文数课标版第四节数列求和1.求数列的前求数列的前n项和的方法项和的方法(1)公式法(i)等差数列的前n项和公式Sn=na1+.教材研读教材研读(ii)等比数列的前n项和公式当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=.(2)分组转化法把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列之和,再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法若一个数列的前n项和中,可两两合并求解,这种方法称为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.2.常见的裂项公式常见的裂项公式(1)=-;(2)=;(3)=-.较为合理.()(2)如果数列an为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.()(3)求Sn=a+2a2+3a3+nan时只要把等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.()(4)如果数列an是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)如果已知等差数列的通项公式,那么在求其前n项和时使用公式Sn=1.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn=()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n2-2答案答案CSn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+(2n-1)=+=2n+1-2+n2.故选C.答案答案BS15=1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,S22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选B.2.已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是()A.13B.-76C.46D.763.数列的前n项之和为,则n=.答案答案99解析解析由题意得+=-+-+-+-=1-=,令=,解得n=99.4.已知数列an的前n项和为Sn,且an=n2n,则Sn=.答案答案(n-1)2n+1+2解析解析an=n2n,Sn=121+222+323+n2n.2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1.-,得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2.Sn=(n-1)2n+1+2.考点一错位相减法求和考点一错位相减法求和典例典例1(2016山东,19,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn=.求数列cn的前n项和Tn.解析解析(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,符合上式,所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.由即考点突破考点突破可解得所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=3(n+1)2n+1.由Tn=c1+c2+cn,得Tn=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2,两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=3=-3n2n+2.所以Tn=3n2n+2.方法技巧方法技巧(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列bn的公比,然后作差求解;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.1-1(2016吉林长春外国语学校期末)已知数列an是公差大于零的等差数列,数列bn为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解析解析(1)设数列an的公差为d(d0),数列bn的公比为q,由已知得解得或d0,d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n,即an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n,Tn=12+322+523+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1,-得Tn=-12-222-223-22n+(2n-1)2n+1=-2-23-24-2n+1+(2n-1)2n+1=-2-+(2n-1)2n+1=6+(2n-3)2n+1.考点二裂项相消法求和考点二裂项相消法求和典例典例2(2015课标,17,12分)Sn为数列an的前n项和.已知an0,+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和.解析解析(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).由an0,可得an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=.易错警示易错警示利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.2-1数列an的前n项和为Sn=2n+1-2,数列bn是首项为a1,公差为d(d0)的等差数列,且b1,b3,b9成等比数列.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)若cn=(nN*),求数列cn的前n项和Tn.又a1=S1=21+1-2=2=21,也满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n,由b1,b3,b9成等比数列,得(2+2d)2=2(2+8d),解得d=0(舍去)或d=2,所以数列bn的通项公式为bn=2n.(2)由(1)得cn=,所以数列cn的前n项和Tn=+=1-+-+-=1-=.解析解析(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,考点三分组转化法求和考点三分组转化法求和典例典例3(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+b10的值.解析解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=+=(211-2)+55=211+53=2101.规律总结规律总结(1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组转化法求an的前n项和.(2)对于通项公式为an=的数列,其中bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.(3)采用分组转化法求和是将所求数列和分解转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就需要通过对数列通项结构特点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化.3-1(2017山东临沂期中)设数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=-1,求数列bn的前n项和Tn.解析解析(1)数列an的前n项和Sn=2an-a1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,an=2an-1(n2).数列an是公比为2的等比数列.a1,a3+1,a4成等差数列,2(a3+1)=a4+a1,2a3+2=2a3+a1,3-2已知数列an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,求其前n项和Sn.解析解析Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln2-ln3)+-1+2-3+(-1)nnln3,当n为偶数时,Sn=2+ln3=3n+ln3-1;当n为奇数时,Sn=2-(ln2-ln3)+ln3=3n-ln3-ln2-1.综上所述,Sn=