第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布一、一、随机变量的概念随机变量的概念第一节 一维随机变量 及其分布(1)第二章三、内容小结三、内容小结二、二、分布函数的概念分布函数的概念 概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的,为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象,就要用就要用数学分析的方法来研究数学分析的方法来研究, 因此为了便于数学上的推因此为了便于数学上的推导和计算导和计算,就需将任意的随机事件数量化就需将任意的随机事件数量化,当把一当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时些非数量表示的随机事件用数字来表示时, 就建立就建立起了随机变量的概念起了随机变量的概念.1. 随机变量的引入随机变量的引入一、随机变量的定义一、随机变量的定义(1) 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?(2) 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.非数量非数量可采用下列方法可采用下列方法 红色红色 白色白色将将 数量化数量化 =红色、白色红色、白色 即有即有 X (红色红色)=1 , X (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 =红色、白色红色、白色 数量化了数量化了.实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点数. =1、2、3、4、5、6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有则有则有2. 随机变量的随机变量的定义定义定义定义2.1 设设 E是随机试验，其样本空间为是随机试验，其样本空间为 = . 若对于每一个样本点若对于每一个样本点 ，都有唯一的实数值，都有唯一的实数值 X( )与之对应，则称定义在样本空间与之对应，则称定义在样本空间 = 上的上的单值实函数单值实函数X( )为随机变量，简记为为随机变量，简记为 X.常用常用 X，Y，Z，表示随机变量；表示随机变量；用用x, y, z, 表示表示X，Y，Z，的取值的取值.注注. .1 X( )的定义域是样本空间的定义域是样本空间 ，而，而 不一不一随机变量随机变量X( ) 与高等数学中的实函数与高等数学中的实函数有有本质本质的区别：的区别：定是实数集定是实数集；2 X( )的取值是随机的，它的每一个可的取值是随机的，它的每一个可3 随机变量是随机事件的数量化随机变量是随机事件的数量化. 即即对于任意实数对于任意实数 x, X x 是随机事件是随机事件.能取值都有一定的概率；能取值都有一定的概率；实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量.若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则则有有可得随机变量可得随机变量 X(e),实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:实例实例5 设盒中有设盒中有5个球个球 (2白白3黑黑), 从中任抽从中任抽3个个,则则是一个随机变量是一个随机变量.实例实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, 则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:实例实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止直到击中目标为止,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:实例实例8 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:3.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个无限多个(可列个可列个), 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: 实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误差测量某零件尺寸时的测误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) 内的任一值内的任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.(2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为二、分布函数的概念二、分布函数的概念 为了对离散型的和连续型的为了对离散型的和连续型的 随机变量随机变量以及以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，下面引进了法，下面引进了分布函数分布函数的概念的概念.1.分布函数的定义分布函数的定义设设 X 是随机变量，是随机变量，x 是任意实数是任意实数，函数，函数 称为称为X 的的分布函数分布函数.定义定义2.2记作记作 X F(x) 或或 FX(x). 如果将如果将X看作数轴上随机点的坐标看作数轴上随机点的坐标,则分则分布函数布函数F(x)的值就表示的值就表示X 落在区间落在区间(- , x的概的概率率.x注注. 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什么区别二者有什么区别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量.F(x) 是随机变量是随机变量 X 取值不大于取值不大于 x 的概率的概率. 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.例例1 1解解2 分布函数主要研究随机变量在某一区间内分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况取值的概率情况.3 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，分布函数是一个普通的函数，正是通过它， 我们可以用数学分析的工具来研究我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量随机变量.2.分布函数的性质分布函数的性质(1) (2) 证证(2)(3)1 1.单调有界单调有界 准则准则2. 夹逼准则夹逼准则即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.(证明略证明略)如：对如：对例例1,注注. 1 可以证明：可以证明：一个函数若具有上述性质一个函数若具有上述性质(1) 、(2)、(4)和和(5), 则此函数一定是某个随机变则此函数一定是某个随机变量的分布函数量的分布函数.思考思考:不同的随机变量不同的随机变量,它们的分布函数一定它们的分布函数一定也不相同吗也不相同吗?答答: 不一定不一定.例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币, 令令重要公式重要公式:2事实上，事实上，例例2求求已知随机变量已知随机变量 X 的分布函数为的分布函数为解解例例3解解 (1)由分布函数的右连续性，得由分布函数的右连续性，得(2) 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解例例4于是于是故故 X 的分布函数为的分布函数为其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线注意注意 两类随机变量的分布函数图形的特点两类随机变量的分布函数图形的特点 不一样不一样.三、内容小结三、内容小结2. 随机变量的分类随机变量的分类:离散型离散型,连续连续型型.1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的, 因此为了方便有力的研究随机现象因此为了方便有力的研究随机现象, 就需就需将意的随机事件数量化将意的随机事件数量化,把一些非数量表示的随机把一些非数量表示的随机事件用数字表示时事件用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念. 因此因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数函数. 4. 分布函数的性质分布函数的性质3. 随机变量的分布函数的概念随机变量的分布函数的概念