8.3 8.3 空间点、直线、平面之间空间点、直线、平面之间 的位置关系的位置关系要点梳理要点梳理1.1.平面的基本性质平面的基本性质 公理公理1 1：如果一条直线上的：如果一条直线上的 在一个平面内，在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内那么这条直线在这个平面内. . 公理公理2 2：过：过 的三点，有且只有一个平面的三点，有且只有一个平面. . 公理公理3 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有那么它们有且只有 过该点的公共直线过该点的公共直线. .两点两点不共线不共线一条一条基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 （1 1）位置关系的分类）位置关系的分类 （2 2）异面直线所成的角）异面直线所成的角 定义：设定义：设a a, ,b b是两条异面直线，经过空间中任是两条异面直线，经过空间中任 一点一点O O作直线作直线a aa a, ,b bb b, ,把把a a与与b b所成的所成的 叫做异面直线叫做异面直线a a, ,b b所成的角所成的角( (或夹角或夹角).). 范围：范围： . .平行平行相交相交任何任何锐角或直角锐角或直角3.3.直线与平面的位置关系有直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况三种情况. .4.4.平面与平面的位置关系有平面与平面的位置关系有 、 两种情况两种情况. .5.5.平行公理平行公理 平行于平行于 的两条直线互相平行的两条直线互相平行. .6.6.定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角这两个角 . .平行平行相交相交在平面内在平面内平行平行相交相交同一条直线同一条直线相等或互补相等或互补基础自测基础自测1.1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，若三个平面两两相交，且三条交线互相平行， 则这三个平面把空间分成（则这三个平面把空间分成（ ） A.5A.5部分部分 B.6B.6部分部分 C.7C.7部分部分 D.8D.8部分部分 解析解析 如图所示如图所示, ,三个平面三个平面、两两相两两相 交，交线分别是交，交线分别是a a、b b、c c且且a ab bc c. .则则、 把空间分成把空间分成7 7部分部分. .C2.2.直线直线a a, ,b b, ,c c两两平行，但不共面，经过其中两条两两平行，但不共面，经过其中两条 直线的平面的个数为（直线的平面的个数为（ ） A.1 B.3 C.6 D.0A.1 B.3 C.6 D.0 解析解析 以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但 不共面，显然经过其中的两条直线的平面有不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3 3个个. .B3.3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 （ ） A.A.异面异面 B.B.平行平行 C.C.相交相交 D.D.以上都有可能以上都有可能 解析解析 如图所示，如图所示，a ab b, ,c c与与d d相交相交, ,a a与与d d异面异面. .D4.4.如果两条异面直线称为如果两条异面直线称为“一对一对”，那么在正方，那么在正方 体的十二条棱中共有异面直线（体的十二条棱中共有异面直线（ ） A.12A.12对对 B.24B.24对对 C.36C.36对对 D.48D.48对对 解析解析 如图所示，与如图所示，与ABAB异面的直线异面的直线 有有B B1 1C C1 1，CCCC1 1，A A1 1D D1 1，DDDD1 1四条，四条， 因为各棱具有相同的位置且正方体因为各棱具有相同的位置且正方体 共有共有1212条棱，排除两棱的重复计条棱，排除两棱的重复计 算，共有异面直线算，共有异面直线B5.5.下列命题中不正确的是下列命题中不正确的是 . . 没有公共点的两条直线是异面直线；没有公共点的两条直线是异面直线； 分别和两条异面直线都相交的两直线异面；分别和两条异面直线都相交的两直线异面； 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则一条直线和两条异面直线中的一条平行，则 它和另一条直线不可能平行；它和另一条直线不可能平行； 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可一条直线和两条异面直线都相交，则它们可 以确定两个平面以确定两个平面. .解析解析 没有公共点的两直线平行或异面没有公共点的两直线平行或异面, ,故故错；错；命题命题错错, ,此时两直线有可能相交；命题此时两直线有可能相交；命题正确，正确，因为若直线因为若直线a a和和b b异面，异面，c ca a, ,则则c c与与b b不可能平行，不可能平行，用反证法证明如下：若用反证法证明如下：若c cb b, ,又又c ca a, ,则则a ab b，这，这与与a a, ,b b异面矛盾，故异面矛盾，故c bc b; ;命题命题也正确，若也正确，若c c与两与两异面直线异面直线a a, ,b b都相交，由公理都相交，由公理3 3可知，可知，a a, ,c c可能确定可能确定一个平面一个平面, ,b b, ,c c也可确定一个平面，这样也可确定一个平面，这样, ,a a, ,b b, ,c c共确共确定两个平面定两个平面. .答案答案 题型一题型一 平面的基本性质平面的基本性质 如图所示，空间四边形如图所示，空间四边形ABCDABCD 中中, ,E E、F F、G G分别在分别在ABAB、BCBC、CDCD上上, , 且满足且满足AEAEEBEB= =CFCFFBFB=21=21， CGCGGDGD=31=31，过，过E E、F F、G G的平的平 面交面交ADAD于于H H，连接，连接EHEH. . （1 1）求）求AHAHHDHD； （2 2）求证：）求证：EHEH、FGFG、BDBD三线共点三线共点. . 证明线共点的问题实质上是证明点在证明线共点的问题实质上是证明点在 线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面 的交线的交线, ,点看作是两平面的公共点点看作是两平面的公共点, ,由公理由公理3 3得证得证. .题型分类题型分类 深度剖析深度剖析(1)(1)解解 EFEFACAC. .EFEF平面平面ACDACD. .而而EFEF平面平面EFGHEFGH，且平面且平面EFGHEFGH平面平面ACDACD= =GHGH，EFEFGHGH. .而而EFEFACAC，ACACGHGH. . 即即AHAHHDHD=31.=31.（2 2）证明证明 EFEFGHGH, ,且且EFEFGHGH，四边形四边形EFGHEFGH为梯形为梯形. .令令EHEHFGFG= =P P，则，则P PEHEH，而，而EHEH平面平面ABDABD，P PFGFG, ,FGFG平面平面BCDBCD, ,平面平面ABDABD平面平面BCDBCD= =BDBD, ,P PBDBD.EHEH、FGFG、BDBD三线共点三线共点. . 所谓线共点问题就是证明三条或三条所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点以上的直线交于一点. .（1 1）证明三线共点的依据是公理）证明三线共点的依据是公理3.3.（2 2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题为证明点在直线上的问题. .实际上，点共线、线共实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理. . 知能迁移知能迁移1 1 如图所示，四边形如图所示，四边形ABEFABEF和和 ABCDABCD都是直角梯形，都是直角梯形，BADBAD=FABFAB =90=90, ,BCBC ADAD, ,BEBE FAFA，G G、H H 分别为分别为FAFA、FDFD的中点的中点. . （1 1）证明：四边形）证明：四边形BCHGBCHG是平行四边形；是平行四边形； （2 2）C C、D D、F F、E E四点是否共面？为什么？四点是否共面？为什么？ （1 1）证明证明 由已知由已知FGFG= =GAGA，FHFH= =HDHD， 可得可得GH ADGH AD. .又又BCBC ADAD,GH BCGH BC, , 四边形四边形BCHGBCHG为平行四边形为平行四边形. . （2 2）解解 方法一方法一 由由BE AFBE AF，G G为为FAFA中点知，中点知， BE FGBE FG， 四边形四边形BEFGBEFG为平行四边形，为平行四边形，EFEFBGBG. .由（由（1 1）知）知BG CHBG CH，EFEFCHCH，EFEF与与CHCH共面共面. .又又D DFHFH，C C、D D、F F、E E四点共面四点共面. .方法二方法二 如图所示，延长如图所示，延长FEFE，DCDC分别与分别与ABAB交于点交于点MM，MM，BE AFBE AF，B B为为MAMA中点中点. .BC ADBC AD，B B为为MMA A中点，中点，MM与与MM重合，即重合，即FEFE与与DCDC交于点交于点MM（MM），），C C、D D、F F、E E四点共面四点共面. .题型二题型二 异面直线的判定异面直线的判定 (12(12分分) )如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，MM、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、 B B1 1C C1 1的中点的中点. .问：问： （1 1）AMAM和和CNCN是否是异面直线？说明理由；是否是异面直线？说明理由； （2 2）D D1 1B B和和CCCC1 1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由. . （1 1）易证）易证MNMNACAC，AMAM与与CNCN不异不异 面面. . （2 2）由图易判断）由图易判断D D1 1B B和和CCCC1 1是异面直线，证明时是异面直线，证明时 常用反证法常用反证法. .解解 （1 1）不是异面直线）不是异面直线. .理由：理由：连接连接MNMN、A A1 1C C1 1、ACAC. .MM、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、B B1 1C C1 1的中点，的中点，MNMNA A1 1C C1 1. .又又A A1 1A CA C1 1C C，A A1 1ACCACC1 1为平行四边形为平行四边形. .A A1 1C C1 1ACAC，MNMNACAC，A A、MM、N N、C C在同一平面内，故在同一平面内，故AMAM和和CNCN不是不是异面直线异面直线. .（2 2）是异面直线）是异面直线. .证明如下：证明如下：ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，是正方体，B B、C C、C C1 1、D D1 1不共面不共面. .3 3分分6 6分分假设假设D D1 1B B与与CCCC1 1不是异面直线，不是异面直线，则存在平面则存在平面，使，使D D1 1B B平面平面，CCCC1 1平面平面，D D1 1、B B、C C、C C1 1，与，与ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正是正方体矛盾方体矛盾. .假设不成立，即假设不成立，即D D1 1B B与与CCCC1 1是异面直线是异面直线. . 解决这类开放型问题常用的方法有直解决这类开放型问题常用的方法有直接法接法( (即由条件入手，经过推理、演算、变形等即由条件入手，经过推理、演算、变形等),),如第（如第（1 1）问，还有假设法，特例法，有时证明两）问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直接法较难说明问题直线异面用直接法较难说明问题, ,这时可用反证这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的证错误，从而否定假设，则两直线是异面的. .1010分分1212分分知能迁移知能迁移2 2 (1)(1)如图是一几何体的平面展开图，如图是一几何体的平面展开图， 其中四边形其中四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，E E、F F分别为分别为PAPA、 PDPD的中点的中点, ,在此几何体中在此几何体中, ,给出下面四个结论：给出下面四个结论： 直线直线BEBE与直线与直线CFCF是异面直线；是异面直线； 直线直线BEBE与直线与直线AFAF是异面直线；是异面直线； 直线直线EFEF平面平面PBCPBC； 平面平面BCEBCE平面平面PADPAD. . 其中正确结论的序号是（其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 由由EFEFADADBCBC，知，知BEBE、CFCF共面，共面， 错；错；正确；正确；正确；正确；错错. .故选故选B.B.B（2 2）如图，正方体）如图，正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，MM、N N分分别为棱别为棱C C1 1D D1 1、C C1 1C C的中点，有以下四个结论：的中点，有以下四个结论：直线直线AMAM与与CCCC1 1是相交直线；是相交直线；直线直线AMAM与与BNBN是平行直线；是平行直线；直线直线BNBN与与MBMB1 1是异面直线；是异面直线；直线直线AMAM与与DDDD1 1是异面直线是异面直线. .其中正确的结论为其中正确的结论为 （注：把你认为正确（注：把你认为正确的结论的序号都填上）的结论的序号都填上）. .解析解析 直线直线AMAM与与CCCC1 1是异面直线，直线是异面直线，直线AMAM与与BNBN也是异面直线，故也是异面直线，故错误错误. .题型三题型三 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， （1 1）求）求ACAC与与A A1 1D D所成角的大小；所成角的大小； （2 2）若）若E E、F F分别为分别为ABAB、ADAD的中点，求的中点，求A A1 1C C1 1与与 EFEF所成角的大小所成角的大小. . （1 1）平移）平移A A1 1D D到到B B1 1C C，找出，找出ACAC与与A A1 1D D所所 成的角，再计算成的角，再计算. . （2 2）可证）可证A A1 1C C1 1与与EFEF垂直垂直. .解解 (1)(1)如图所示如图所示, ,连接连接B B1 1C C, , 由由ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，是正方体，易知易知A A1 1D DB B1 1C C，从而，从而B B1 1C C与与ACAC所成的锐角或直角所成的锐角或直角就是就是ACAC与与A A1 1D D所成的角所成的角. .ABAB1 1= =ACAC= =B B1 1C C，B B1 1CACA=60=60. .即即A A1 1D D与与ACAC所成角为所成角为6060. . (2)(2)如图所示如图所示, ,连接连接ACAC、BDBD, ,在正方体在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,ACACBDBD，ACACA A1 1C C1 1, ,E E、F F为为ABAB、ADAD的中点，的中点，EFEFBDBD，EFEFACAC. .EFEFA A1 1C C1 1. .即即A A1 1C C1 1与与EFEF所成的角为所成的角为9090. . 求异面直线所成的角常采用求异面直线所成的角常采用“平移线平移线段法段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移中点）作平行线平移；补形平移. .计算异面直线所计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行成的角通常放在三角形中进行. . 知能迁移知能迁移3 3 （20092009全国全国理，理，7 7）已知三棱已知三棱 柱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的侧棱与底面边长都相等，的侧棱与底面边长都相等，A A1 1在在 底面底面ABCABC上的射影上的射影D D为为BCBC的中点的中点, ,则异面直线则异面直线ABAB 与与CCCC1 1所成的角的余弦值为（所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 方法一方法一 如图如图(1),(1),A A1 1D D 平面平面 ABCABC，且，且D D为为BCBC的中点的中点, ,设三棱柱的各设三棱柱的各 棱长为棱长为1 1，则，则ADAD= = ，由，由A A1 1D D 平面平面 ABC ABC 知知A A1 1D D= ,Rt= ,RtA A1 1BDBD中，易求中，易求A A1 1B B= =图（图（1 1）CCCC1 1AAAA1 1，ABAB与与AAAA1 1所成的角即为所成的角即为ABAB与与CCCC1 1所所成的角成的角. .在在A A1 1BABA中中, ,由余弦定理可知由余弦定理可知coscosA A1 1ABAB= =ABAB与与CCCC1 1所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为方法二方法二 如图（如图（2 2）, ,建立空间直角坐标系，因建立空间直角坐标系，因为为A A1 1D D平面平面ABCABC，ADADBCBC，由，由 AAAA1 1=1=1知知图（图（2 2）答案答案 D方法与技巧方法与技巧1.1.主要题型的解题方法主要题型的解题方法 （1 1）要证明）要证明“线共面线共面”或或“点共面点共面”可先由部可先由部 分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点 也在这个平面内（即也在这个平面内（即“纳入法纳入法”）. . （2 2）要证明）要证明“点共线点共线”可将线看作两个平面的可将线看作两个平面的 交线交线, ,只要证明这些点都是这两个平面的公共只要证明这些点都是这两个平面的公共 点点, ,根据公理根据公理3 3可知这些点在交线上可知这些点在交线上, ,因此共线因此共线. .2.2.判定空间两条直线是异面直线的方法判定空间两条直线是异面直线的方法 （1 1）判定定理：平面外一点）判定定理：平面外一点A A与平面内一点与平面内一点B B的连的连 线和平面内不经过该点线和平面内不经过该点B B的直线是异面直线的直线是异面直线. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高（2 2）反证法：证明两线）反证法：证明两线不可能不可能平行、相交或证平行、相交或证 明两线明两线不可能不可能共面，从而可得两线异面共面，从而可得两线异面. .3.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通 过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题 来解决来解决. .根据空间等角定理及推论可知，异面直根据空间等角定理及推论可知，异面直 线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的 顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取 其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或 异面线段的端点异面线段的端点. .总之，顶点的选择要与已知量总之，顶点的选择要与已知量 有关，以便于计算，具体步骤如下：有关，以便于计算，具体步骤如下： (1) (1)利用定义构造角，可固定一条利用定义构造角，可固定一条, ,平移另一平移另一 条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点 选在特殊的位置上；选在特殊的位置上； (2)(2)证明作出的角即为所求角；证明作出的角即为所求角； (3)(3)利用三角形来求解利用三角形来求解. . 失误与防范失误与防范1.1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线. . 而不是分别在两个平面内而不是分别在两个平面内. .一定要理解定义一定要理解定义. .2.2.求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成 角的范围是（角的范围是（0 0，9090. .一、选择题一、选择题1.1.已知平面外一点已知平面外一点P P和平面内不共线三点和平面内不共线三点A A、B B、C C, ,A A、 B B、C C分别在分别在PAPA、PBPB、PCPC上上, ,若延长若延长A AB B、 B BC C、A AC C与平面分别交于与平面分别交于D D、E E、F F三点，则三点，则 D D、E E、F F三点三点 （ ） A.A.成钝角三角形成钝角三角形 B.B.成锐角三角形成锐角三角形 C.C.成直角三角形成直角三角形 D.D.在一条直线上在一条直线上 解析解析 D D、E E、F F为已知平面与平面为已知平面与平面A AB BC C 的公共点，由公理的公共点，由公理2 2知，知，D D、E E、F F共线共线. .D定时检测定时检测2.2.关于直线和平面的四个命题中不正确的是（关于直线和平面的四个命题中不正确的是（ ） A.A.平行于同一平面的两个平面一定平行平行于同一平面的两个平面一定平行 B.B.平行于同一直线的两条直线一定平行平行于同一直线的两条直线一定平行 C.C.垂直于同一直线的两条直线一定平行垂直于同一直线的两条直线一定平行 D.D.垂直于同一平面的两条直线一定平行垂直于同一平面的两条直线一定平行 解析解析 垂直于同一直线的两条直线不一定平垂直于同一直线的两条直线不一定平 行，还可能相交或异面行，还可能相交或异面. .C3.3.已知已知、是两个不同的平面，直线是两个不同的平面，直线 ，直，直 线线 ，命题，命题p p: :a a与与b b没有公共点，命题没有公共点，命题 q q: :，则，则p p是是q q的的 （ ） A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 当当a a, ,b b都平行于都平行于与与的交线时，的交线时，a a与与b b无无 公共点，公共点， 但但与与相交相交. .当当时，时，a a与与b b一定无公共一定无公共 点，点，q qp p，但，但p qp q. .B4.4.若若P P是两条异面直线是两条异面直线l l、m m外的任意一点外的任意一点, ,则则 ( )( ) A. A.过点过点P P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与l l、m m都平行都平行 B.B.过点过点P P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与l l、m m都垂直都垂直 C.C.过点过点P P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与l l、m m都相交都相交 D.D.过点过点P P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与l l、m m都异面都异面 解析解析 对于选项对于选项A A，若过点，若过点P P有直线有直线n n与与l l, ,m m都都 平行，则平行，则l lm m，这与，这与l l, ,m m异面矛盾；异面矛盾； 对于选项对于选项B B，过点，过点P P与与l l、m m都垂直的直线，即过都垂直的直线，即过P P 且与且与l l、m m的公垂线段平行的那一条直线；的公垂线段平行的那一条直线； 对于选项对于选项C C，过点，过点P P与与l l、m m都相交的直线有一条都相交的直线有一条 或零条；或零条； 对于选项对于选项D D，过点，过点P P与与l l、m m都异面的直线可能有都异面的直线可能有 无数条无数条. .B5.5.正四面体正四面体PABCPABC中，中，MM为棱为棱ABAB的中点的中点, , 则则PAPA与与CM CM 所成角的余弦值为（所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如图所示，取如图所示，取PBPB中点中点N N， 连接连接CNCN、MNMN. . CMNCMN为为PAPA与与CMCM所成的角所成的角 （或所成角的补角），（或所成角的补角）， 设设PAPA=2=2，则，则CMCM= = ，MNMN=1=1， CNCN= = ， coscosCMNCMN= =C6.6.正四棱锥正四棱锥S SABCDABCD的侧棱长为的侧棱长为 ，底面边长，底面边长 为为 ，E E为为SASA的中点，则异面直线的中点，则异面直线BEBE和和SCSC所成的所成的 角为角为( )( ) A.30 A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.90 D.90 解析解析 设设ACAC中点为中点为O O，则，则OEOESCSC，连结，连结BOBO， 则则BEOBEO（或其补角）即为异面直线（或其补角）即为异面直线BEBE和和SCSC 所成的角，所成的角， 答案答案 C二、填空题二、填空题7.7.如图所示，在正三棱柱如图所示，在正三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中, , D D是是ACAC的中点的中点, ,AAAA1 1ABAB= 1,= 1,则异面则异面 直线直线ABAB1 1与与BDBD所成的角为所成的角为 . . 解析解析 在平面在平面ABCABC内，过内，过A A作作DBDB的平行线的平行线AEAE， 过过B B作作BHBHAEAE于于H H， 连接连接B B1 1H H，则在，则在RtRtAHBAHB1 1中，中， B B1 1AHAH为为ABAB1 1与与BDBD所成角，所成角， 设设ABAB=1=1，则，则A A1 1A A= = ， B B1 1A A= = ，AHAH= =BDBD= = ， coscosB B1 1AHAH= = B B1 1AHAH=60=60. .60608.8.在图中，在图中，G G、H H、MM、N N分别是正三棱柱的顶点或分别是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点，则表示直线所在棱的中点，则表示直线GHGH、MNMN是异面直线是异面直线 的图形有的图形有 .(.(填上所有正确答案的序号填上所有正确答案的序号) )解析解析 图（图（1 1）中，直线）中，直线GHGHMNMN；图（图（2 2）中，）中，G G、H H、N N三点共面，但三点共面，但MM面面GHNGHN，因此直线因此直线GHGH与与MNMN异面；异面；图（图（3 3）中，连接）中，连接MGMG，GMGMHNHN，因此，因此GHGH与与MNMN共面；共面；图（图（4 4）中，）中，G G、MM、N N共面，但共面，但H H面面GMNGMN，GHGH与与MNMN异面异面. .所以图（所以图（2 2）、（）、（4 4）中）中GHGH与与MNMN异面异面. .答案答案 （2 2）（）（4 4）9.9.已知已知a a、b b为不垂直的异面直线为不垂直的异面直线, ,是一个平面，则是一个平面，则 a a、b b在在上的射影可能是上的射影可能是两条平行直线；两条平行直线；两两 条互相垂直的直线；条互相垂直的直线；同一条直线；同一条直线；一条直线一条直线 及其外一点及其外一点. .则在上面的结论中，正确结论的编号则在上面的结论中，正确结论的编号 是是 （写出所有正确结论的编号）（写出所有正确结论的编号）. . 解析解析 、对应的对应的 情况如下：情况如下： 用反证法证明用反证法证明不可能不可能. .三、解答题三、解答题10.10.在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E为为ABAB的中点，的中点， F F为为A A1 1A A的中点，的中点， 求证：（求证：（1 1）E E、C C、D D1 1、F F四点共面；四点共面； （2 2）CECE、D D1 1F F、DADA三线共点三线共点. . 证明证明 （1 1）分别连结）分别连结EFEF、A A1 1B B、D D1 1C C. . E E、F F分别是分别是ABAB和和AAAA1 1的中点，的中点，EF AEF A1 1B B. . 又又A A1 1D D1 1 B B1 1C C1 1 BCBC， 四边形四边形A A1 1D D1 1CBCB为平行四边形为平行四边形. . A A1 1B BCDCD1 1，从而，从而EFEFCDCD1 1. . EFEF与与CDCD1 1确定一个平面确定一个平面. . E E、F F、D D1 1、C C四点共面四点共面. .（2 2）EF CDEF CD1 1，直线直线D D1 1F F和和CECE必相交必相交, , 设设D D1 1F FCECE= =P P. .P PD D1 1F F且且D D1 1F F平面平面AAAA1 1D D1 1D D，P P平面平面AAAA1 1D D1 1D D. .又又P PECEC且且CECE平面平面ABCDABCD，P P平面平面ABCDABCD，即即P P是平面是平面ABCDABCD与平面与平面AAAA1 1D D1 1D D的公共点，的公共点，而平面而平面ABCDABCD平面平面AAAA1 1D D1 1D D= =ADAD，P PADAD.CECE、D D1 1F F、DADA三线共点三线共点. .11.11.已知已知E E和和F F分别是正方体分别是正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱AAAA1 1 和棱和棱CCCC1 1上的点上的点, ,且且AEAE= =C C1 1F F, ,求证求证: :四边形四边形EBFDEBFD1 1是是 平行四边形平行四边形. . 证明证明 如图所示如图所示, ,在在DDDD1 1上取一点上取一点G G, , 使使D D1 1G G= =A A1 1E E，则易知，则易知A A1 1E DE D1 1G G， 四边形四边形A A1 1EGDEGD1 1为平行四边形，为平行四边形， EG AEG A1 1D D1 1. . 又又A A1 1D D1 1 B B1 1C C1 1， B B1 1C C1 1 BCBC，EG BCEG BC， 四边形四边形GEBCGEBC是平行四边形，是平行四边形，EB GCEB GC. . 又又D D1 1G FCG FC,四边形四边形D D1 1GCFGCF是平行四边形是平行四边形, , GC DGC D1 1F F，EB DEB D1 1F F， 四边形四边形EBFDEBFD1 1是平行四边形是平行四边形. .12.12.如图所示，在四面体如图所示，在四面体ABCDABCD中，中， E E、F F分别是线段分别是线段ADAD、BCBC上的点，上的点， ABAB= =CDCD=3=3， ， 求求ABAB、CDCD所成角的大小所成角的大小. . 解解 如图所示，在线段如图所示，在线段BDBD上取一上取一 点点G G，使，使 连接连接GFGF、GEGE、EFEF. . EGFEGF=120=120. .由由GFGFCDCD, ,GEGEABAB可知可知, ,ABAB与与CDCD所成的角应所成的角应是是EGFEGF的补角为的补角为6060. . 返回返回