王王 皓皓1引言引言数学知识数学知识变量：变量：（一）（一）. .变量、常数和函数变量、常数和函数1.函数、导数与微分函数、导数与微分一、微积分初步一、微积分初步如：时间，温度等。如：时间，温度等。常量（恒量）：常量（恒量）：指现象或过程中本身取值保持一定的量。指现象或过程中本身取值保持一定的量。如：如：100，n等。等。函数：函数： x、y为变量，为变量，x在变域内任取值时，在变域内任取值时，y都有确定值都有确定值与之对应，则称与之对应，则称y是是x的函数。的函数。记作记作 y=f(x)指现象或过程中本身取值会发生变化的量。指现象或过程中本身取值会发生变化的量。2（二）导数（二）导数 函数函数在在并称此极限为并称此极限为记作记作: :则称则称平均变化率平均变化率有增量有增量 在点在点处处可导可导, , 在点在点的的导数导数. . 则则y y也有增量也有增量 N3意义：意义：为啥要求导？为啥要求导？获得变化率，增量比极限；获得变化率，增量比极限；可以说是一点的变化率；可以说是一点的变化率；变化快慢的比较；变化快慢的比较；自变量变化引起因变量变化的程度问题；自变量变化引起因变量变化的程度问题；便于我们对事物现象过程的认识！便于我们对事物现象过程的认识！反映在反映在 处函数处函数 随自变量而变的增减趋势和随自变量而变的增减趋势和变化快慢。变化快慢。求出来求出来 的也是的也是 的函数，又叫导函数。的函数，又叫导函数。N4几何意义几何意义曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率为若若曲线过曲线过上升上升; ;若若曲线过曲线过下降下降; ;切线方程切线方程: :割线斜率不是导数割线斜率不是导数5常用求导公式常用求导公式 6导数基本运算导数基本运算 7例例1. 1. 解解: :求求 t = 3 s 时的时的例例2.解解: :8（三）微分（三）微分自变量有微小变化量，函数自变量有微小变化量，函数( (因变量因变量) )的微小变化量是怎样？的微小变化量是怎样？( (A A不依赖于不依赖于x x ) )则则y y也有增量也有增量 记作记作则称函数则称函数在点在点可可微微, ,的的微分微分, ,而而 称为称为在点在点在一点可微的在一点可微的充要条件充要条件是：是：处可导，处可导，在在且且微小的变化量微小的变化量 函数函数在在有增量有增量 9引例引例: : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响, ,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? ? 设薄片边长为设薄片边长为 x x , , 面积为面积为 A A , , 则则面积的增量为面积的增量为关于关于x x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故故称为函数在称为函数在 的微分的微分当当 x x 在在取取得增量得增量时时, ,变到变到其其边长由边长由为微小量为微小量:10为啥要进行微分？为啥要进行微分？自变量有微小变化量，函数自变量有微小变化量，函数( (因变量因变量) )的微小变化量是怎样？的微小变化量是怎样？导数和微分都是讨论函数的导数和微分都是讨论函数的局部局部性质。性质。微分微分-连续函数局部用线性连续函数局部用线性函数逼近函数逼近的可能性（理解为极的可能性（理解为极值）值）导数导数-连续函数在某点附近函数值的连续函数在某点附近函数值的变化率变化率是否是否趋近一定值趋近一定值。微分几何意义微分几何意义当当 很小时很小时, ,切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量曲曲线线的弧的弧长为长为 11常用微分公式常用微分公式12（一）（一）. .原函数原函数2.积分积分若在区间若在区间 I I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F F ( (x x) ) 及及 f f ( (x x) )满足满足在区间在区间 I I 上的一个原函数上的一个原函数 . .则称则称 F F ( (x x) ) 为为f f ( (x x) ) 为为x x的一个原函数的一个原函数 . .为为x x的一个原函数的一个原函数 . .为为x x的一个原函数的一个原函数 . .则称则称 F F ( (x x)+C)+C 为为f f ( (x x) )的原函数的原函数 .13（二）（二）. .不定积分不定积分运算法则：运算法则：在区间在区间I I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为在在I上的不定积分上的不定积分, ,若若记作记作1.1.导数逆运算导数逆运算2.2.3.3.4.4.14常用积分常用积分或或或或151.1.函数和式的极限问题函数和式的极限问题曲边梯形面积曲边梯形面积两直线两直线矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积 解决问题的思想、方法解决问题的思想、方法大化大化小小 常常代变代变 近似近似和和取取极限极限 （三）（三）. .定积分定积分161) 1) 大化大化小小. .在区间在区间 a a , , b b 中中任意任意插入插入 n n 1 1 个分点个分点用直线用直线将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n 个小曲边梯形个小曲边梯形; ;2) 2) 常常代变代变. .在第在第i i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取作以作以为底为底 , ,为高的小矩形为高的小矩形, ,并以此小并以此小矩形面积近似代替相应矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积得得173) 3) 近似近似和和. .4) 4) 取取极限极限. .令令则曲边梯形面积则曲边梯形面积18设某物体作直线运动设某物体作直线运动, ,且且求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s s. .1) 1) 大化小大化小在每小段物体在每小段物体的路程的路程2) 2) 常代变常代变已知速度已知速度以以 代替变速，得代替变速，得任取任取在在TT1 1,T,T2 2 中任插中任插n-1n-1个分点，个分点，将它分成将它分成n 个小段个小段3) 3) 近似和近似和4) 4) 取极限取极限 192.定义定义任取任取总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I I , , 则和式极限则和式极限 I I 称为函数称为函数在区间在区间a,ba,b上的上的定积分定积分,即即设函数设函数f f( (x x) )定义在定义在a ,b上，将上，将a ,b等分成等分成n个子区个子区间间记作记作时，和式时，和式20积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和21定积分几何意义定积分几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和22( ( k k 为常数为常数) )牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式 ，也就是，也就是 F(x) F(x) 为为 f(x) f(x) 的原函数的原函数若若则则3.定积分的性质定积分的性质23例例3.求求解：解：例例4.解：解：例例5. 已知已知v=v0+at，v0，a为常量，求为常量，求t从从0至至t时间内的位移时间内的位移S解：解：24作业作业. P4631.（1）（）（2）（）（3）（）（4）3.（1）（）（5）（）（9）（）（12）4.（3）（）（6）（）（7）（）（8）8.2526帆船逆风行驶的问题：帆船可逆风行驶，船头时而偏左，时而帆船逆风行驶的问题：帆船可逆风行驶，船头时而偏左，时而偏右，沿偏右，沿“S”形路线前进。如图形路线前进。如图16（a）所示，所示，MN表示帆面，表示帆面，当逆风吹向当逆风吹向MN时，风对帆产生作用力时，风对帆产生作用力R。因帆对风来说是光滑因帆对风来说是光滑的，所以作用力的，所以作用力R的方向与帆面垂直。把的方向与帆面垂直。把R分解为两个力：一个分解为两个力：一个为与船身垂直的为与船身垂直的F1，一个为沿船前进方向的一个为沿船前进方向的F2。显然，分力显然，分力F1的的作用是使船横向移动，但由于船身的侧面积比较大，水的阻力作用是使船横向移动，但由于船身的侧面积比较大，水的阻力很大，因而船横向移动并不显著。分力很大，因而船横向移动并不显著。分力F2与船前进方向是一致与船前进方向是一致的，靠着它，船逆着风斜行。当船到达的，靠着它，船逆着风斜行。当船到达B点后，船头改为偏右，点后，船头改为偏右，风帆也要相应反转至新的位置。如图风帆也要相应反转至新的位置。如图16（b）所示，船在逆风所示，船在逆风下将获得一个前进的推力下将获得一个前进的推力F2。如此反复下去，船将沿如此反复下去，船将沿“S”形路形路线逆风前进。线逆风前进。27“静止轨道静止轨道”实现全球通信实现全球通信 1945年年5月月25日，英国科普作家阿瑟日，英国科普作家阿瑟克拉克发现离地球克拉克发现离地球35860千米的高空，有一千米的高空，有一条可使人造物体相对地球保持静止不动的条可使人造物体相对地球保持静止不动的“静止轨道静止轨道”，并提出了以下大胆设想：在这，并提出了以下大胆设想：在这条特殊轨道上等距部署条特殊轨道上等距部署3颗卫星组成全球通颗卫星组成全球通信网，利用卫星可同时向几个地区转播广播信网，利用卫星可同时向几个地区转播广播节目。节目。 静止卫星通信的实质是：把地面微波中继站搬到赤道的上静止卫星通信的实质是：把地面微波中继站搬到赤道的上空，使地面微波视距一下扩大到空，使地面微波视距一下扩大到18000公里，一颗卫星即可覆公里，一颗卫星即可覆盖地球表面面积的盖地球表面面积的40%，发射，发射3颗卫星使它们之间等隔颗卫星使它们之间等隔120度经度经线，相距线，相距726900米，就能实现全球通信。严格来说，要使配置米，就能实现全球通信。严格来说，要使配置在这条轨道上的卫星保持相对静止状态，它绕地球自西向东旋在这条轨道上的卫星保持相对静止状态，它绕地球自西向东旋转一周的时间必须与地球自转一圈的时间相同，即刚好是转一周的时间必须与地球自转一圈的时间相同，即刚好是23小小时时56分零分零4秒，而且其轨道与地球赤道平面的夹角必须等于零秒，而且其轨道与地球赤道平面的夹角必须等于零度。度。28由于其精密的技术要求，美国进行静止轨道卫星通信试由于其精密的技术要求，美国进行静止轨道卫星通信试验的道路布满荆棘。验的道路布满荆棘。1963年年2月月14日，美国宇航局发射第一颗日，美国宇航局发射第一颗试验同步通信卫星试验同步通信卫星“辛康辛康”1号，由于卫星上的无线电设备失号，由于卫星上的无线电设备失灵，通信实验未获成功。灵，通信实验未获成功。7月月26日又发射了日又发射了“辛康辛康”2号，这号，这颗卫星成功进入轨道，但它的轨道平面与地球赤道平面之间颗卫星成功进入轨道，但它的轨道平面与地球赤道平面之间的夹角并不是零度，而是的夹角并不是零度，而是28度，所以最终也没能成为静止通度，所以最终也没能成为静止通信卫星。直到信卫星。直到1964年年8月月19日，日，“辛康辛康”3号才成功进入倾度号才成功进入倾度为零的静止轨道，定点在东经为零的静止轨道，定点在东经180度赤道上空，并为欧洲和北度赤道上空，并为欧洲和北美各国转播了在日本东京举行的奥运会开幕式的盛况。美各国转播了在日本东京举行的奥运会开幕式的盛况。29 基因计算机研究充满希望基因计算机研究充满希望 正如人类基因组计划提醒我们的，遗传化学物质正如人类基因组计划提醒我们的，遗传化学物质DNA（脱氧核糖核酸）具有令人生畏的信息储存能力脱氧核糖核酸）具有令人生畏的信息储存能力 我们体内每我们体内每一个细胞的小小细胞核中包含着构成整个人体的编码指令。计一个细胞的小小细胞核中包含着构成整个人体的编码指令。计算机科学家现在正设法仿效自然，利用算机科学家现在正设法仿效自然，利用DNA建立一种完整的建立一种完整的信息技术形式。信息技术形式。 神奇神奇 DNA计算技术的希望首先依赖于分子个体与硅芯片或其他计算技术的希望首先依赖于分子个体与硅芯片或其他电子存储器相比远为高效的信息存储能力。原则上，电子存储器相比远为高效的信息存储能力。原则上，1毫克的毫克的DNA可以存储相当于可以存储相当于100万张激光唱片的信息。它还能提供终万张激光唱片的信息。它还能提供终极的关行处理速度，在同一时间进行数万亿次运算。极的关行处理速度，在同一时间进行数万亿次运算。 DNA计算技术的研究是计算技术的研究是6年前才开始的。当时，南加州大学年前才开始的。当时，南加州大学的伦纳德的伦纳德艾德尔曼利用一个充满艾德尔曼利用一个充满DNA的试管解决了一个具的试管解决了一个具体的数学问题，令计算机界大为惊奇。在此之前，大多数科学体的数学问题，令计算机界大为惊奇。在此之前，大多数科学家认为，这种以分子而非电荷形式处理数据的计算机不过是有家认为，这种以分子而非电荷形式处理数据的计算机不过是有超的理论化概念，超的理论化概念，30在几十年之内将不会得到实际的验证。在几十年之内将不会得到实际的验证。 艾德尔曼教授是一位受人尊敬的研究人员，他曾发明了目前艾德尔曼教授是一位受人尊敬的研究人员，他曾发明了目前被用于因特网通信的加密系统。他的报告促使世界各地的被用于因特网通信的加密系统。他的报告促使世界各地的12个个实验室开始这方面的研究工作。今天，许多科学家把实验室开始这方面的研究工作。今天，许多科学家把DNA计计算技术看作是可以用来替代传统电子技术的各种新技术中的主算技术看作是可以用来替代传统电子技术的各种新技术中的主要候选技术。传统电子技术将在要候选技术。传统电子技术将在2020年后的某个时候达到物理年后的某个时候达到物理极限。极限。 实验实验 今年，威斯康星麦迪逊大学的科学家在简化和按比例放大这今年，威斯康星麦迪逊大学的科学家在简化和按比例放大这种技术方面迈出了重要的一步。他们采取了不同于艾德尔曼和种技术方面迈出了重要的一步。他们采取了不同于艾德尔曼和其他先驱者所进行的试管实验的办法，把其他先驱者所进行的试管实验的办法，把DNA链固定到一块链固定到一块镀金的玻璃载片（一种镀金的玻璃载片（一种DNA芯片）上。芯片）上。 其他研究人员则希望把其他研究人员则希望把DNA计算技术送回到活细胞中。在英计算技术送回到活细胞中。在英国，利物浦大学的马丁国，利物浦大学的马丁阿莫斯在从阿莫斯在从科学科学杂志上读到艾德杂志上读到艾德尔曼的论文后不久就开始钻研尔曼的论文后不久就开始钻研DNA计算技术。他即将与沃里计算技术。他即将与沃里克大学的同行开始一项在转基因细胞内部模拟计算机逻辑电路克大学的同行开始一项在转基因细胞内部模拟计算机逻辑电路的研究项目。的研究项目。31他们打算在他们打算在3年内证明可以把简单的元件年内证明可以把简单的元件 如如“与与”门和门和“或或”门门 设计到细菌细胞中。设计到细菌细胞中。 目前，这一领域还处在早期发展阶段：不论体外或体内，目前，这一领域还处在早期发展阶段：不论体外或体内，DNA计算的所有潜在用途还只是纯理论的探讨。你可以想像一计算的所有潜在用途还只是纯理论的探讨。你可以想像一台能让人接触世间所有知识的超微台能让人接触世间所有知识的超微DNA计算机，或者经过编程、计算机，或者经过编程、在动脉中巡逻的细胞在动脉中巡逻的细胞 这些细胞能在脂肪沉积物引起心脏病之前这些细胞能在脂肪沉积物引起心脏病之前将其去除。但是，要克服从软件开发到数据输入和输出等种种将其去除。但是，要克服从软件开发到数据输入和输出等种种障碍还需要几十年的努力。障碍还需要几十年的努力。 艾德尔曼教授最初的论证解决了形艾德尔曼教授最初的论证解决了形式较为简单的式较为简单的“推销员难题推销员难题”：在由：在由14条单行道连接的七座城条单行道连接的七座城市之间找到最近的路途，但不能走回头路。他用市之间找到最近的路途，但不能走回头路。他用DNA单链代表单链代表每座城市及城市之间的道路，并为顺序编码；这样，每条道路每座城市及城市之间的道路，并为顺序编码；这样，每条道路“粘性的两端粘性的两端”就会根据就会根据DNA组合的化学规划与两座正确的城组合的化学规划与两座正确的城市相连。市相连。 然后，他在试管中把这些然后，他在试管中把这些DNA链的几十亿个副本混合起来。链的几十亿个副本混合起来。它们以无数种可能的组合连接在一起，但他却能通过为期一周它们以无数种可能的组合连接在一起，但他却能通过为期一周的一系列生化反应找出解决问题的唯一答案：只经过每座城市的一系列生化反应找出解决问题的唯一答案：只经过每座城市一次的顺序最短的一次的顺序最短的DNA分子链。分子链。32未来未来 从那以后，从那以后，DNA计算机已经处理了各种各样更为复杂的数计算机已经处理了各种各样更为复杂的数学问题。例如，普林斯顿大学的劳拉学问题。例如，普林斯顿大学的劳拉兰德韦伯和同事们今年兰德韦伯和同事们今年就解决了国际象棋中就解决了国际象棋中“马的难题马的难题”：找到马在棋盘上的不同位：找到马在棋盘上的不同位置，使它们不会彼此攻击。置，使它们不会彼此攻击。 传统计算解决这些问题的速度要传统计算解决这些问题的速度要快得多。但是，如果快得多。但是，如果DNA计算能像威斯康星大学的劳埃德计算能像威斯康星大学的劳埃德史密斯预言的那样在几年内以史密斯预言的那样在几年内以1万亿的系数升级，许多新的可万亿的系数升级，许多新的可能性就会随之而来。例如，能性就会随之而来。例如，DNA计算能在如此大量的数据中计算能在如此大量的数据中找寻隐藏的模式，甚至击败电子超级计算机。找寻隐藏的模式，甚至击败电子超级计算机。 今天原始的今天原始的DNA计算机用计算机用DNA列代表不同的变量。这些列代表不同的变量。这些“组合计算组合计算”的速度必然很慢。与自然界的情况不同，它们不会的速度必然很慢。与自然界的情况不同，它们不会利用利用DNA全部的信息储存能力。要做到这一点将需要一个纳全部的信息储存能力。要做到这一点将需要一个纳米级的装置来阅读遗传代码的每个字母：目前的技术还无法实米级的装置来阅读遗传代码的每个字母：目前的技术还无法实现。现。 与此同时，科学家还在研究与此同时，科学家还在研究DNA的其他特性：这些特性不的其他特性：这些特性不仅能够用于储存信息，还能用于构成计算机集成电路的其他部仅能够用于储存信息，还能用于构成计算机集成电路的其他部件。其中一种特性就是自组（装），即互补的件。其中一种特性就是自组（装），即互补的DNA分子能够分子能够互相识别并在溶液中结合在一起。互相识别并在溶液中结合在一起。33此外，此外，DNA链也许还能像微小的线路一样导电。链也许还能像微小的线路一样导电。 剑桥大学的贾尔斯剑桥大学的贾尔斯戴维斯说：戴维斯说：“也许我们能用选择性自组也许我们能用选择性自组和分子识别来制造和分子识别来制造DNA电路。电路。”戴维斯即将开始一项计划：研戴维斯即将开始一项计划：研究不同化学顺序的究不同化学顺序的DNA链导电能力。链导电能力。 根据生物分子开发新式根据生物分子开发新式计算机技术的一个意义在于：这种装置也许比硅装置更能与人计算机技术的一个意义在于：这种装置也许比硅装置更能与人体相容。很容易想像，以体相容。很容易想像，以DNA为基础的植入物能够根据患者的为基础的植入物能够根据患者的身体状况释放某种药物。科幻小说中描述的向大脑植入以身体状况释放某种药物。科幻小说中描述的向大脑植入以DNA为基础的人造智能虽然看似遥远，但也未必无法实现。为基础的人造智能虽然看似遥远，但也未必无法实现。34