8.3偏导数与全微分偏导数与全微分n n一、偏导数一、偏导数n n二、全微分二、全微分1偏导数定义及记法偏导数定义及记法n n定义：定义：2偏导数的几何意义偏导数的几何意义n n偏导数偏导数偏导数偏导数f fx x( (x x0 0, ,y y0 0) )就是曲面就是曲面就是曲面就是曲面z z= =f f( (x x, ,y y) )被平面被平面被平面被平面y y= =y y0 0所截得所截得所截得所截得的曲线在点的曲线在点的曲线在点的曲线在点MM0 0( (x x0 0, ,y y0 0, , f f( (x x0 0, ,y y0 0) )处切线处切线处切线处切线MM0 0T Tx x对对对对x x轴的轴的轴的轴的斜率。斜率。斜率。斜率。n n偏导数偏导数偏导数偏导数f fy y( (x x0 0, ,y y0 0) )就是曲面就是曲面就是曲面就是曲面z z= =f f( (x x, ,y y) )被平面被平面被平面被平面x x= =x x0 0所截得的所截得的所截得的所截得的曲线在点曲线在点曲线在点曲线在点MM0 0( (x x0 0, ,y y0 0, , f f( (x x0 0, ,y y0 0) )处切线处切线处切线处切线MM0 0T Ty y对对对对y y轴的斜率。轴的斜率。轴的斜率。轴的斜率。3偏导数计算偏导数计算n n从偏导数定义可见从偏导数定义可见,在增量比的极限过程中在增量比的极限过程中,只有一个变量在变只有一个变量在变,其余变量在该极限中不变其余变量在该极限中不变,可看作常量可看作常量,这就和导数一样了。这就和导数一样了。n n求偏导数的方法：对某变量求偏导求偏导数的方法：对某变量求偏导,则将其余则将其余变量当作常量变量当作常量,按一元函数求导法计算即可。按一元函数求导法计算即可。解：解：4例题与讲解例题与讲解n n例：求下列偏导数例：求下列偏导数n n解：解：(1)(2)5有关偏导数的几点说明有关偏导数的几点说明n n偏导数记号偏导数记号z/x、z/y是整体是整体记号号,不能拆分不能拆分;n n求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。解解6偏导数的经济意义偏导数的经济意义(详细展开！展开！)n n设需求函数设需求函数: Q1=Q1(p1,p2)、 Q2=Q2(p1,p2)。则则表示商品表示商品表示商品表示商品i i关于商品关于商品关于商品关于商品j j价格价格价格价格p pj j的边际需求。的边际需求。的边际需求。的边际需求。而而表示商品表示商品表示商品表示商品i i需求量对商品需求量对商品需求量对商品需求量对商品j j价格价格价格价格p pj j的需求价格偏弹性。的需求价格偏弹性。的需求价格偏弹性。的需求价格偏弹性。通常，当通常，当通常，当通常，当i i= =j j时称直接需求价格偏弹性；时称直接需求价格偏弹性；时称直接需求价格偏弹性；时称直接需求价格偏弹性；当当当当i i j j时称交叉需求价格偏弹性；时称交叉需求价格偏弹性；时称交叉需求价格偏弹性；时称交叉需求价格偏弹性；7增加经济学例题增加经济学例题8偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系n n一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导连续。连续。n n多元函数中在某点偏导数都存在多元函数中在某点偏导数都存在连续？连续？但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 /连续连续.9全微分全微分n n多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而其它自变量不变时所引起的函数变化特征。其它自变量不变时所引起的函数变化特征。n n为了研究所有自变量同时发生变化时函数的为了研究所有自变量同时发生变化时函数的变化特征变化特征,需引入全微分概念。需引入全微分概念。n n为说清全微分概念为说清全微分概念,先引入全增量概念。先引入全增量概念。n n全增量全增量：若函数：若函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)的某邻的某邻域内有定义域内有定义,设点设点P(x0+ x, y0+ y)是该邻域内是该邻域内任一点任一点,则称这两点函数值之差则称这两点函数值之差 z = f(x0+ x, y0+ y) - f(x0,y0)为函数在点为函数在点P0处对应于自变量改变量处对应于自变量改变量 x 、 y的的全增量。即全增量。即 z = f(x0+ x, y0+ y) - f(x0,y0)。10全微分的定义全微分的定义n n定义：如果函数定义：如果函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)处的全处的全增量增量 z可表示为可表示为 z = Ax+By+ ；其中其中A=A(x0,y0) 、B=B(x0,y0)与与 x 、 y无关无关,即在即在( x, y)(0,0)时时,是是 的高阶无穷的高阶无穷小量；小量；则称则称 z的的线性主部线性主部Ax+By为为函数函数z=f(x,y)在在点点P0(x0,y0)处的全微分处的全微分,记为记为dz,即即dz= Ax+By并称函数并称函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)处处可微可微。11可微与连续可微与连续n n微分函数：若函数在某区域各点内处处可微微分函数：若函数在某区域各点内处处可微微分函数：若函数在某区域各点内处处可微微分函数：若函数在某区域各点内处处可微, ,则称函则称函则称函则称函数在该区域可微。此时数在该区域可微。此时数在该区域可微。此时数在该区域可微。此时, ,在该区域上就有了在该区域上就有了在该区域上就有了在该区域上就有了微分函数微分函数微分函数微分函数d dz z= =A A( (x x, ,y y) )x x+B+B( (x x, ,y y) )y y。n n定理：若函数定理：若函数定理：若函数定理：若函数z z= =f f( (x x, ,y y) )在点在点在点在点P P( (x x, ,y y) )可微可微可微可微, ,则在点则在点则在点则在点P P( (x x, ,y y) )连连连连续续续续。事实上事实上事实上事实上12可微的必要条件可微的必要条件n n定理定理定理定理1 1：若函数：若函数：若函数：若函数z z= =f f( (x x, ,y y) )在点在点在点在点P P( (x x, ,y y) )可微可微可微可微, ,则在点则在点则在点则在点P P处偏处偏处偏处偏导数都存在导数都存在导数都存在导数都存在, ,且点且点且点且点P P处有处有处有处有n n证：证：证：证：总成立总成立,同理可得同理可得13可微的充分条件可微的充分条件n n定理定理定理定理2 2：如果函数：如果函数：如果函数：如果函数z z= =f f( (x x, ,y y) )的偏导函数的偏导函数的偏导函数的偏导函数f fx x ( (x x, ,y y) )、 f fy y ( (x x, ,y y) )在点在点在点在点P P( (x x, ,y y) )处连续处连续处连续处连续, ,则该函数在点则该函数在点则该函数在点则该函数在点P P处可微。处可微。处可微。处可微。n n证证证证*:*:14连续、偏导、全微分三者关系连续、偏导、全微分三者关系n n归纳本节的三个定理归纳本节的三个定理,可知连续、偏导、全微可知连续、偏导、全微分三者关系：分三者关系：偏导数都连续偏导数都连续偏导数都连续偏导数都连续全微分存在全微分存在全微分存在全微分存在连续连续连续连续偏导数都存在偏导数都存在偏导数都存在偏导数都存在n n由上面三者关系由上面三者关系,可以知道可以知道求全微分的方法求全微分的方法：先求出所有偏导函数；先求出所有偏导函数；判断偏导函数的连续性；判断偏导函数的连续性；写出全微分的表示式。写出全微分的表示式。n n注：一般初等函数的偏导函数仍是初等函数注：一般初等函数的偏导函数仍是初等函数,在其定义区域内总连续在其定义区域内总连续,故故不必写出。不必写出。15全微分的习惯表示法全微分的习惯表示法n n习惯上，总是将自变量的改变量表示为自变习惯上，总是将自变量的改变量表示为自变量的微分量的微分,即即 x=dx、 y=dy，故，故记全微分为：记全微分为：n n全微分的定义可推广到三元及三元以上函数：全微分的定义可推广到三元及三元以上函数：16例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算z=exy在点在点(2,1)处的全微分。处的全微分。n n解：解：所求全微分所求全微分17例题与讲解例题与讲解n n例：求函数例：求函数z=ycos(x-2y)在在 点点( /4， )处，处，当当 x= /4, y= 时的全微分。时的全微分。n n解：解：18全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用n n应用的原理：当应用的原理：当 x、 y很小时很小时,也可写成也可写成19例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算(1.04)2.02的近似值。的近似值。n n解：解：由公式得由公式得20小结小结n n 多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；n n 多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；n n 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系n n（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）21练习练习解答解答解答解答解答解答解答解答解答解答22练习解答练习解答(1)(1)(2)(2)23练习解答练习解答224练习解答练习解答325练习解答练习解答4-126练习解答练习解答4-227