字之和为7963【答案】63【巩固巩固巩固】求 111 111 999 999 乘积的各位数字之和.【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】观察可以发现,两个乘数都非常大,不便直接相乘,其中 999 999 很接近 1 000 000, 于是我们采用添项凑整,简化运算.原式=111111(1000000-1) =1111111000000-1111111 =111111000000-111111 =111110888889 数字之和为9654【答案】545【例例 7 7】 如果20103333333333A 个,那么 A 的各位数字之和等于.【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】学而思杯,5 年级【解析】20103103033033303330A 个,所以【解析】20103320109333033333327300A 个2006个次,3668370333273009370370370369700A 2006个个,数字和为668 10256705. 【答案】6705【例例 8 8】 若10041520083151515 3333a 个个,则整数a的所有数位上的数字和等于（ ） （A）18063 （B）18072 （C）18079 （D）18054【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】第十三届,华杯赛【解析】10041520083151515 3333a 个个1004510032008950505059999 个和个0个10045100302008050505051000001 个和个个（）10045020070100451003050505050000005050505 个个个和个10035010044950505050494949495 个个所以整数a的所有数位上的数字和1003 51004(49)518072【答案】 （B）18072【巩固巩固巩固】计算66666666725 2004个62003个6的乘积数字和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】我们还是利用9999100001 k个9k个0,来简便计算,但是不同于上式的是不易得出凑成9999 k个9,于是我们就创造条件使用：6666 2004个66666725 2003个62004299993 个920042(99991)253 个9=23（100001 2004个0）23（10000 2004个0）+125=1313210000 2004个0-22（10000 2004个0）+125=259410000 4008个0-210000 2004个0-2=10099999 4008个9-50920049999 个9=10040081111个1-5020041111个1=400812004511110055550 个个=1200451111055550 2004个个所以原式的乘积为1200451111055550 2004个个,那么原式乘积的数字和为 12004+52004=12024【答案】12024【例例 9 9】 试求 1993123999999 乘积的数字和为多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们可以先求出 1993123 的乘积,再计算与(10000001)的乘积,但是 1993123 还是有点繁琐设 1993123=M,则(1000123)123000M(2000123=)246000,所以 M 为 6 位数,并且末位不是 0;令 Mabcdef则 M999999M（1000000-1）1000000M-M000000abcdef-abcdef61 999999abcdeff +1abcdef1 999999abcdeffabcdef+11 9999991abcdeffabcdef那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9f+1)=96=54所以原式的计算结果的数字和为 54【答案】54【巩固巩固巩固】下面是两个 1989 位整数相乘：1989119891111.11 111.11 个个.那么乘积的各位数字之和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】解法一：在算式中乘以 9,再除以 9,则结果不变因为19891111.11 个能被 9 整除,所以将一个19891111.11 个乘以 9,另一个除以 9,使原算式变成：198991988999.99 123456790.012345679 个共位数=1989019881000.001123456790.012345679 个共位数（）=1988198901988123456790.012345679000.00123456790.012345679 共位数个共位数=19881980123456790.012345679123456789876543209.987654320987654321 共位数共位数得到的结果中有 19809=220 个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”,所以各位数之和为：1234567922098765432220（）（）+1234567898765432117901（）（）解法二：198911989119891989119891111.11 111.11999.99 111.11999.999N 个个个9个个9,其中 N1989999.99 个9所以1989119891111.11 111.11 个个的各个位数字之和为：91989=17901【答案】17901【巩固巩固巩固】试求9999999999 . 999999999999 256个512个1024个乘积的数字和为多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】设999999999 . 99999999M 256个512个则原式表示为99999M 1024个.注意到 99999999999999999999 256个99999 512个M,则 M10100100013100000000256010000 个010000 512个010000 k个其中 k=1+2+4+8+16+512=1024l=1023即 M010000 1023个,即 M 最多为 1023 位数,所以满足的使用条件,那么 M 与99999 1024个乘积的数字和为10249=102401024=9216原式的乘积数字和为 9216【答案】9216【例例 10 10】计算：670789978978929999 个2009个结果的各位数字之和是 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 7【解析】原式6707890789789300001 个2009个【解析】 66993606707896699366910223693693670000789789236936935910210211 个2009个个个6个【解析】各位数字之和是23669 185966931 1 =6702114070【答案】14070模块三、多位数运算中的公因式【例例 11 11】（1）20082008200920092008200920092008200820082008200920092009200920092009200820082008 个个个个【例例 12 12】（2）200920092008410020092009200941004100410041 个个【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】原式2007200800012007200800012008 10001000100012009 10001000100012009 10001000100012008 1000100010001 个0001个个0001个0原式20080001200941002009 1000100010001410041004100100 个个（）200800012008000110001000100012009 1000100010001 个个（41）20094149【答案】0 49【巩固巩固巩固】计算（1）2009200920092008200820082008200820092009 （2）20072007200722302230223【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】（1）原式2009 100010002008 100012008 100010001 2009 100010（2）原式(2007 100010001)(223 100010001)20072239【答案】 （1）0 （2）9【巩固巩固巩固】计算：333 332332333332333333332【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】我爱数学夏令营【解析】原式333 (3323323321)332(333333333 1)333 (332 1001001 1)332(333 1001001 1)333332665【答案】665【巩固巩固巩固】计算：20085112008512512511511511512511 512512512511 个个【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3 星 【题型】计算 8【解析】原式200951120095125125115115111511(5125125121) 个个（）-20080012008001512511 1001001001512511 512 1001001001511个个5125111023【答案】1023【巩固巩固巩固】计算：（1998+19981998+199819981998+19981998 个199819981998）（1999+19991999+199919991999 19981999 个199919991999）1999【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】19981998 个199819981998199819981001个100110011001原式1998（1+10001+100010001+19981001个100110011001）1999（1+10001+100010001+19981001个100110011001） 19991998199919991998.【答案】1998【巩固巩固巩固】计算：5555566666744445666666155555【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】小学奥林匹克【解析】原式555556666665555544445666666155555(5555544445)66666610000066666500000【答案】66666500000【例例 13 13】计算：3413441344413444444441344444444412389275277527775277777777527777777775 .【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】学而思杯,6 年级【解析】34131 113127525 1125,344131 11131277525 11125,3444131 1111312777525 111125,3444444444131 1111111111312777777777525 111111111125,即这9个数都等于3125,原式31(1239)252795【答案】2795