广水市马坪镇中心中学广水市马坪镇中心中学 王文国王文国1、二次函数的一般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？一次函数的图像是一次函数的图像是 _ ,_ , 二次函数的图像是什么形状呢二次函数的图像是什么形状呢? ?还记得如还记得如何用描点法画一个函数的图像吗何用描点法画一个函数的图像吗? ?(1)(1)列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线一条直线一条直线, ,x x -3-3 -2 -2 -1-10 01 12 2 3 3y y画函数画函数y=xy=x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 根据表中根据表中x,yx,y的数值的数值在坐标平面中描点在坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线再用平滑曲线顺次连接各点顺次连接各点, ,就得就得到到y=xy=x2 2的图像的图像. .y=xy=x2 2x x -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 2 3 3y y请画函数请画函数y=y=x x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表 -9-9 -4-4 -1-10 0-1-1 -4-4 -9-9 (2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线 根据表中根据表中x,yx,y的数值在的数值在坐标平面中描点坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线顺次连接再用平滑曲线顺次连接各点各点, ,就得到就得到y=xy=x2 2的图的图像像. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.二次函数二次函数y= -x2的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线时所经过的路线,我我们把它叫做抛物线们把它叫做抛物线.y实际上实际上, 二次函数的图象都是抛物线二次函数的图象都是抛物线x x -4-4 -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= = x2 2和和y=2=2x2 2的图象的图象解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 20.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.51 12 2xy=2xy=2x2 28-2-1.5-1-0.500.511.524.520.500.524.581 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 函数函数y= = x2 2, ,y=2=2x2 2的图的图象象与函数与函数y= =x2 2( (图中虚线图图中虚线图形形) )的图的图象象相比相比, ,有什么共同有什么共同点和不同点点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :开口都向上开口都向上; ;顶点是原点而且是抛物线顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是的最低点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同; ;| |a| |越大，越大，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而减小。减小。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。抛物线的开口越小抛物线的开口越小。1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x x -4-4 -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=y= x x2 2和和y=y=2x2x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 12 2x x -2-2- -1.51.5-1 -1 - -0.50.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=2x2x2 2-8-8-2-2-0.5-0.5 0 0 -0.5-0.5-2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5-8-8-2-2 -0.5-0.5 0 0 -0.5-0.5 -2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5 函数函数y=y= x x2 2,y=,y=2x2x2 2的图像与函数的图像与函数y=y=x x2 2( (图中虚图中虚线图形线图形) )的图像相比的图像相比, ,有什么共有什么共同点和不同点同点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :1 12 2y=- x2x1y-1-2-30123-1-2-3-4-5 函数函数y= = x2 2, ,y= =2 2x2 2的图象与函数的图象与函数y= =x2 2( (图中蓝线图形图中蓝线图形) )的图象相比的图象相比, ,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: : 开口都向下开口都向下; ;不同点不同点: :顶点是原点而且是抛物线顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是的最高点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同; ;|a|a| 越大，越大，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而减小而减小。抛物线的开口越小抛物线的开口越小对比抛物线，对比抛物线，y=x2和和y=x2.它们它们关于关于x轴对称吗？轴对称吗？一般地，抛物线一般地，抛物线y=ax2和和y=ax2呢呢？在同一坐标系内在同一坐标系内,抛物线抛物线 与与抛物线抛物线 是关于是关于x轴对称的轴对称的.y=ax2 (a0)a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性最值最值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。当当x0x0时，时，y y随着随着x x的增大而的增大而增大增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。抛物线的开口就越小抛物线的开口就越小. |a|越小越小, 抛物线的开口就越大抛物线的开口就越大.1 1、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0 m+10 m m2 2+m=2 +m=2 解解得得:m:m1 1= =2, m2, m2 2=1 =1 由由得得:m:m1 1 m=1 m=1 此时此时, ,二次函数为二次函数为: y=2x: y=2x2 2, ,1. 1. 二次函数的图像都是二次函数的图像都是抛物线抛物线. .2. 2. 抛物线抛物线y=axy=ax2 2的图像性质的图像性质: : (2)(2)当当a0a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上, ,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点; ; 当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 xyo