第八节应 用 举 例【知【知识梳理】梳理】1.1.三角形中常用的面三角形中常用的面积公式公式(1)S= ah(h(1)S= ah(h表示边表示边a a上的高上的高).).(2)S= bcsinA=(2)S= bcsinA= = = . .(3)S= r(a+b+c)(r(3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径为三角形的内切圆半径).).2.2.实际应用中的常用术语实际应用中的常用术语术语名称名称术语意意义图形表示形表示仰角与俯角仰角与俯角在目在目标视线与水平与水平视线所所成的角中成的角中, ,目目标视线在水在水平平视线上方的叫做仰角上方的叫做仰角, ,目目标视线在水平在水平视线下方下方的叫做俯角的叫做俯角方位角方位角从某点的指北方向从某点的指北方向线起按起按顺时针方向到目方向到目标方向方向线之之间的水平的水平夹角叫做方位角叫做方位角角. .方位角方位角的范的范围是是03600360术语名称名称术语意意义图形表示形表示方向角方向角正北或正南方向正北或正南方向线与目与目标方向方向线所成的所成的锐角角, ,通常通常表达表达为北北( (南南) )偏偏东( (西西)度度例例:(1):(1)北偏东北偏东mm(2)(2)南偏西南偏西nn术语名称名称术语意意义图形表示形表示坡角坡角坡面与水平面的坡面与水平面的夹角角设坡角坡角为,坡度坡度为i,i,则i= =tani= =tan坡度坡度坡面的垂直高度坡面的垂直高度h h和水平和水平宽度度l的比的比【考点自测】【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列命题：给出下列命题：面积公式中面积公式中S= bcsin A= absin C= acsin BS= bcsin A= absin C= acsin B，其实质就，其实质就是面积公式是面积公式S= ah= bh= ch(hS= ah= bh= ch(h为相应边上的高为相应边上的高) )的变形的变形; ;俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0, ;0, ;方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系之间的位置关系; ;方位角大小的范围是方位角大小的范围是0,2)0,2)，方向角大小的范围一般是，方向角大小的范围一般是0, ).0, ).其中正确的是其中正确的是( )( )A. B. A. B. C. D. C. D.【解析】【解析】选选B.B.正确正确. .如如S= absin C= ah(h=bsin C)S= absin C= ah(h=bsin C)，h h即为即为边边a a上的高上的高. .错误错误. .俯角是视线与水平线所构成的角俯角是视线与水平线所构成的角. .正确正确. .方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的关系的. .正确正确. .方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为故大小的范围为0,2)0,2)，而方向角大小的范围由定义可知为，而方向角大小的范围由定义可知为0, ).0, ).2.2.两座灯塔两座灯塔A A和和B B与海岸观察站与海岸观察站C C的距离相等，灯塔的距离相等，灯塔A A在观察站在观察站南偏西南偏西4040，灯塔，灯塔B B在观察站南偏东在观察站南偏东6060，则灯塔，则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的的 ( ) ( )A A北偏东北偏东10 B10 B北偏西北偏西1010C C南偏东南偏东80 80 D D南偏西南偏西8080【解析】【解析】选选D.D.由条件可知，由条件可知，AABB4040，又又BCDBCD6060，所以，所以CBDCBD3030，所以，所以DBADBA1010，因此灯塔，因此灯塔A A在灯塔在灯塔B B的南偏西的南偏西80.80.3.3.如图所示，如图所示，D D，C C，B B三点在地面的同一直线三点在地面的同一直线上，上，DCDCa a，从，从C C，D D两点测得两点测得A A点的仰角分别点的仰角分别为为6060，3030，则，则A A点离地面的高度点离地面的高度ABAB等于等于( )( )【解析】【解析】选选B.B.因为因为DACDACACBACBDD606030303030，所以所以ACACCDCDa a，在，在RtABCRtABC中，中，ABABACsin 60ACsin 60 a. a.4 4某工程中要将一长为某工程中要将一长为100 m,100 m,倾斜角为倾斜角为7575的斜坡，改造成倾斜角为的斜坡，改造成倾斜角为3030的斜坡，并保的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长持坡高不变，则坡底需加长( )( )【解析】【解析】选选A.A.设坡底需加长设坡底需加长x mx m，由正弦定理得由正弦定理得 解得解得x=100 .x=100 .5.(20145.(2014绍兴模拟绍兴模拟) )甲船在甲船在A A处观察乙船，乙船在它的北偏东处观察乙船，乙船在它的北偏东6060的方向，两船相距的方向，两船相距a a海里的海里的B B处，乙船正向北行驶，若甲船处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_(_(填角度填角度) )的方向前进的方向前进. .【解析】【解析】设两船在设两船在C C处相遇，则由题意处相遇，则由题意ABCABC1801806060120120，且，且 由正弦定理得由正弦定理得 又又0BAC600BAC60，所以，所以BACBAC30.30.答案：答案：30306.6.海上有海上有A,BA,B两个小两个小岛相距相距10nmile,10nmile,从从A A岛望望C C岛和和B B岛成成6060的的视角角, ,从从B B岛望望C C岛和和A A岛成成7575的的视角角, ,那么那么B B岛和和C C岛的距离是的距离是nmile.nmile.【解析】【解析】画出示意图如图，画出示意图如图，由题意可知，由题意可知，CAB=60CAB=60，CBA=75,CBA=75,所以所以C=45C=45，由正弦定理得由正弦定理得所以所以答案：答案：考点考点1 1 测量距离问题测量距离问题【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014宁波模宁波模拟) )如如图, ,为测量河量河对岸岸A,BA,B两点两点间的距离的距离, ,在河岸在河岸选取相距取相距4040米的米的C,DC,D两点两点, ,测得得BCA=60,BCA=60,ACD=30,CDB=45,BDA=60,ACD=30,CDB=45,BDA=60,则A,BA,B间距离距离为米米. .(2)(2014(2)(2014泰安模泰安模拟) )如如图,A,B,A,B是海面上位于是海面上位于东西方向相距西方向相距5(3+ )5(3+ )海里的两个海里的两个观测点点, ,现位于位于A A点北偏点北偏东45,B45,B点北偏西点北偏西6060的的D D点有一艘点有一艘轮船船发出求救信号出求救信号, ,位于位于B B点南偏西点南偏西6060且与且与B B点相距点相距20 20 海里的海里的C C点的救援船立即前往点的救援船立即前往营救救, ,其航行速度其航行速度为3030海里海里/ /小小时, ,该救援船到达救援船到达D D点需要多点需要多长时间? ?【解题视点】【解题视点】(1)(1)观察观察ABAB所在的三角形所在的三角形, ,根据已知条件求出有关根据已知条件求出有关的边角再求解的边角再求解. .(2)(2)已知速度已知速度, ,要求时间要求时间, ,只要求出路程只要求出路程, ,即即CDCD的长即可的长即可; ;再观察再观察CDCD所在的三角形所在的三角形, ,确定已知条件较集中的三角形求解确定已知条件较集中的三角形求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由已知得，由已知得，BCD=30+60=90,BCD=30+60=90,又因为又因为BDC=45,CD=40BDC=45,CD=40米，所以米，所以BD=40 BD=40 米，在米，在ADCADC中，中，ADC=60+45=105,ADC=60+45=105,所以所以CAD=180-105-30=45CAD=180-105-30=45，由正弦定理，得由正弦定理，得在在ADBADB中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得ABAB2 2=AD=AD2 2+DB+DB2 22ADDBcosADB2ADDBcosADB所以所以AB= (AB= (米米).).答案：答案：(2)(2)由题意知由题意知ABAB5(35(3 ) )海里，海里，因为因为DAB=90-45=45DAB=90-45=45，DBA=90-60=30DBA=90-60=30，所以所以ADB=180-(45+30)=105ADB=180-(45+30)=105，在在ADBADB中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得所以所以= = (= (海里海里) )，又因为又因为DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60，所以在所以在DBCDBC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2BDBCcosDBC-2BDBCcosDBC所以所以CD=30(CD=30(海里海里) )，所以需要的时间所以需要的时间t= =1(t= =1(小时小时) )，即救援船到达即救援船到达D D点需要点需要1 1小时小时. .【互【互动探究】探究】本例本例(2)(2)中若不知救援船的速度中若不知救援船的速度, ,其他条件不其他条件不变, ,要求救援船必要求救援船必须在在4040分分钟内到达内到达, ,则救援船的最小速度救援船的最小速度为多少多少? ?【解析】【解析】设救援船的速度为设救援船的速度为v v海里海里/ /小时小时, ,由例题解析可求得由例题解析可求得CD=30CD=30海里海里, ,由由 得得v45.v45.即救援船的最小速度为即救援船的最小速度为4545海里海里/ /小时小时. .【易错警示】【易错警示】注意开方注意开方本例第本例第(1)(1)题在利用余弦定理时题在利用余弦定理时, ,很容易忽略对最后的结果开方很容易忽略对最后的结果开方, ,从而导致结果错误从而导致结果错误, ,在应用余弦定理时一定要注意对最后的结在应用余弦定理时一定要注意对最后的结果开方果开方. .【规律方法】【规律方法】距离问题的类型及解法距离问题的类型及解法(1)(1)类型类型: :测量距离问题分为三种类型测量距离问题分为三种类型: :两点间不可达又不可视、两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达两点间可视但不可达、两点都不可达. .(2)(2)解法解法: :选择合适的辅助测量点选择合适的辅助测量点, ,构造三角形构造三角形, ,将问题转化为求将问题转化为求某个三角形的边长问题某个三角形的边长问题, ,从而利用正余弦定理求解从而利用正余弦定理求解. .解三角形应用题的两种情形解三角形应用题的两种情形(1)(1)实际问题经抽象概括后实际问题经抽象概括后, ,已知量与未知量全部集中在一个三已知量与未知量全部集中在一个三角形中角形中, ,可用正弦定理或余弦定理求解可用正弦定理或余弦定理求解. .(2)(2)实际问题经抽象概括后实际问题经抽象概括后, ,已知量与未知量涉及两个或两个以已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形上的三角形, ,这时需作出这些三角形这时需作出这些三角形, ,先解能求解的三角形先解能求解的三角形, ,然然后逐步求解其他三角形后逐步求解其他三角形, ,有时需设出未知量有时需设出未知量, ,从几个三角形中列从几个三角形中列出方程出方程( (组组),),解方程解方程( (组组) )得出所要求的解得出所要求的解. .【变式式训练】(2014(2014温州模温州模拟) )如如图, ,某地某地举行烟花燃放表演行烟花燃放表演, ,观众席众席设置在地面上置在地面上线段段OA,OBOA,OB处, ,烟花燃放点在地面烟花燃放点在地面C C处, ,现测得得CBO=30,BOC=OAC=45,CO=50CBO=30,BOC=OAC=45,CO=50米米, ,若点若点A,BA,B离点离点C C的距离的距离相等相等, ,则观众席众席OAOA的的长度等于度等于米米. .【解析】【解析】设设AC=BC=xAC=BC=x，由正弦定理，由正弦定理则则 即即所以所以x=50 .x=50 .又又OAC=45,OC=50,AC=50 ,OAC=45,OC=50,AC=50 ,所以所以即即所以所以AOC=90,AOC=90,所以所以OA=OC=50.OA=OC=50.答案：答案：5050【加固【加固训练】1.1.甲船在甲船在岛B B的正南的正南A A处,AB=10,AB=10千米千米. .甲船以每小甲船以每小时4 4千米的速度千米的速度向北航行向北航行, ,同同时, ,乙船自乙船自B B出出发以每小以每小时6 6千米的速度向北偏千米的速度向北偏东6060的方向的方向驶去去. .当甲船在当甲船在A,BA,B之之间, ,且甲、乙两船相距最近且甲、乙两船相距最近时, ,它它们所航行的所航行的时间是是( () )【解析】【解析】选选A.A.如图如图, ,设航行设航行x x小时小时, ,甲船航行到甲船航行到C C处处, ,乙船航行到乙船航行到D D处处, ,在在BCDBCD中中,BC=10-4x,BD=6x,CBD=120,BC=10-4x,BD=6x,CBD=120,两船相距两船相距S S千米千米, ,根据余弦定理可得根据余弦定理可得, ,DCDC2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2BCBDcosCBD-2BCBDcosCBD=(6x)=(6x)2 2+(10-4x)+(10-4x)2 2-26x(10-4x)cos120,-26x(10-4x)cos120,即即S S2 2=28x=28x2 2-20x+100-20x+100 所以当所以当 时时,S,S2 2最小最小, ,从而从而S S也最小也最小, ,即航行即航行分钟时两船相距最近分钟时两船相距最近. .故选故选A.A.2.2.如如图所示所示, ,一艘海一艘海轮从从A A处出出发, ,测得灯塔在海得灯塔在海轮的北偏的北偏东1515方向方向, ,与海与海轮相距相距2020海里的海里的B B处, ,海海轮按北偏西按北偏西6060的方向的方向航行了航行了3030分分钟后到达后到达C C处, ,又又测得灯塔在海得灯塔在海轮的北偏的北偏东7575的方的方向向, ,则海海轮的速度的速度为海里海里/ /分分钟. .【解析】【解析】由已知得由已知得ACBACB4545，BB6060，由正弦定理得由正弦定理得 所以所以 所以海轮航行的速度为所以海轮航行的速度为 ( (海里海里/ /分钟分钟).).答案：答案： 考点考点2 2 测量高度、角度问题测量高度、角度问题【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014吉安模吉安模拟) )要要测量底部不能到达的量底部不能到达的电视塔塔ABAB的高度的高度, ,在在C C点点测得塔得塔顶A A的仰角是的仰角是45,45,在在D D点点测得塔得塔顶A A的仰的仰角是角是30,30,并并测得水平面上的得水平面上的BCD=120,CD=40m,BCD=120,CD=40m,则电视塔的塔的高度高度为m.m.(2)(2)在海岸在海岸A A处, ,发现北偏北偏东4545方向方向, ,距距A A处( -1)n mile( -1)n mile的的B B处有一艘走私船有一艘走私船, ,在在A A处北偏西北偏西7575的方向的方向, ,距离距离A A处2n mile2n mile的的C C处的的缉私船奉命以私船奉命以10 n mile/h10 n mile/h的速度追截走私船的速度追截走私船. .此此时, ,走走私船正以私船正以10n mile/h10n mile/h的速度从的速度从B B处向北偏向北偏东3030方向逃方向逃窜, ,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船私船沿着什么方向能最快追上走私船? ?【解题视点】【解题视点】(1)(1)点点A A与点与点B,C,DB,C,D不在同一个平面内不在同一个平面内, ,且且ABAB平面平面BCD,BCD,故本题的数学模型为三棱锥故本题的数学模型为三棱锥, ,根据已知条件和所求三角形根据已知条件和所求三角形的联系求解的联系求解. .(2)(2)注意到最快追上走私船且两船所用时间相等注意到最快追上走私船且两船所用时间相等, ,若在若在D D处相遇处相遇, ,则可先在则可先在ABCABC中求出中求出BC,BC,再在再在BCDBCD中求中求BCD.BCD.【规范解答】【规范解答】(1)(1)如图如图, ,设电视塔设电视塔ABAB高为高为xm,xm,则在则在RtABCRtABC中中, ,由由ACB=45,ACB=45,得得BC=x.BC=x.在在RtADBRtADB中中,ADB=30,ADB=30,所以所以BD= x.BD= x.在在BDCBDC中中, ,由余弦定理由余弦定理, ,得得BDBD2 2=BC=BC2 2+CD+CD2 2-2BCCDcos120,-2BCCDcos120,即即( x)( x)2 2=x=x2 2+40+402 2-2x40cos120,-2x40cos120,解得解得x=40,x=40,所以电视塔高为所以电视塔高为40m.40m.答案答案: :4040(2)(2)设缉私船用设缉私船用thth在在D D处追上走私船处追上走私船, ,如图如图, ,则有则有CD=10 t,BD=10t,CD=10 t,BD=10t,在在ABCABC中中, ,因为因为AB= -1,AC=2,BAC=120,AB= -1,AC=2,BAC=120,所以由余弦定理所以由余弦定理, ,得得BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2ABACcosBAC-2ABACcosBAC 所以所以BC= ,BC= ,在在ABCABC中中, ,由正弦定理由正弦定理, ,得得 所以所以 所以所以ABC=45,ABC=45,所以所以BCBC与正北方向垂直与正北方向垂直. .因为因为CBD=90+30=120,CBD=90+30=120,在在BCDBCD中中, ,由正弦定理由正弦定理, ,得得 所以所以 所以所以BCD=30.BCD=30.即缉私船沿北偏东即缉私船沿北偏东6060方向能最快追上走私船方向能最快追上走私船. .【规律方法】【规律方法】1.1.求解高度问题的三个关注点求解高度问题的三个关注点(1)(1)在处理有关高度问题时在处理有关高度问题时, ,要理解仰角、俯角要理解仰角、俯角( (它是在铅垂面它是在铅垂面上所成的角上所成的角) )、方向、方向( (位位) )角角( (它是在水平面上所成的角它是在水平面上所成的角) )是关键是关键. .(2)(2)在实际问题中在实际问题中, ,可能会遇到空间与平面可能会遇到空间与平面( (地面地面) )同时研究的问同时研究的问题题, ,这时最好画两个图形这时最好画两个图形, ,一个空间图形一个空间图形, ,一个平面图形一个平面图形, ,这样处这样处理起来既清楚又不容易搞错理起来既清楚又不容易搞错. .(3)(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形. .2.2.测量角度问题的基本思路测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上, ,画出表示实际问画出表示实际问题的图形题的图形, ,并在图形中标出有关的角和距离并在图形中标出有关的角和距离, ,再用正弦定理或余再用正弦定理或余弦定理解三角形弦定理解三角形, ,最后将解得的结果转化为实际问题的解最后将解得的结果转化为实际问题的解. .提醒提醒: :方向角是相对于某点而言的方向角是相对于某点而言的, ,因此在确定方向角时因此在确定方向角时, ,必须必须先弄清楚是哪一个点的方向角先弄清楚是哪一个点的方向角. .【变式式训练】(2014(2014大大连模模拟) )如如图, ,测量河量河对岸的塔高岸的塔高ABAB时, ,可以可以选与塔底与塔底B B在同一水平面内在同一水平面内的两个的两个观测点点C C与与D,D,测得得BCD=15,BDC=BCD=15,BDC=135,CD=30m,135,CD=30m,并在点并在点C C处测得塔得塔顶A A的仰角的仰角为30,30,则塔高塔高ABAB为( () )【解析】【解析】选选D.D.在在BCDBCD中，中，CBDCBD180-15-135180-15-1353030，由正弦定理，得由正弦定理，得所以所以在在RtABCRtABC中，中，ABABBCtanACBBCtanACB30 tan 3030 tan 3010 (m).10 (m).【加固【加固训练】1.1.地面上有两座塔地面上有两座塔AB,CD,AB,CD,相距相距120120米米, ,一人分一人分别在两塔底在两塔底测得一得一塔塔顶的仰角是另一塔的仰角是另一塔顶仰角的仰角的2 2倍倍, ,在两塔底在两塔底连线的中点的中点O O处测得塔得塔顶的仰角互的仰角互为余角余角, ,则两塔的高度分两塔的高度分别为( () )A.50A.50米米,100,100米米 B.40 B.40米米,90,90米米C.40C.40米米,50,50米米 D.30 D.30米米,40,40米米【解析】【解析】选选B.B.设高塔高设高塔高H,H,矮塔高矮塔高h,h,在矮塔下望高塔仰角为在矮塔下望高塔仰角为,在在O O点望高塔仰角为点望高塔仰角为b.b.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍, ,所以所以在高塔下望矮塔仰角为在高塔下望矮塔仰角为 , ,即即 根据倍角公式有根据倍角公式有 在塔底连线的中点在塔底连线的中点O O测得两塔顶的仰角互为余角测得两塔顶的仰角互为余角, ,所以在所以在O O点望点望矮塔仰角为矮塔仰角为 即即 根据诱导公式有根据诱导公式有 , ,联立联立得得H=90,h=40.H=90,h=40.即两座塔的高度为即两座塔的高度为4040米米,90,90米米, ,故选故选B.B.2.2.在一次海上在一次海上联合作合作战演演习中中, ,红方一艘方一艘侦察艇察艇发现在北偏在北偏东4545方向方向, ,相距相距12n mile12n mile的水面上的水面上, ,有有蓝方一艘小艇正以每小方一艘小艇正以每小时10n mile10n mile的速度沿南偏的速度沿南偏东7575方向前方向前进, ,若若侦察艇以每小察艇以每小时14n mile14n mile的速度沿北偏的速度沿北偏东45+45+方向方向拦截截蓝方的小艇方的小艇. .若要若要在最短的在最短的时间内内拦截住截住, ,求求红方方侦察艇所需的察艇所需的时间和角和角的的正弦正弦值. .【解析】【解析】如图如图, ,设红方侦察艇经过设红方侦察艇经过x x小时后在小时后在C C处追上蓝方的小艇处追上蓝方的小艇, ,则则AC=14x,BC=10x,AC=14x,BC=10x,ABC=120.ABC=120.根据余弦定理得根据余弦定理得(14x)(14x)2 2=12=122 2+(10x)+(10x)2 2-240xcos120,-240xcos120,解得解得x=2.x=2.故故AC=28,BC=20.AC=28,BC=20.根据正弦定理得根据正弦定理得 解得解得 所以红方侦察艇所需要的时间为所以红方侦察艇所需要的时间为2 2小时小时, ,角角的正弦值为的正弦值为 . .考点考点3 3 三角形的面积公式的应用三角形的面积公式的应用【考情】【考情】与三角形的面积有关的问题是高考的热点与三角形的面积有关的问题是高考的热点. .在高考中在高考中以解答题的形式出现以解答题的形式出现, ,考查面积的计算、最值考查面积的计算、最值, ,根据面积求边、根据面积求边、角等问题角等问题. .高频考点高频考点通关通关 【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013新课标全国卷新课标全国卷)ABC)ABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对的对边分别为边分别为a,b,ca,b,c，已知，已知b=2b=2， 则则ABCABC的面积为的面积为( )( )(2)(2014(2)(2014三亚模拟三亚模拟) ) 在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C所对的边分别所对的边分别是是a a，b b，c c，已知，已知c=2c=2， 若若ABCABC的面积等于的面积等于 ，则，则a=a= ，b=b= . . 【解题视点】【解题视点】(1)(1)先由正弦定理求出边先由正弦定理求出边c,c,再由面积公式求解再由面积公式求解. .(2)(2)根据余弦定理及面积构造含有根据余弦定理及面积构造含有a,ba,b的方程组求解的方程组求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为 所以所以由正弦定理得由正弦定理得 解得解得所以三角形的面积为所以三角形的面积为因为因为所以所以 选选B.B.(2)(2)由余弦定理及已知条件，得由余弦定理及已知条件，得a a2 2b b2 2abab4 4，又因为又因为ABCABC的面积等于的面积等于 ，即即 absin C absin C ，所以，所以abab4.4.由由 解得解得答案：答案：2 22 2【通关【通关锦囊】囊】重点重点题型型破解策略破解策略求面求面积对于已知于已知边、角求面、角求面积的的问题, ,应考考虑求出两求出两边之之积与与夹角的正弦角的正弦已知面已知面积求求边、角、角问题面面积公式中含有两公式中含有两边夹角共四个量角共四个量, ,故可利用其构造方程知三求一故可利用其构造方程知三求一求面求面积的最的最值问题将面将面积用用边角表示角表示, ,利用函数或基本利用函数或基本不等式求最不等式求最值【关注【关注题型】型】面面积与向量相与向量相结合的合的问题向量数量向量数量积中涉及中涉及边角角问题, ,而面而面积中也涉及中也涉及边角角问题, ,二者二者问题可相互可相互联系系 【通关题组】【通关题组】1.(20141.(2014丽水模拟丽水模拟) )在在ABCABC中，中，A=60A=60，AB=2AB=2，且，且ABCABC的的面积为面积为 ，则，则BCBC的长为的长为( )( )【解析】【解析】选选A.S= ABACsin 60=A.S= ABACsin 60=所以所以AC=1AC=1，所以，所以BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2ABACcos 60=3-2ABACcos 60=3，所以，所以BC= .BC= .2.(20142.(2014厦门模拟厦门模拟) )若若ABCABC中，中，b=3b=3，B= B= ，则该三角形面，则该三角形面积的最大值为积的最大值为 . .【解析】【解析】由由b=3b=3，B= B= 及余弦定理可得及余弦定理可得9=b9=b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos =a-2accos =a2 2+c+c2 2-ac2ac-ac=ac-ac2ac-ac=ac，所以所以ac9ac9，当，当a=c=3a=c=3时，取时，取“=”“=”，所以所以所以所以S SABCABC的最大值为的最大值为当当a=b=c=3a=b=c=3时取得时取得. .答案：答案：3.(20143.(2014嘉兴模拟嘉兴模拟) )设设ABCABC的内角的内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c，且，且c=b+1=a+2c=b+1=a+2，C=2A,C=2A,则则ABCABC的面积等于的面积等于_._.【解析】【解析】由题意知由题意知b=c-1,a=c-2b=c-1,a=c-2，又由正弦定理得又由正弦定理得 , ,得得又又cos A=cos A=所以所以 整理得整理得解得解得c=6.c=6.故故b=5,a=4,b=5,a=4,因此因此故故答案：答案： 【加固训练】【加固训练】1. (20111. (2011福建高考福建高考) )若若ABCABC的面积为的面积为 ，BC=2BC=2，C=60C=60，则边则边ABAB的长度等于的长度等于 . .【解析】【解析】在在ABCABC中，由面积公式，得中，由面积公式，得S= BCCAsin C= 2ACsin 60S= BCCAsin C= 2ACsin 60所以所以AC=2,AC=2,再由余弦定理，得再由余弦定理，得ABAB2 2BCBC2 2+AC+AC2 22ACBCcos C=2ACBCcos C=2 22 2+2+22 2222 =4222 =4，所以，所以AB=2.AB=2.答案：答案：2 22.(20142.(2014南昌模拟南昌模拟) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别是的对边分别是a a，b b，c c，若，若b b2 2+c+c2 2=a=a2 2+bc+bc，且，且 =4 =4，则，则ABCABC的面积等于的面积等于 . .【解析】【解析】由余弦定理，得由余弦定理，得又又0A0A，所以，所以A= .A= .又又 所以所以bc=8.bc=8.所以所以答案：答案：3.(20123.(2012江西高考江西高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c.c.已知已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)(1)求求cos A.(2)cos A.(2)若若a=3a=3，ABCABC的面积为的面积为 求求b b，c.c.【解析】【解析】(1)3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C(1)3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C，3cos Bcos C-3sin Bsin C=-13cos Bcos C-3sin Bsin C=-1，3cos(B+C)=-13cos(B+C)=-1，cos(-A)=cos(-A)=则则cos A= cos A= (2)(2)由由(1)(1)得得sin A= sin A= 由面积可得由面积可得bc=6bc=6，则根据余弦定理则根据余弦定理则则b b2 2+c+c2 2=13=13，两式联立可得两式联立可得b=2,c=3b=2,c=3或或b=3,c=2.b=3,c=2.【规范答题【规范答题5 5】三角形面积公式的应用三角形面积公式的应用【典例】【典例】(14(14分分)(2013)(2013新课标全国卷新课标全国卷)ABC)ABC的内角的内角A,B,CA,B,C的的对边分别为对边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知a=bcosC+csinB.a=bcosC+csinB.(1)(1)求求B.B.(2)(2)若若b=2,b=2,求求ABCABC面积的最大值面积的最大值. .【审题】【审题】分析信息分析信息, ,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1) a=bcosC+csinBa=bcosC+csinB根据正弦定理根据正弦定理统一为角的条件统一为角的条件根据内角和定理将角根据内角和定理将角A A用用B,CB,C表示表示利用三角变换得角利用三角变换得角B B的函数值的函数值求求角角B B(2)(2)若若b=2,b=2,求求ABCABC面积的最大值面积的最大值由角由角B B和边和边bb利用余弦定理构造含利用余弦定理构造含有有a,ca,c的等式的等式利用基本不等式转利用基本不等式转化为化为acac的不等式的不等式将面积用将面积用a,ca,c及及角角B B表示表示求最值求最值【解题】【解题】规范步骤规范步骤, ,水到渠成水到渠成(1)(1)因为因为a=bcosC+csinB,a=bcosC+csinB,所以由正弦定理所以由正弦定理, ,得得sin A=sin Bcos C+sin Csin B,sin A=sin Bcos C+sin Csin B, 3 3分分所以所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Csin Bsin(B+C)=sin Bcos C+sin Csin B, ,即即cosBsinC=sinCsinB,cosBsinC=sinCsinB,因为因为sinC0,sinC0,所以所以tanB=1,tanB=1,5 5分分解得解得B= .B= .6 6分分(2)(2)由余弦定理，得由余弦定理，得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos ,-2accos ,即即4=a4=a2 2+c+c2 2- ac- ac, , 8 8分分由不等式得由不等式得a a2 2+c+c2 22ac,2ac,当且仅当当且仅当a=ca=c时时, ,取等号取等号, ,所以所以4(2- )ac4(2- )ac, ,解得解得ac4+2 , ac4+2 , 1111分分所以所以ABCABC的面积为的面积为1313分分所以所以ABCABC面积的最大值为面积的最大值为 +1 +1. .1414分分【点题】【点题】失分警示失分警示, ,规避误区规避误区失分点失分点防范措施防范措施处没由正弦定理将边化处没由正弦定理将边化解解, ,造成思路受阻造成思路受阻若条件中边角混杂若条件中边角混杂, ,应考虑利用正应考虑利用正余弦定理余弦定理, ,将边角统一后求解将边角统一后求解处没将角处没将角A A用角用角B,CB,C表示表示当题目中出现三个内角当题目中出现三个内角A,B,CA,B,C时时, ,可利用可利用C=-(A+B)C=-(A+B)进行消元进行消元处不能利用余弦定理构处不能利用余弦定理构造含有造含有a,ca,c的方程的方程当题目中出现一角一边时当题目中出现一角一边时, ,应考虑应考虑利用余弦定理构造含有另两边的利用余弦定理构造含有另两边的方程方程失分点失分点防范措施防范措施处不能利用基本不等式处不能利用基本不等式得出得出acac的范围的范围对于含有对于含有a+b,ab,a+b,ab,及及a a2 2+b+b2 2的等式的等式, ,求其中一个的范围时求其中一个的范围时, ,可利用基本可利用基本不等式转化为以该量为变量的不不等式转化为以该量为变量的不等式求解等式求解处未进行总结导致解题处未进行总结导致解题过程不完整而失分过程不完整而失分对于解答题对于解答题, ,最后要进行总结最后要进行总结, ,对对结果进行整合结果进行整合【变题】【变题】变式训练变式训练, ,能力迁移能力迁移(2013(2013福建高考福建高考) )如如图, ,在等腰直角在等腰直角OPQOPQ中中,POQ=90,POQ=90,OP=2 ,OP=2 ,点点M M在在线段段PQPQ上上. .(1)(1)若若OM= ,OM= ,求求PMPM的的长. .(2)(2)若点若点N N在在线段段MQMQ上上, ,且且MON=30,MON=30,问: :当当POMPOM取何取何值时,OMN,OMN的面的面积最最小小? ?并求出面并求出面积的最小的最小值. .【解析】【解析】(1)(1)在在OMPOMP中，中，P=45P=45，OM= OM= ，OP=2 OP=2 ，由余弦定理得由余弦定理得，OMOM2 2=OP=OP2 2+PM+PM2 22OPPMcos 452OPPMcos 45，得得PMPM2 24PM+3=04PM+3=0，解得，解得PM=1PM=1或或PM=3PM=3(2)(2)设设POM=POM=，060060，在在OMPOMP中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得所以所以 同理同理故故S SOMNOMN= OMONsinMON= OMONsinMON因为因为060060，302+30150302+30150，所以当，所以当=30=30时，时，sin(2+30)sin(2+30)的最大值为的最大值为1 1，此时，此时OMNOMN的面积的面积取到最小值即取到最小值即POM=30POM=30时，时，OMNOMN的面积最小，其最小值的面积最小，其最小值为为8 84 4