第3章 图像处理中的正交变换第第3章章 图像像处理中的正交理中的正交变换（第一（第一讲）第3章 图像处理中的正交变换 数字数字图像像处理的方法主要分理的方法主要分为两大两大类： 空空间域域处理法理法(或称空域法或称空域法)， 频域法域法(或称或称变换域法域法)。 在在频域法域法处理中最理中最为关关键的的预处理便是理便是变换处理。理。第3章 图像处理中的正交变换空空 域域处 理理输入入f(x,y)输出出g(x,y)图像像处理的空理的空间域法域法空空间域法是指在空域法是指在空间域内直接域内直接对图像像素灰度像像素灰度值进行行运算运算处理。主要有：理。主要有：灰度灰度变换、直方直方图修正修正、图像平像平滑滑、图像像锐化化、伪彩色彩色处理、理、边缘检测、模、模识识别等。等。第3章 图像处理中的正交变换FFTf(x,y)g(x,y)低通低通滤波器波器H(u,v)G(u,v)F(u,v)FIFT空域空域原原图像像频谱图像像频谱图像像空域空域图像像低通低通滤波法的系波法的系统框框图一般情况下，整个一般情况下，整个图像的像的对比度和比度和动态范范围取决于取决于图像信息的低像信息的低频部分（指整个部分（指整个图像）。像）。图像相像相邻像素的像素的对比度及灰度比度及灰度变化化较缓慢的部分慢的部分对应于于图像的低像的低频部部分。而分。而图像中的像中的边缘及局部及局部细节取决于高取决于高频部分。可部分。可采用高通采用高通滤波器以突出波器以突出图像像边缘轮廓和廓和图像像细节部分；部分；采用低通采用低通滤波器来减少波器来减少图像噪声。像噪声。第3章 图像处理中的正交变换第3章 图像处理中的正交变换变换处理一般是理一般是线性性变换，其基本，其基本线性运算性运算式是式是严格可逆的，并且格可逆的，并且满足一定的正交条件，足一定的正交条件，因此，也将其称作酉因此，也将其称作酉变换。目前，在。目前，在图像像处理理技技术中正交中正交变换被广泛地运用于被广泛地运用于图像特征提取、像特征提取、图像增像增强、图像复原、像复原、图像像识别以及以及图像像编码等等处理中。本章将理中。本章将对几种主要的正交几种主要的正交变换进行行较详细地地讨论。第3章 图像处理中的正交变换3.1.1 傅里叶傅里叶变换的定的定义及基本概念及基本概念 傅里叶傅里叶变换在数学中的定在数学中的定义是是严格的。格的。设f(x)为x的的函数，如果函数，如果满足下面的狄里赫莱条件：足下面的狄里赫莱条件： (1) 具有有限个具有有限个间断点；断点； (2) 具有有限个极具有有限个极值点；点； (3) 绝对可可积。3. 1 傅里叶傅里叶变换则有下列二式成立有下列二式成立 (3-1) (3-2)第3章 图像处理中的正交变换如令如令 ， 则有有 (3-3) (3-4)通常把以上公式称通常把以上公式称为傅里叶傅里叶变换对。 函数函数f(x)的傅里叶的傅里叶变换一般是一个复量一般是一个复量,则 (3-5)或写成指数形式或写成指数形式 (3-6)第3章 图像处理中的正交变换 (3-6) (3-7) (3-8)把把 叫做叫做 的傅里叶的傅里叶谱，而，而 叫相位叫相位谱。指数形式指数形式第3章 图像处理中的正交变换A 傅里叶傅里叶变换广泛用于广泛用于频谱分析。分析。 例：求例：求图3-1所示波形所示波形f(x)的的频谱。x图3 3- -1 1 函数函数f( (x) )波形波形f(x)第3章 图像处理中的正交变换相位相位谱幅度幅度谱第3章 图像处理中的正交变换例：求周期函数的傅里叶例：求周期函数的傅里叶谱。 一个周期一个周期为T 的信号的信号 可用傅里叶可用傅里叶级数来表示，数来表示， 即即式中式中因此，傅里叶因此，傅里叶变换可写成下式可写成下式:第3章 图像处理中的正交变换图3 3- -3 3 周期函数的傅里叶周期函数的傅里叶谱第3章 图像处理中的正交变换傅里叶傅里叶变换可推广到二可推广到二维函数。如果二函数。如果二维函数函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，那么将有下面二足狄里赫莱条件，那么将有下面二维付里叶付里叶变换对存在：存在：(3-9)(3-10)第3章 图像处理中的正交变换幅度幅度谱相位相位谱能量能量谱第3章 图像处理中的正交变换3.1.2 傅里叶傅里叶变换的性的性质 傅里叶傅里叶变换有有许多重要性多重要性质。这些性些性质为实际运算运算处理提供了极大的便利。理提供了极大的便利。这里，里，仅就二就二维傅里叶傅里叶变换为例列出其主要的几个性例列出其主要的几个性质。 (1) 具有可分性具有可分性 一个二一个二维傅里叶傅里叶变换可用二次一可用二次一维傅里叶傅里叶变换来来实现。 第3章 图像处理中的正交变换(2) 线性性 傅里叶傅里叶变换是是线性算子，即性算子，即 (3) 共共轭对称性称性 如果如果 是是 的傅里叶的傅里叶变换， 是是 傅里叶傅里叶变换的共的共轭函数，函数， 那么那么 第3章 图像处理中的正交变换(4) 旋旋转性性 如果空如果空间域函数旋域函数旋转的角度的角度为 ，那么在，那么在变换域域中此函数的傅里叶中此函数的傅里叶变换也旋也旋转同同样的角度，即的角度，即 (5) 比例比例变换特性特性 如果如果 是是 的傅里叶的傅里叶变换。a和和b分分别为两个两个标量，那么量，那么 第3章 图像处理中的正交变换(6) 帕斯帕斯维尔（Parseval）定理）定理 这个性个性质也可称也可称为能量保持定理。如果能量保持定理。如果 是是 的傅里叶的傅里叶变换，那么有下式成立，那么有下式成立 此性此性质说明明变换前后能量守恒。前后能量守恒。第3章 图像处理中的正交变换(7) 相关定理相关定理 如果，如果，f(x), g(x)为两个一两个一维时域函数；域函数；f(x,y)和和g(x,y)为两个二两个二维空域函数，那么，定空域函数，那么，定义下二式下二式为相关函数相关函数第3章 图像处理中的正交变换由以上定由以上定义可引出傅里叶可引出傅里叶变换的一个重要性的一个重要性质。这就是相关定理，即就是相关定理，即式中式中 是是 的傅里叶的傅里叶变换， 是是 的傅里叶的傅里叶变换， 是是 的共的共轭， 是是 的共的共轭。第3章 图像处理中的正交变换(8) 卷卷积定理定理 如果如果f(x)和和g(x)是一是一维时域函数，域函数，f(x, y)和和g(x, y)是二是二维空域函数，那么，定空域函数，那么，定义以下二式以下二式为卷卷积函数，即函数，即第3章 图像处理中的正交变换式中式中 F(u,v) 和和 G(u,v) 分分别是是f(x)和和g(x)的傅里叶的傅里叶变换。 由此，可得到傅里叶由此，可得到傅里叶变换的卷的卷积定理如下定理如下第3章 图像处理中的正交变换3.1.3 离散傅里叶离散傅里叶变换 连续函数的傅里叶函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，是波形分析的有力工具，这在理在理论分析中无疑具有很大价分析中无疑具有很大价值。离散傅里叶。离散傅里叶变换使得数学方法与使得数学方法与计算机技算机技术建立了建立了联系，系，这就就为傅傅里叶里叶变换这样一个数学工具在一个数学工具在实用中开辟了一条用中开辟了一条宽阔的道路。因此，它不的道路。因此，它不仅仅有理有理论价价值，而且在某，而且在某种意种意义上上说它也有了更重要的它也有了更重要的实用价用价值。第3章 图像处理中的正交变换1. 离散傅里叶离散傅里叶变换的定的定义 如果如果x(n)为一数字序列，一数字序列，则其离散傅里叶正其离散傅里叶正变换定定义由下式来表示由下式来表示 (3-29)傅里叶反傅里叶反变换定定义由下式来表示由下式来表示 (3-30)第3章 图像处理中的正交变换2. 离散傅里叶离散傅里叶变换的性的性质 (1) 线性性 如果如果时间序列序列x(n)与与y(n)各有傅里叶各有傅里叶变换X(m)和和Y(m)， 则 (2) 对称性称性 如果如果 则 第3章 图像处理中的正交变换(3) 时间移位移位 如果序列向右（或向左）移如果序列向右（或向左）移动k位，位， 则 (4) 频率移位率移位 如果如果 则 式中式中 第3章 图像处理中的正交变换(5) 周期性周期性 如果如果 (6) 偶函数偶函数 如果如果 则 (7) 奇函数奇函数 则 如果如果 第3章 图像处理中的正交变换(8) 卷卷积定理定理如果如果 则 反之反之 也成立。也成立。第3章 图像处理中的正交变换(9) 相关定理相关定理 如果如果 则 (10) 帕斯帕斯维尔定理定理 如果如果 则 第3章 图像处理中的正交变换3.1.6 二二维离散傅里叶离散傅里叶变换一幅静止的数字一幅静止的数字图像可看做是二像可看做是二维数据数据阵列。因此，数列。因此，数字字图像像处理主要是二理主要是二维数据数据处理。二理。二维离散傅里叶离散傅里叶变换的定的定义可用下面二式表示。可用下面二式表示。 (3-63) 正正变换式式为： 第3章 图像处理中的正交变换反反变换：(3-64)(3-63) 正正变换： 第3章 图像处理中的正交变换在在图像像处理中，一般理中，一般总是是选择方形方形阵列，所以通常情列，所以通常情况下况下总是是 。因此，二。因此，二维离散傅里叶离散傅里叶变换多采多采用下面两式形式。用下面两式形式。(3-65) 式中符号式中符号 可称可称为空空间频率。率。(3-66) 第3章 图像处理中的正交变换二二维离散傅里叶离散傅里叶变换的可分离性是的可分离性是显而易而易见。 (3-67) (3-68) 这个性个性质可以使二可以使二维变换用两次一用两次一维变换实现 第3章 图像处理中的正交变换3.1.6、二、二维傅立叶傅立叶变换的性的性质1. 1. 可分离性可分离性正正变换第3章 图像处理中的正交变换同同样，反，反变换也具有可分离性也具有可分离性第3章 图像处理中的正交变换利用二利用二维傅立叶傅立叶变换的可分离性，可将二的可分离性，可将二维DFT转化化成一成一维DFT计算。即，先算。即，先对图象象f (x, y) 每一行做一每一行做一维DFT 得到得到N 个个值，将其排列在同一行的位置，再，将其排列在同一行的位置，再对每每一列做一列做FFT 变换，最后得到全，最后得到全图的的变换图F(u, v)：第一步：先第一步：先对y方向方向DFT第二步：再第二步：再对x方向方向DFT二二维离散傅立叶离散傅立叶变换过程程图示：示：在在y方向逐行方向逐行进行一行一维FTf(x,y)(0,0)N-1yxN-1F(x,v)(0,0)N-1vxN-1F(u,v)(0,0)N-1vuN-1行行变换列列变换在在x方向逐列方向逐列进行一行一维FT第一步：先第一步：先对y方向方向DFT第二步：再第二步：再对x方向方向DFT注：先注：先对x方向方向DFT，然后再，然后再对y方向方向DFT也可。也可。第3章 图像处理中的正交变换二二维离散傅立叶离散傅立叶变换举例例x方向方向FTy方向方向FT 1/4第3章 图像处理中的正交变换x方向方向FTy方向方向FT第1列第3章 图像处理中的正交变换二二维离散傅立叶离散傅立叶变换举例例x方向方向FT11001111201-j1+j21-j01+j-1-1-1-1w1y方向方向FT 1/4第3章 图像处理中的正交变换二二维离散傅立叶离散傅立叶变换举例例F(u,v)的主要能量分布在的主要能量分布在频率平面的什么位置？率平面的什么位置？第3章 图像处理中的正交变换用下式求反用下式求反变换，与正，与正变换使用同一流程：使用同一流程：第3章 图像处理中的正交变换二二维离散傅立叶离散傅立叶变换举例例例：二例：二维傅立叶反傅立叶反变换第3章 图像处理中的正交变换逐列FT逐行FT1/4逐像素求共轭第3章 图像处理中的正交变换2. 2. 平移性平移性FT则：相当于相当于F(u,v)的坐的坐标原点移到原点移到(u0,v0)点点相当于相当于f(x,y)的坐的坐标原点移到原点移到(x0, y0)点点而而第3章 图像处理中的正交变换即：即：移中性移中性同理：同理：平移性：平移性：第3章 图像处理中的正交变换移中性移中性移中性的用途：移中性的用途： 图像作傅立叶像作傅立叶变换时，若采用以下公式，若采用以下公式变换，则变换后主要能量（低后主要能量（低频分量）集中在分量）集中在频率平面的中心。率平面的中心。问题： 采用上述公式采用上述公式变换，变换后主要能量（低后主要能量（低频分量）集分量）集中在中在频率平面的中心。率平面的中心。为什么？什么？ 第3章 图像处理中的正交变换移中性移中性未移中的未移中的变换：FT移中的移中的变换：能量集中于中心（示意能量集中于中心（示意图）移中移中FT原原图像像f（x，y）能量分布于四角（示意能量分布于四角（示意图）移中移中FT移中移中FTf(x,y)F(u,v)第3章 图像处理中的正交变换移中性移中性计算算举例例FT1/4 FT1/4 第3章 图像处理中的正交变换3. 3. 周期性周期性非周期性离散函数的非周期性离散函数的FT是离散的周期性函数。是离散的周期性函数。uvN-10N-12N-12N-1F(u,v)第3章 图像处理中的正交变换FTFT第3章 图像处理中的正交变换4. 4. 共共轭对称性称性第3章 图像处理中的正交变换5. 5. 旋旋转性不性不变性性当当变量量x，y，u，v都用极坐都用极坐标表示表示时，即：，即：则：若：此式含此式含义是：当原是：当原图像旋像旋转某一角度某一角度时，FT后的后的图像也旋像也旋转同一角度。反之，亦然。同一角度。反之，亦然。第3章 图像处理中的正交变换旋旋转性性举例：例：原原图像及其傅立叶幅度像及其傅立叶幅度谱图像像原原图像旋像旋转45 ，其幅度，其幅度谱图像也旋像也旋转45 f(x,y)F(u,v)旋旋转性性举例：例：原原图像及其傅立叶幅度像及其傅立叶幅度谱图像像原原图像旋像旋转45 ，其幅度，其幅度谱图像也旋像也旋转45 f(x,y)F(u,v)第3章 图像处理中的正交变换图 39 二维傅里叶变换的处理结果第3章 图像处理中的正交变换7. 7. 二二维函数的相关定理函数的相关定理若：则：空域空域频域域第3章 图像处理中的正交变换8. 8. 平均平均值9.9.线形形( (分配性）分配性）傅里叶傅里叶变换是是线性算子，即性算子，即 第3章 图像处理中的正交变换例fgf+g